一類Cohen-Grossberg型神經網絡概周期解的全局指數穩定

張強，蓋明久，張寧，崔世維

（海軍航空工程學院a.基礎部；b.訓練部；c.研究生管理大隊，山東煙臺264001）

一類Cohen-Grossberg型神經網絡概周期解的全局指數穩定

張強a，蓋明久a，張寧b，崔世維c

（海軍航空工程學院a.基礎部；b.訓練部；c.研究生管理大隊，山東煙臺264001）

研究了一類Cohen-Grossberg型神經網絡概周期解的存在唯一性及全局指數穩定性，得到了判斷概周期解存在唯一及全局指數穩定的充分條件，推廣了一些已有的結論。

Cohen-Grossberg型神經網絡；概周期解；穩定性

與周期現象相比，概周期現象是一種更普遍的現象。事實上，從物理實現方面看，神經網絡是由超大規模集成電路實現的，它擁有大量的神經元，且每個神經元都有自己的信號衰減系數、與其他神經元的連接權系數以及外部輸入，因而很難做到它們都具有相同的周期。同時，由于神經網絡電路的外部輸入是由市電供應的，而電力系統本身就存在概周期現象，這樣就使得神經網絡的信號衰減系數、連接權系數以及外部輸入可能具有概周期振蕩行為。因此，研究神經網絡的性質時就有必要研究這種概周期振蕩現象。

關于Hopfield神經網絡、細胞神經網絡、BAM神經網絡概周期解的存在性及穩定性，許多學者進行了深入的研究[1-9]。同時，由于Cohen-Grossberg神經網絡在模式識別、圖像處理等方面的成功運用，關于這類網絡的概周期解的研究引起了國內外學者的廣泛關注，并取得了一些很好的研究成果[10-12]。在文獻[13]中，Chen研究了Cohen-Grossberg神經網絡

概周期解的存在性及全局指數穩定性。本文將系統中的常時滯推廣為變時滯，并同時考慮分布時滯存在的情況下，研究如下一類Cohen-Grossberg神經網絡概周期解的存在性及全局指數穩定性：

式（2）中：i=1,2,…,n，n≥2是網絡中神經元的數量；xi(t)表示第i個神經元在t時刻的狀態；fj(·)、gj(·)、hj(·)是激勵函數；0〈τij(t)〈τij對應于軸突信號傳輸時滯；cij(t)、dij(t)、eij(t)是t時刻的連接權重；Kij(t)是時滯核；Ii(t)表示在t時刻的外部輸入。

系統的初始條件為

1 預備工作

定義1：概周期函數。設x(t):?→?，若?ε〉0，?l=l(ε)〉0，使在任意長為l的區間內都存在δ，使|x(t+δ)-x(t)|〈ε對任意t∈?都成立，則稱x(t)是一個概周期函數。

下面總是假設i,j=1,2,…,n。關于系統，作如下假設：

（H1）存在正常數、，使得0〈ai(t,x)≤，

（H2）存在常數使

（H3）函數fj(·)、gj(·)、hj(·)有界并且滿足Lipschitz條件，即存在常數，使得?x,y∈?，有

2 主要結果

定理1：假設（H1）～（H5）成立，并且有

則系統（2）存在唯一概周期解，并且是全局指數穩定的。

證明：對任意的φ∈X，考慮如下輔助線性系統：

由常數變易法，可得方程的解為：

定義映射

?φ∈X。令：

令：

則X*是X的一個閉凸子集。

注意到

因此，對任意的φ∈X*，有

當φi(u)〉0時，由假設（H2）可得

此時有

當φi(u)〈0時，由類似的推導可得

綜合式（5）、（6），可以得到

將式（7）代入式（4），有

因此，Tφ∈X*，故T是X*到X*的自映射。接下來證明T是X*到X*的壓縮映射。

事實上，對任意φ,ψ∈X*，采用與上面類似的推導過程，可得

因為ρ〈1，所以T是X*到X*的壓縮映射。

由Banach壓縮映射不動點定理知，T在X*上有唯一的不動點φˉ，使得Tφˉ=φˉ。由系統的形式可知，系統在X*上存在唯一概周期解x*=φˉ。

接下來證明x*的全局指數穩定性。

令

則0〈Ai(0)≤ρ〈1。由Ai(ε)的連續性可知，存在λi〉0，使得0〈Ai(λi)〈1。取λ=1m≤ii≤nn{λi}，則有

設x(t)是系統（2）的任意一個解，x*(t)是其概周期解，其初始條件分別為

首先證明對任意的α〉1，有下式成立：

當t=0時，式（9）顯然成立。

假設當t〉0時式（9）不成立，那么存在t1〉0和i∈{1,2,…,n}，使得|，且

注意到，

對上述系統利用常數變易法，并由假設（H1）～（H5）和式（7），有

這與假設矛盾，故式（9）成立。令α→1，則有式（8）成立，從而系統的概周期解是全局指數穩定的。

注：若eij(t)≡0，τij(t)=τj，gj=fj，則系統就是文獻[13]中所研究的系統，此時文獻[13]中的定理1就是本文定理的一個推論。

另外，在文獻[13]中，為保證其概周期解的全局指數穩定性，在其定理2中需要加入條件：

[1] LIU BINGWEN，HUANG LIHONG.Existence and exponential stabilityof almost periodic solutions for Hopfield neural networks with delays[J].Neurocomputing，2005，68：196-207.

[2]LIU BINGWEN.A lmost periodic solutions for Hopfield neural networks with continuously distributed delays[J]. Mathematics and Computers in Simulation，2007，73：327-335.

[3] LIU BINGWEN，HUANG LIHONG.Existence and exponential stability of almost periodic solutions for cellular neural networks with m ixed delays[J].Chaos，Solitons and Fractals，2007，32：95-103.

[4] BAI CHUANZHI.Global stability of almost periodic solutions of Hopfield neural networks with neutral timevarying delays[J].Applied Mathematics and Computation，2008，203：72-79.

[5] XIANG HONGJUN，CAO JINDE.Almost periodic solutions of recurrent neural networks with continuously distributed delays[J].Nonlinear Analysis，2009，71：6097-6108.

[6] XIA YONGHUI，CAO JINDE，LIN MUREN.New results on the existence and uniqueness of almost periodic solution for BAMneural networks with continuously distributed delays[J].Chaos，Solitons and Fractals，2007，31：928-936.

[7] ZHANG HUIYING，XIA YONGHUI.Existence and exponential stability of almost periodic solution for Hopfield-type neural networks with impulse[J].Chaos，Solitons and Fractals，2008，37：1076-1082.

[8] XIAO BING，MENG HUA.Existence and exponential stability of positive almost periodic solutions for high-order Hopfield neural networks[J].Applied Mathematical Modelling，2009，33：532-542.

[9] CHEN ANPING，CAO JINDE.Existence and attractivity of almost periodic solutions for cellular neural networks with distributed delays and variable coefficients[J].Applied Mathematics and Computation，2003，134：125-140.

[10] XIANG HONGJUN，CAO JINDE.A lmost periodic solution of Cohen-Grossberg neural networks with bounded and unbounded delays[J].Nonlinear Analysis：Real World Applications，2009，10：2407-2419.

[11] ZHAO HONGYONG，CHEN LING，MAO ZISEN.Existence and stability of almost periodic solution for Cohen-Grossberg neural networks with variable coefficients[J]. Nonlinear Analysis：Real World Applications，2008，9：663-673.

[12] LI YONGKUN，FAN XUANLONG.Existence and globally exponential stability of almost periodic solution for Cohen-Grossberg BAMneural networks with variable coefficients[J].Applied Mathematical Modelling，2009，33：2114-2120.

[13] CHEN ZHANG，ZHAO DONGHUA，RUAN JIONG.Almost periodic attracor fof Cohen-Grossberg neural networks with delay[J].Physics Letters A，2009，373：434-440.

Almost Periodic Solutions Global Exponential Stability of Cohen-Grossberg Neural Networks

ZHANG Qianga,GAI Ming-jiua,ZHANG Ningb,CUI Shi-weic
（Naval Aeronautical and Astronautical University a.Department of Basic Sciences; b.Department of Training;c.Graduate students'Brigade,Yantai Shandong 264001,China）

In this paper,the existence,uniqueness and global exponential stability of the almost periodic solution for a class of Cohen-Grossberg neural networks were studied,and the sufficient conditions for it's global exponential stability of the unique almost periodic solution was given.The results improvet some present conclusions.

Cohen-Grossberg neural networks;almost periodic solution;stability

TP183；O175

A

1673-1522（2014）04-0374-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2014.04.016

2014-03-05；

2014-04-22

張強（1980-），男，講師，碩士。