Hurst指數(shù)估計(jì)法的比較和研究

趙彥仲，吳立文

蘭州理工大學(xué)計(jì)算機(jī)與通信學(xué)院，蘭州 730050

Hurst指數(shù)估計(jì)法的比較和研究

趙彥仲，吳立文

蘭州理工大學(xué)計(jì)算機(jī)與通信學(xué)院，蘭州 730050

針對(duì)時(shí)間序列的Hurst指數(shù)的估計(jì)方法的問(wèn)題，目前國(guó)內(nèi)外已經(jīng)提出了R/S，DAF，絕對(duì)值法，周期圖法等多種方法。但上述方法都會(huì)對(duì)Hurst指數(shù)的估計(jì)值產(chǎn)生易誤解和不一致的結(jié)果。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)R/S分析法，小波分析法，迭代估計(jì)算法和W hittle法的描述，進(jìn)行數(shù)值模擬來(lái)說(shuō)明這些方法所得Hurst指數(shù)估計(jì)值的誤差，通過(guò)比較能夠得出Whittle法是一種具有更高精度和更好穩(wěn)定性的方法。

分形布朗運(yùn)動(dòng)；改進(jìn)Whittle法；R/S；小波分析法；迭代估計(jì)法

1 引言

分形與混沌理論作為非線(xiàn)性科學(xué)中的兩個(gè)重要組成部分，從上世紀(jì)70年代起在經(jīng)濟(jì)、金融研究中得到廣泛的應(yīng)用，其中估計(jì)經(jīng)濟(jì)學(xué)中時(shí)間序列曲線(xiàn)的Hurst指數(shù)H值就是其中之一[1]。Hurst等人曾證明，對(duì)應(yīng)于不同的Hurst指數(shù)H(0＜H＜1)，存在以下情況：（1）H=0.5，是相互獨(dú)立，方差有限的隨機(jī)序列；（2）0.5＜H＜1，表明該序列有長(zhǎng)程依賴(lài)性，即表現(xiàn)為持續(xù)性，且H越接近1，持續(xù)性越強(qiáng)；（3）0＜H＜0.5，表明該時(shí)間序列具有長(zhǎng)程依賴(lài)性，且將來(lái)總體趨勢(shì)與過(guò)去相反，這種現(xiàn)象稱(chēng)為反持續(xù)性，H越接近于0，反持續(xù)性越強(qiáng)，而其中隨機(jī)性成分越少。到目前為止，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)提出了多種估計(jì)Hurst指數(shù)的方法。其中Hurst提出了重極標(biāo)差（R/S）分析法，以判斷時(shí)間序列數(shù)據(jù)遵從隨機(jī)游走是有偏隨機(jī)游走過(guò)程的指標(biāo)，并由Mandelbrot于1971年應(yīng)用到金融時(shí)間序列分析中，成為應(yīng)用于時(shí)間序列的分形特征的有效方法之一；Lo在經(jīng)典R/S分析法的基礎(chǔ)上給出了修正的R/S分析法（簡(jiǎn)稱(chēng)MR/S），從而克服了經(jīng)典R/S分析法無(wú)法分辨短期相關(guān)性與長(zhǎng)期相關(guān)性的缺點(diǎn)[2]；Giraitis等提出了樣本序列累積離差的方法，更具穩(wěn)健性和有效性[3]。Peng等在研究DNA組織時(shí)擴(kuò)展了普通的波動(dòng)分析方法，得到了DFA方法，它在消除時(shí)間序列局部趨勢(shì)及發(fā)現(xiàn)局部相關(guān)方面比R/S及MR/S方法更優(yōu)[4]。在Hurst指數(shù)估計(jì)方法中，R/S分析法是最常用的方法，后來(lái)很多學(xué)者又提出了小波分析法，迭代估計(jì)算法等方法能夠更好地克服估計(jì)的周期長(zhǎng)，誤差大等問(wèn)題，特別是有些方法在周期存在的情況下錯(cuò)誤地檢測(cè)到序列中存在的長(zhǎng)依賴(lài)性[5]。可見(jiàn)在時(shí)間序列中，周期及趨勢(shì)項(xiàng)的存在對(duì)Hurst指數(shù)的估計(jì)影響很大，所以在分析之前，應(yīng)對(duì)分析的時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)處理，以消除周期和趨勢(shì)的影響。本文主要針對(duì)就混沌，分形金融領(lǐng)域的股票市場(chǎng)中估計(jì)Hurst指數(shù)時(shí)所涉及到的分形維數(shù)計(jì)算的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與方法進(jìn)行詳細(xì)討論[6]。雖然很多學(xué)者對(duì)中國(guó)股市的有效性和長(zhǎng)記憶性進(jìn)行了多方面的分析，但他們均是對(duì)中國(guó)股市的總體有效性進(jìn)行的研究，都得出了中國(guó)金融市場(chǎng)是一個(gè)弱式有效市場(chǎng)的結(jié)論，但關(guān)于中國(guó)自證券交易市場(chǎng)成立運(yùn)行以來(lái)，其20多年的市場(chǎng)發(fā)展?fàn)顟B(tài)少有人研究。近年來(lái)，對(duì)于金融市場(chǎng)中Hurst指數(shù)的估計(jì)的研究，陸續(xù)有一些學(xué)者利用一些估計(jì)方法去估計(jì)，但是很少有人去比較這些估計(jì)結(jié)果，而Whittle分析法作為一種更穩(wěn)定，更有效的分析法亦鮮有人研究[7]。本文最后就各類(lèi)分形維數(shù)的數(shù)學(xué)定義，以金融市場(chǎng)中滬市，深市股票指數(shù)為例，相互聯(lián)系及以各自特點(diǎn)進(jìn)行比較詳細(xì)的分析，并對(duì)就時(shí)間序列數(shù)據(jù)所廣泛使用的關(guān)聯(lián)維數(shù)，對(duì)Hurst指數(shù)的理論與估算方法進(jìn)行研究[8]。

2 Hurst指數(shù)估計(jì)方法

針對(duì)Hurst指數(shù)的估計(jì)，本章主要介紹四種Hurst指數(shù)估計(jì)方法，包括基于極大似然whittle估計(jì)法，R/S分析法，小波分析法和迭代估計(jì)算法。

2.1 Whittle估計(jì)法

Whittle[9]估計(jì)法作為一種參數(shù)估計(jì)方法，更適合于統(tǒng)計(jì)推斷，而且更高效。Whittle估計(jì)值，可以通過(guò)一下方法得到。

2.2 R/S分析法

R/S[10-11]分析法是現(xiàn)在估計(jì)Hurst指數(shù)最常用的一種方法，R/S分析法描述如下：

2.3 小波分析法

小波分析法[12-13]描述如下：

給定一時(shí)間序列Xi，i=1，2，…，n，對(duì)其進(jìn)行二進(jìn)制小波變換：

ψ(·)為母小波函數(shù)，dx(j，k)為小波變換系數(shù)，j為尺度參數(shù)，k為平移參數(shù)。若Xi為二階平穩(wěn)過(guò)程，則

f(v)和ψ(v)分別為Xi的功率譜和ψ(·)的傅里葉變換，而且

其中，c=lb[cfC(H，ψ)]。在(j，lbμj)的圖上，用最小二乘法線(xiàn)性擬合得到的斜率為α=2H-1。

2.4 迭代估計(jì)算法

2.4.1 自相似的相關(guān)定義

定義1稱(chēng)為離散隨機(jī)過(guò)程Xn的m階聚集過(guò)程，如果它的k階自相關(guān)系數(shù)記為ρm(k)。

定義2廣義平穩(wěn)的離散隨機(jī)過(guò)程Xn稱(chēng)為自相似的，如果其m階聚集過(guò)程與原過(guò)程Xn有相同的自相關(guān)系數(shù)結(jié)構(gòu)，即ρm(k)=ρ(k)，對(duì)所有的m(=1，2，…)都成立，也就是說(shuō)與Xn具有相同的二階統(tǒng)計(jì)特性。

廣義平穩(wěn)的自相似過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)滿(mǎn)足：

2.4.2 迭代估計(jì)算法

網(wǎng)絡(luò)流量序列Xt是自相似的，其中Xt表示在第i個(gè)時(shí)間周期內(nèi)網(wǎng)絡(luò)的業(yè)務(wù)量（字節(jié)數(shù)、包數(shù)量等），則其自相關(guān)函數(shù)ρk應(yīng)該滿(mǎn)足式（1），對(duì)該式進(jìn)行變換得到H的迭代計(jì)算公式：

對(duì)于給定的序列X1，X2，…，Xn， 令

利用樣本自相關(guān)函數(shù)代替ρk，有Hurst參數(shù)的迭代估計(jì)公式：

對(duì)于長(zhǎng)相關(guān)過(guò)程，設(shè)初值=0.5。

式（17）成立的條件是k無(wú)窮大，然而實(shí)驗(yàn)證明，k取1不僅能夠獲得足夠精度的Hurst估計(jì)值，而且能大大減少運(yùn)算量。k取較大的值時(shí)迭代結(jié)果并不理想，導(dǎo)致這種情況的主要是隨著k的增大，代替ρ所產(chǎn)生的誤差對(duì)H估計(jì)值影響越來(lái)越大。因此，在式（17）中取k=1，得到簡(jiǎn)化的迭代估計(jì)公式：

由不動(dòng)點(diǎn)定理可以證明該式在（0.5，1）區(qū)間內(nèi)的收斂性和唯一性。

3 Hurst指數(shù)估計(jì)方法應(yīng)用中存在的問(wèn)題

本文對(duì)上述描述的幾種方法中，應(yīng)用最廣泛的應(yīng)屬于R/S分析法。R/S分析法屬于非參數(shù)分析法，不必假定潛在的分布是高斯分布，僅獨(dú)立就可以。R/S分析法的研究對(duì)象不僅包括正態(tài)分布，而且也包括非高斯獨(dú)立過(guò)程。

但是Taqqu等人指出了時(shí)間序列中周期存在對(duì)Hurst指數(shù)的估計(jì)有影響，周期越長(zhǎng)，估計(jì)誤差越大，特別是有些方法在周期存在的情況下，錯(cuò)誤地檢測(cè)到序列中存在的長(zhǎng)程依賴(lài)性。估計(jì)Hurst指數(shù)，在監(jiān)測(cè)信號(hào)中，對(duì)指出信號(hào)中非平穩(wěn)性質(zhì)，如均值變化，線(xiàn)性或多項(xiàng)式趨勢(shì)對(duì)監(jiān)測(cè)和估計(jì)長(zhǎng)程依賴(lài)性的影響很大，在此情況下，R/S分析法估計(jì)結(jié)果差，易于非平穩(wěn)性的具有短程依賴(lài)性過(guò)程混淆，而小波分析法的估計(jì)具有很好的魯棒性。Hurst指數(shù)作為表征具有尺度不變和自相關(guān)函數(shù)緩慢衰減的特點(diǎn)，作為這一類(lèi)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特性的一個(gè)重要指標(biāo)，它反映了數(shù)據(jù)的自相似程度及其二階統(tǒng)計(jì)特性。小波的出現(xiàn)給這一問(wèn)題帶來(lái)了許多新的內(nèi)容和方法，這是因?yàn)槔眯〔▽?duì)信號(hào)分析是在尺度和時(shí)間域上進(jìn)行的，尤其他的多尺度特性與自相似過(guò)程的尺度不變性有著自然的聯(lián)系。與小波分析法相比，根據(jù)自相似過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算公式推導(dǎo)出一個(gè)估計(jì)Hurst指數(shù)的迭代公式，更加充分利用了已有信息，誤差相對(duì)較小，并且該方法計(jì)算速度快，置信區(qū)間小，以及不易受時(shí)間尺度影響等優(yōu)點(diǎn)。Whittle估計(jì)法，對(duì)長(zhǎng)記憶性強(qiáng)弱Hurst指數(shù)的估計(jì)偏差最小，它是一種基于極大似然的參數(shù)估計(jì)法，該方法比前面提到的常用的幾種方法更適合用于統(tǒng)計(jì)推斷，而且更高效。可見(jiàn)，在時(shí)間序列中，周期及趨勢(shì)項(xiàng)的存在對(duì)Hurst指數(shù)的估計(jì)影響很大，所以在分析之前，應(yīng)對(duì)待分析的時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)處理，以消除周期和趨勢(shì)項(xiàng)的影響，并且選擇適當(dāng)?shù)姆椒ü烙?jì)Hurst指數(shù)。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

4.1 數(shù)值模擬仿真方法的比較

由于目前對(duì)具體分形維參數(shù)還沒(méi)有一個(gè)公認(rèn)的估計(jì)值，因此本節(jié)采用蒙特卡羅仿真模擬，并取樣本分別為350、500和1 000對(duì)上文介紹的各種Hurst指數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)比較和分析。對(duì)不同的Hurst指數(shù)值H和時(shí)間序列長(zhǎng)度N，以及路徑數(shù)Q，通過(guò)調(diào)用M atlab自帶的wfbm(H，N)函數(shù)[9]產(chǎn)生Q條服從標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的時(shí)間序列，記為(t=1,2,…，N;q=1，2，…，Q)。通過(guò)轉(zhuǎn)化得到Q條服從分?jǐn)?shù)高斯過(guò)程的時(shí)間序列應(yīng)用上文介紹的方法對(duì)Q組時(shí)間序列Sq，t(q=1，2，…，Q;t=1，2，…，N)進(jìn)行估計(jì)，得到Q個(gè)Hurst指數(shù)估計(jì)值Hq(q=1，2，…，Q)。則有其中，H為真實(shí)Hurst指數(shù)，?為均值，σ為標(biāo)準(zhǔn)差，MSE為均方誤差。通過(guò)這三個(gè)指標(biāo)，得出數(shù)據(jù)估計(jì)結(jié)果如表1，通過(guò)圖1，圖2，圖3的比較圖形，能夠分析估計(jì)結(jié)果的精確度、穩(wěn)定性、無(wú)偏性等指標(biāo)得出上一節(jié)提到的各種方法的比較分析是合理的。

表2 各種方法的代號(hào)及名稱(chēng)

圖1 當(dāng)N=350時(shí)的結(jié)果

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

通過(guò)描點(diǎn)，畫(huà)出圖1，2，3。從圖1，當(dāng)N=350時(shí)，可以看出Hurst指數(shù)真值一定，使用Whittle方法計(jì)算出的Hurst指數(shù)估計(jì)值最為穩(wěn)定和準(zhǔn)確。從圖2，當(dāng)N=500時(shí)，圖3，N=1 000時(shí)，可以得出，使用Whittle方法相對(duì)其他方法更為精確、穩(wěn)定。

圖2 當(dāng)N=500時(shí)的結(jié)果

圖3 當(dāng)N=1 000時(shí)的結(jié)果

表3 上證指數(shù)和深圳指數(shù)收益率序列的基本統(tǒng)計(jì)特性1）

4.3 實(shí)驗(yàn)分析及應(yīng)用

本節(jié)將采用蒙特卡羅仿真模擬證明精度和穩(wěn)定性更好的Whittle方法進(jìn)行實(shí)證分析應(yīng)用。

4.3.1 數(shù)據(jù)選擇及統(tǒng)計(jì)特性分析

鑒于我國(guó)學(xué)者多使用滬深兩市股指數(shù)據(jù)進(jìn)行長(zhǎng)記憶性分析，為了方便比較分析，本文采用上證指數(shù)和深圳指數(shù)的日收盤(pán)價(jià)為研究對(duì)象，時(shí)間分別選取1990年11月19日至2011年2月14日和1991年5月3日至2011年1月14日，上證指數(shù)有4 904個(gè)樣本，深圳指數(shù)有4 874個(gè)樣本，數(shù)據(jù)來(lái)源于聚源數(shù)據(jù)庫(kù)。對(duì)收益率yt=lbPt-lbpt-1，分別取其絕對(duì)值和平均值作為股市波動(dòng)率的近似值為研究樣本[15]。下面應(yīng)用Whittle估計(jì)法分析上證指數(shù)和深圳指數(shù)的Hurst指數(shù)值。

4.3.2 使用W hittle法對(duì)上證指數(shù)和深圳指數(shù)進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)分析

表3上證指數(shù)和深圳指數(shù)的收益率序列和波動(dòng)率序列的峰度和偏度值表明其均有別于正態(tài)分布。從J-B正態(tài)性檢驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，兩只指數(shù)的J-B統(tǒng)計(jì)量均顯著地超過(guò)了臨界值，概率幾乎為0。因此，兩序列表現(xiàn)出尖峰，厚尾，右偏的特性，均為非正太分布。而ADF統(tǒng)計(jì)量的值表明滬深股指均為平穩(wěn)時(shí)間序列。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)Hurst值的估計(jì)，本文采用了四種方法，即Whittle、R/S分析法、迭代估計(jì)算法和小波分析法。通過(guò)蒙特卡洛仿真，使用這四種方法分別對(duì)Hurst指數(shù)進(jìn)行了估計(jì)和比較。結(jié)果表明W hittle算法與國(guó)內(nèi)常用的R/S分析法，迭代估計(jì)法和小波分析法這些方法相比較，Whittle估計(jì)法克服了這些方法的缺陷，使得估計(jì)值具有更高的精度和更好的穩(wěn)定性，而且與均方根誤差和標(biāo)準(zhǔn)差為指標(biāo)說(shuō)明了該方法的優(yōu)越性，并進(jìn)一步說(shuō)明了Whittle算法對(duì)Hurst指數(shù)真實(shí)值以及樣本大小敏感度方面的強(qiáng)壯性；而且在時(shí)間序列中，Hurst值的變化與樣本容量有很大的關(guān)系，H值的總體規(guī)律是：隨著消失矩增大，局部上H值時(shí)大時(shí)小，總體上H值在減小，消失矩越小，分解級(jí)數(shù)越大，求解的H值越準(zhǔn)確。這一結(jié)果對(duì)未來(lái)的水蓄水量，食品價(jià)格，經(jīng)濟(jì)，金融包括醫(yī)學(xué)等很多領(lǐng)域的研究提供了有價(jià)值的參考。

[1]孫霞，吳自琴.分形原理及其應(yīng)用[M].合肥：中國(guó)科技大學(xué)出版社，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2003.

[2]LAW Lang-termemory in stockmarket prices[J].Econometrica，1999，59.

[3]Giraitis L.Rescaled variance and related tests for long memory in volatility and levels[J].Journal of Econometrics，2003，112：265-294.

[4]Aqqu M S，Teverovsky V.Robustness of whittle type estimators for time serios with long range dependence[J]. Stochastic Model，1997，13：723-757.

[5]Montanari A，Taqqu M S.Teverovsky V.Estimating long-range dependence in the presence of periodicity：an empirical study[J].Mathematical and Computer Modelling，1999，29：217-228.

[6]史美景，邱長(zhǎng)溶.分形金融市場(chǎng)特征及其應(yīng)用[J].財(cái)經(jīng)論壇，2005（4）：103-104.

[7]儲(chǔ)海林，殷勤譯.分形市場(chǎng)分析：將混沌理論應(yīng)用到投資與經(jīng)濟(jì)理論上[M].北京：經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社，2002.

[8]林欣.基于赫斯特指數(shù)的股票風(fēng)險(xiǎn)研究[J].上海管理科學(xué)學(xué)報(bào)，2008（5）.

[9]Cpronopoulou A，Vien F.Hurst index estimation for selfsimilar processes with long-memory[C]//Dun J，Luo S，Wang C.Recent Development in Stochastic Dynamics and Stochastic Analysis.Singapore：World Scientific，2010.

[10]胡彥梅.中國(guó)股市長(zhǎng)記憶的修正R/S分析[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2006，25（1）：73-77.

[11]Adas A.Traffic models in broadband networks[J].IEEE Communications Magazine，2007，35（7）：82-89.

[12]任勛益，王汝傳，王海艷.基于自相似檢測(cè)DDOS V攻擊的小波分析法[J].通訊學(xué)報(bào)，2006，27（5）：6-11.

[13]任勛益，王汝傳，祁正華.小時(shí)矩陣對(duì)小波分析求解自相似數(shù)Hurst的影響研究[J].電子與信息學(xué)報(bào)，2007（9）.

[14]Abry P，Sellan F.The wavelet-based synthesis for the fractiond Brewnian motion proposed by F[J].Sellan and Y Meyer：Remarks Analysis，2006，3（4）：377-383.

[15]Osw iecimka P，Kwapien J，Drozdz S.Multifractality in the stock market：price increments versus waiting times[J]. Physica A，2005，347（1/2）：626-638.

ZHAO Yanzhong,WU Liwen

School of Computer and Communication,Lanzhou University of Technology,Lanzhou 730050,China

At present,there are many methods of analyzing the Hurst exponent of time series in and abroad,but most of them could lead to misunderstanding and disagreement to the estimation of Hurst exponent.This paper describes R/S analysis, wavelet analysis,iterative algorithm estimation and modified Whittle analysis,by the means of numerical simulation,to com pare the error of estimation of Hurst exponent that obtained by the above methods.The comparison is made to test and verify Whittle method has the best accuracy and stability.

fractal Brownian motion;improved whittle method;R/S;wavelet analysis;iterative estimation

A

TP393

10.3778/j.issn.1002-8331.1209-0141

ZHAO Yanzhong,WU Liwen.Comparison and application of estimation of Hurst exponent.Computer Engineering and Applications,2014,50（16）：154-158.

趙彥仲（1987—），男，碩士研究生，主要研究領(lǐng)域?yàn)榉中螏缀渭捌鋺?yīng)用；吳立文（1985—），男，碩士研究生，主要研究領(lǐng)域?yàn)榉中螏缀渭捌鋺?yīng)用。E-mail：kurekey@163.com

2012-09-15

2012-11-06

1002-8331（2014）16-0154-05

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2012-12-18,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20121218.1522.015.htm l