高中數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)模型的構(gòu)建

程 勝

（池州一中，安徽 池州247000）

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)模型的構(gòu)建

程 勝

（池州一中，安徽 池州247000）

常見的函數(shù)模型可以用來解決日常生活中簡單的實(shí)際問題，在數(shù)學(xué)建模的過程中，可以培養(yǎng)和提高學(xué)生的分析問題及解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的趣味性與積極性；闡述了針對現(xiàn)實(shí)問題如何建立函數(shù)模型以及函數(shù)模型建立的一般步驟；最后介紹了常見的函數(shù)模型。

數(shù)學(xué)；函數(shù)；模型；教學(xué)

1如何從實(shí)際問題中抽象出函數(shù)模型

用函數(shù)模型來解決實(shí)際問題，首先，要認(rèn)真審題，確切而完整地理解題意，看透問題的實(shí)際背景，也就是第一要弄清楚問題講的是什么、要解決的問題是什么；第二，將現(xiàn)實(shí)問題合理地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)關(guān)系式來表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題中每個未知量之間的交互關(guān)系；第三，根據(jù)相互關(guān)系和已知條件來解決現(xiàn)實(shí)問題，進(jìn)而給出答案[1]。

以下舉例來說明。

例1某企業(yè)通過引進(jìn)人才，進(jìn)行技術(shù)革新，新的技術(shù)的使用大大提高了產(chǎn)值，下表是技術(shù)革新后的月利潤一覽表。

表1月利潤一覽表

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，請抽象出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并求出函數(shù)的關(guān)系式；

（2）按照所得到的函數(shù)模型，求出7，8月份的利潤情況。

解題分析：根據(jù)表中所給出的點(diǎn)，在二維坐標(biāo)系中作出如圖1的散點(diǎn)圖。根據(jù)圖像觀察有點(diǎn)象二次函數(shù)圖像，所以我們可以假設(shè)y=ax2,x為月份y為月利潤，a為常數(shù)，但是，將圖中的四個點(diǎn)代入后，發(fā)現(xiàn)a的差別太大，故推測不是二次函數(shù)。進(jìn)一步分析推測可能是y=a·bx的模型。

具體解題過程如下：

依據(jù)表1中的數(shù)據(jù)作出相應(yīng)的圖像[2]（圖1）

圖1 散點(diǎn)圖

(1)假設(shè)y=a·bx就是問題的模型，我們?nèi)”?的兩點(diǎn)（2，7.5），（4,23）來求a,b的值。

將以上兩點(diǎn)代入y=a·bx，列出關(guān)于a,b的方程組

（1）/（2） 得到，b≈1.775,a≈2.319將得到的a,b的值代入模型進(jìn)行檢驗(yàn)知當(dāng)x=3時(shí),y≈12.75;當(dāng)x=5,y≈39.48，與表1對照相差不大，因此我們所假設(shè)的模型比較合理。所以所得的函數(shù)關(guān)系式為

(2)求出7，8月份利潤也就是將x=6;x=7分別代入(3)式得到的y值，故7，8月份利潤分別為y≈72.7(萬元),y≈128.6(萬元)

2 抽取函數(shù)模型的一般步驟

從以上問題的分析解答中，我們可以歸結(jié)出從現(xiàn)實(shí)問題中抽象函數(shù)模型的一般步驟如下[3-4]：

（1）收集數(shù)據(jù)：找出問題中的有用的相關(guān)數(shù)據(jù)，過濾無用的數(shù)據(jù)。

（2）畫散點(diǎn)圖：一般在二維坐標(biāo)系來畫。點(diǎn)與點(diǎn)之間不宜過密；但有些問題的函數(shù)模型不是通過散點(diǎn)圖來模擬的，而是通過對具體問題變量關(guān)系的分析后建立關(guān)系式，則此步可以跳過。

（3）選擇函數(shù)模型：先大致觀察，選擇盡可能一致的已知函數(shù)或復(fù)合函數(shù)模型。

（4）求函數(shù)模型：利用從問題中收集的數(shù)據(jù)列出方程（組）來求出函數(shù)模型。

（5）將（4）中得到的函數(shù)模型代入問題中進(jìn)行檢驗(yàn)如果誤差在允許的范圍內(nèi)，則模型可用，反之轉(zhuǎn)到（4），重新擬合模型。

（6）用函數(shù)模型解答實(shí)際問題。

下面舉例來說明。

例2某廠生產(chǎn)一種零件，每個零件的成本為30元，出廠單價(jià)為60元，該廠為鼓勵銷售商訂購，出臺一項(xiàng)措施：一次訂購量超過100個時(shí)，每多訂購一個，則訂購全部零件的出廠單價(jià)就會降低0.02元，但是實(shí)際出廠單價(jià)不能低于51元。

（1）問一次訂購量為多少時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)剛好降為51元？

（2）如果一次訂購量為X個，零件的實(shí)際出廠單價(jià)為P元，請推導(dǎo)出函數(shù)P=F（X）關(guān)系式；

（3）如果銷售商一次訂購500個零件時(shí)，則該廠獲得的利潤是多少元？如果訂購1000個，則利潤又是多少元？

解題分析：顯然此問題不能通過畫散點(diǎn)圖來解決，而是通過對具體問題變量關(guān)系的分析后再建立函數(shù)關(guān)系式來解答。具體解題過程如下：

（2）當(dāng)0＜X≤100時(shí)，P=60；

設(shè)銷售商一次訂購X個時(shí)，廠家獲利為Q元，則

3 常用的函數(shù)模型

針對現(xiàn)實(shí)問題，正確地?cái)M合函數(shù)模型的前提是，我們要熟悉各種函數(shù)圖像的基本特征。常見的函數(shù)模型有以下種：一次函數(shù)模型；二次函數(shù)模型；冪函數(shù)模型；對數(shù)函數(shù)模型；指數(shù)函數(shù)模型；分段函數(shù)模型。例如，例1就是指數(shù)函數(shù)模型；例2就是分段函數(shù)模型。

[1]汪學(xué)思.關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法及其在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].中等教育研究，2004（8）:334-337.

[2]張?jiān)獣?數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)新思維的培養(yǎng)[J].商場現(xiàn)代化：下旬刊,2006（12):399.

[3]李建妮.淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)[J].內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào),2008(33):323-324.

[4]徐廣華.數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用[J].廣東教育，2007（10）18-20.

[責(zé)任編輯：桂傳友]

G633

A

1674-1104(2014)03-0151-02

10.13420/j.cnki.jczu.2014.03.047

2013-09-10

程勝(1973－),男，安徽池州人，安徽省池州一中，高級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。