仿射性質在初等幾何中的應用

秦進 簡萱慧

摘 要： 本文體現克萊因幾何觀點，介紹仿射變換的幾個性質，利用仿射變換的不變量和不變性解決初等幾何問題，體現了高等幾何對初等幾何的指導意義.

關鍵詞： 仿射性質 初等幾何 應用

近代幾何發展有重要意義的克萊因（F.Klein）觀點，把變換群與幾何學聯系起來給幾何學以新的定義.圖形在仿射變換群下的不變性和不變量的命題系統構成了仿射幾何，它是從歐氏幾何到射影幾何的橋梁，研究仿射變換在初等幾何中的應用，有利于我們開闊視野，擴大幾何領域，提高認識.利用仿射性質解決初等幾何問題的要抓住“不變”兩字.當涉及有關點線結合、直線平行和面積之比等問題，適當利用仿射變換解決某些初等幾何問題，可以使問題化繁為簡，轉難為易.

1.仿射性質

定義：若兩個平面間（平面到自身）的一個點的對應（變換）保持同素性，結合性和共線三點的單比不變，則這個點對應（變換）稱為仿射對應（仿射變換）.

性質1：保持同素性、結合性和共線三點單比是仿射不變.

性質2：兩條平行直線具有仿射不變性.

性質3：兩個封閉圖形面積之比是仿射不變量.

2.仿射性質的應用

2.1有關平行命題的證明

高等幾何的原理和方法在初等幾何中應用非常廣泛，利用高等幾何的思想方法解決初等幾何問題，它具有獨特的巧妙、靈活等特點.加強高等幾何和初等幾何的聯系，便于更深刻地認識和掌握初等幾何，利于指導初等幾何的教學與研究，在更高層面上理解幾何空間的基本特性、研究方法及內在聯系，深刻體會幾何的本質.

參考文獻：

[1]梅向明等.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2]羅崇善.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，1999.