集中有序集值信息系統

張騰飛，魏立力

寧夏大學數學計算機學院，寧夏銀川 750021

集中有序集值信息系統

張騰飛，魏立力

寧夏大學數學計算機學院，寧夏銀川 750021

集值信息系統是完備信息系統的一種推廣，按照語義可劃分為合取集值信息系統和析取集值信息系統。屬性偏好關系也有兩種：屬性遞增偏好有序和屬性遞減偏好有序。提出一種新的屬性偏好關系，建立了一種新的優勢關系。這種優勢關系能夠表示一類屬性偏好既不是遞增有序也不是遞減有序，而是趨近于某個標準值的情形，稱這樣的優勢關系為屬性集中有序，它可應用于某些集值信息系統。

集值信息系統；集中有序；屬性標準值；優勢關系

1 引言

粗糙集理論[1-3]是由波蘭學者Paw lak于1982年首先提出的，它是一種刻劃不完整性和不確定性的數學工具，能比較有效地分析不完整、不相容、不精確等信息系統，并發現其中隱含的知識，揭示潛在的規律。經典的粗糙集理論以不可分辨關系（等價關系）為基礎，其研究對象是完備信息系統，即所處理的信息系統中每個對象的所有屬性值都是已知的。當某個信息系統中的某些屬性的值未知，即數據是丟失的，或者是只知道部分數據，我們稱這樣的信息系統為不完備信息系統[4-7]，在許多實際問題中，信息系統往往是不完備的，研究不完備信息系統[8]的策略之一是將不完備信息系統轉化為集值信息系統來處理。

Greco等人[9-11]提出了基于優勢關系的粗糙集模型，該模型把經典的等價關系推廣到具有偏好的優勢關系，為解決具有偏好信息的多屬性決策問題提供了思路。Qian等人[12-13]提出了集值有序信息系統模型，用來處理屬性偏好有序且屬性取值為集值的情況。對于集值信息系統語義上的理解有多種，Guan和Wang[14]將其歸結為兩類：

第一類：合取集值信息系統。在這類系統中，對象在屬性集值中的取值是合取的，即對象可以取到屬性值中的所有值。例如，屬性a表示屬性“會講一種語言”，對象x在屬性a下的取值f(x)={英語,法語,德語}可以理解為對象x會講英語、法語和德語三種語言。

第二類：析取集值信息系統。在這類系統中，對象在屬性集值中的取值是析取的，即只能取到屬性集值中的某一個值。例如，屬性a表示屬性“會講一種語言”，對象x在屬性a下的取值f(x)={英語,法語,德語}可以理解為對象x會講英語、法語和德語三種語言中的某一種語言。

對于具有未知屬性值的不完備信息系統可看作是析取集值信息系統，也可看作合取集值信息系統，這要視情況具體分析。在實際應用中，集值信息系統中屬性往往含有偏好信息，從而導致對象之間往往存在優劣關系，因此，研究具有二元偏好關系的集值信息系統是具有重要意義的。

目前，針對偏好信息的處理主要從兩個方面來定義了優勢關系：一是數值越大越好（遞增偏好有序）；二是數值越小越好（遞減偏好有序）。然而，這兩種定義方法并不能處理一些實際問題。例如，對病人進行健康診斷時，對于體溫這一指標，不是越高越好，也不是越低越好，而是越接近人的正常體溫越好。因此，有必要提出一種新的優勢關系定義方法。本文針對這種情況，提出了一種特殊的屬性偏好關系，建立了一種新的優勢關系，這種優勢關系能夠解決一類屬性偏好既不是遞增有序也不是遞減有序，而是屬性值趨向于標準屬性值的問題，稱之為屬性集中有序。

2 預備知識

本部分引入的定義出自文獻[12-13，15]，現羅列如下。

定義1（集值信息系統）稱S=(U，A，V，f)是集值信息系統，其中，U={x1，x2，…，xn}為非空有限對象集合，也稱為論域，A={a1，a2，…，am}為非空有限的屬性集合，V=∪a∈AVa是屬性值的集合，Va表示屬性a∈A的值域，f:U×A→2V是一個集值映射，滿足| |f(x，a)≥1（對于?x∈U，a∈A)，其中|·|表示集合中元素的個數。

對于集值信息系統語義上的理解有多種，Guan和Wang將其歸結為合取集值信息系統和析取集值信息系統兩類，在引言中已經討論過，這里不再贅述。

定義2（有序信息系統）給定信息系統S=(U,A,V,f)，若信息系統S中所有的條件屬性都是遞增或遞減偏好有序，則稱信息系統S為有序信息系統。

表示在屬性a∈A下，y至少和x一樣好。下面將在數值域中考慮偏好屬性的序關系，即Va?N（其中N表示數值），則?f(y，a)≥f(x，a)（條件偏好屬性a遞增有序）或?f(y，a)≤f(x，a)（條件偏好屬性a遞減有序）。

定義3（優勢關系和優勢類）給定有序信息系統S=(U，A，V，f)，屬性子集B(B?A)，優勢關系定義為：

若屬性子集B=B1∪B2，其中，屬性子集B1中的偏好關系遞增有序，屬性子集B2中的偏好屬性遞減有序，則優勢類的定義為：

定義4（析取集值有序信息系統）給定集值信息系統S=(U，A，V，f)，對于任意的x∈U和任意的a∈A，若對象x在屬性值f(x，a)中的取值都是析取的，即只能取到屬性集值中的某一個值，則稱S為析取集值信息系統。若在析取集值信息系統S中進行決策規則獲取時，總要考慮對象間的優勢關系，則稱S為析取集值有序信息系統。

顯然，析取集值有序信息系統是同時滿足析取集值信息系統和有序信息系統定義的一種特殊的信息系統。

定義5（合取集值有序信息系統）給定集值信息系統S=(U，A，V，f)，對于任意的x∈U和任意的a∈A，若對象x在屬性值f(x，a)中的取值都是合取的，即要取到屬性集值中的每一個值，則稱S為合取集值信息系統。若在合取集值信息系統S中進行決策規則獲取時，我們也總要考慮對象間的優勢關系，則稱S為合取集值有序信息系統。

顯然，合取集值有序信息系統是同時滿足合取集值信息系統和有序信息系統定義的一種特殊的信息系統。

3 集中有序的集值信息系統

對象在屬性下的最優值叫做屬性標準值，某一屬性a的屬性標準值用Ma表示，高于或低于屬性標準值的值都不是最優的。例如，若屬性a表示“人的體溫指標”，那么Ma就表示人體溫的標準值，也即是人的正常體溫，高于或低于正常體溫的溫度都不是最優的。

在集值信息系統S=(U，A，V，f)中，Va表示屬性a∈A的值域，易知屬性a的標準值Ma∈Va。非空有限的屬性集合A={a1，a2，…，am}，其中a1，a2，…，am的屬性標準值分別為Ma1，Ma2，…，Mam，可以用MA={Ma1，Ma2，…，Mam}，表示屬性標準值集。

3.1 集中有序的完備信息系統

定義6（完備信息系統的屬性集中有序）在完備信息系統S=(U，A，V，f)中，Va表示屬性a的值域，Ma表示屬性a的標準值，Ma∈Va。對于對象x，y∈U，在屬性a下的取值分別為f(x，a)∈Va、f(y，a)∈Va，若滿足

則稱在屬性a∈A下，y至少和x一樣好，稱屬性a集中有序。

這里的集中有序就是屬性值無論從左側還是右側，越靠近屬性標準值的對象就越有優勢。屬性集中有序是區別于屬性遞增有序和屬性遞減有序的一種特殊的有序關系。滿足集中有序的條件屬性，也稱之為具有偏好關系的屬性。

用表示在屬性a∈A下，y優于x，也即y至少和x一樣好。那么定義6可用下式描述。

定義7給定集中有序完備信息系統S=(U，A，V，f)，屬性子集B(B?A)，優勢關系定義為：

對象x的優勢類相應地為：

例1表1所示的為一個完備信息系統，其中對象集U={x1，x2，…，x10}，屬性集A={a1，a2，a3，a4}，屬性集A中的偏好屬性集中有序，屬性值域Va1=Va2=Va3=Va4= {1，2，3，4，5}，屬性標準值Ma1=Ma2=Ma3=Ma4=3。

表1 一個完備信息系統

則信息系統在優勢關系下的優勢類分別為：

定理1給定集中有序完備信息系統S=(U，A，V，f)，屬性子集B(B?A)，則

（1）滿足自反性、傳遞性；

證明（1）和（2）可以由優勢關系和優勢類的定義直接得到。

3.2 集中有序的析取集值信息系統

則稱在屬性a∈A下，y至少和x一樣好，稱屬性a集中有序。

用表示在屬性a∈A下，y優于x，也即y至少和x一樣好。那么定義8可用下式描述。

注：Va表示屬性a∈A的值域，把Va中每個值與屬性標準值Ma相減后取絕對值，把所得值的集合表示為Wa。對于兩個對象x，y∈U，在屬性a∈A之下，他們有各自的屬性值域和，同時也有各自的和，那么，定義8也可用下式表示。

例2表2所示的為一個析取集值信息系統，其中對象集U={x1，x2，…，x10}，屬性集A={a1，a2，a3，a4}，屬性集A中的偏好屬性集中有序，屬性值域Va1=Va2=Va3=Va4= {1，2，3，4，5，6，7}，屬性標準值Ma1=Ma2=Ma3=Ma4=4。

表2 一個析取集值信息系統

則信息系統在優勢關系下的優勢類分別為：

定理2給定析取集中有序集值信息系統S=(U,A,V,f)，屬性子集B(B?A)，則

證明（1）和（2）可以由優勢關系和優勢類的定義直接得到。

3.3 集中有序的合取集值信息系統

則稱在屬性a∈A下，y至少和x一樣好，稱屬性a集中有序。

用表示在屬性a∈A下，y優于x，也即y至少和x一樣好。那么定義10可用下式描述。

定義11（優勢關系和優勢類給定合取集值有序信息系統S=(U，A，V，f)，屬性子集B(B?A)，優勢關系定義為：

對象x的優勢類相應地為：

例3表3所示為一個合取集值信息系統，其中對象集U={x1，x2，…，x10}，屬性集A={a1，a2，a3，a4}，屬性集A中的偏好屬性集中有序，屬性值域Va1=Va2=Va3=Va4= {1,2,3,4,5,6,7}，屬性標準值Ma1=Ma2=Ma3=Ma4=4。

表3 一個合取集值信息系統

則各對象在優勢關系下的優勢類分別為：

定理3給定合取集中有序集值信息系統S=(U,A,V,f)，屬性子集B(B?A)，則

（1）滿足自反性、傳遞性；

證明（1）和（2）可以由優勢關系和優勢類的定義直接得到。

4 結束語

目前，針對偏好信息的處理主要從兩個方面來定義了優勢關系：一是數值越大越好（遞增偏好有序）；二是數值越小越好（遞減偏好有序）。然而，這兩種定義方法并不能表示某些情形。本文提出一種新的條件屬性偏好關系，建立了一種新的優勢關系，這種優勢關系能夠表示一類條件屬性偏好既不是遞增有序也不是遞減有序，而是趨近于某個標準值的情形。然后，把這種優勢關系分別應用于析取集值信息系統和合取集值信息系統，基于這種優勢關系，還可以進一步研究對象排序、屬性約簡和決策分析等問題。

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ZHANG Tengfei,WEI Lili

College of Mathematics and Computer Science,Ningxia University,Yinchuan,Ningxia 750021,China

Set-valued information system is a promotion of complete information system.According to semantics,it can be divided into conjunctive set-valued information system and disjunctive set-valued information system.There are also two kinds of attribute preference relations：attribute increasing preference order and attribute decreasing preference order. This paper focuses on a new attribute preference relation and establishes a new dominance relation.This new dominance relation can represent a kind of attribute preference which is not the increasing preference order and not the decreasing preference order,but the condition attribute values tend to the standard values of attribute,such a dominance relation is called as attribute ordered concentration,it can be applied to some set-valued information system s.

set-valued information systems;ordered concentration;standard values of attribute;dominance relation

A

TP18

10.3778/j.issn.1002-8331.1209-0320

ZHANG Tengfei,WEI Lili.Set-valued in formation system s based on ordered concentration.Computer Engineering and Applications,2014,50（16）：140-145.

國家自然科學基金（No.11261044）；寧夏高等學?？茖W技術研究項目。

張騰飛（1988—），男，碩士研究生，研究領域為應用統計與數據分析；魏立力（1965—），通訊作者，男，教授，研究方向為應用統計與數據分析、人工智能的數學基礎。E-mail：weill866@163.com

2012-09-27

2012-11-23

1002-8331（2014）16-0140-06

CNKI網絡優先出版：2012-12-18,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20121218.1528.024.htm l