基于隨機截尾的導彈值班可靠性分析

唐嘉鈺，趙建印

（海軍航空工程學院a.學員旅；b.兵器科學與技術系，山東煙臺264001）

基于隨機截尾的導彈值班可靠性分析

唐嘉鈺a，趙建印b

（海軍航空工程學院a.學員旅；b.兵器科學與技術系，山東煙臺264001）

考慮到導彈值班環境同岸上貯存環境存在諸多明顯差異，對于導彈值班數據的壽命分布規律應當進行單獨研究。運用殘存比率法對某型導彈的值班數據進行了可靠性數據處理和分析，分別用指數分布和三參數威布爾分布進行擬合，并證明了三參數威布爾分布能更好地描述導彈值班可靠性。

導彈值班可靠性；隨機截尾；威布爾分布；殘存比率法

導彈屬于長期貯存、一次使用的作戰武器，也是各類水面艦艇的關鍵組成部分，其性能好壞直接影響艦艇的作戰效能和遂行作戰任務的能力。導彈值班、貯存狀態可靠性是導彈的一項重要戰術技術指標，其高低關系到戰場戰斗力能否迅速形成。近年來人們通常將艦上戰備值班狀態作為貯存狀態的一種特例，多采用定時截尾或定數截尾方式對導彈貯存可靠性進行一般性分析[1-5]。然而，由于艦艇活動范圍廣，續航時間長，經歷海洋環境復雜，作戰任務多樣，因而艦上值班導彈的貯存同岸基貯存可能有差異。總體上艦艇處于一個高溫、高濕、高鹽霧的海洋環境中，非金屬材料橡膠、塑料等制品極易老化，導致電性能下降。同時高溫、高濕、高鹽霧會加速金屬的銹蝕，進而影響導彈的可靠性[6]。又考慮到受所處環境局限，值班導彈發生的故障難以及時修復，因而研究導彈值班可靠性成為一個重要問題。

對復雜的電子儀器設備以及導彈等武器裝備，一般情況下默認其壽命服從指數分布。在進行導彈貯存可靠性分析時，也通常依此建立指數分布模型。然而同岸上洞庫貯存環境相比，導彈隨艦值班環境更加惡劣，發射箱內溫度難于控制，受震動環境的影響艦面穩定性較差。諸多環境因素的影響將引起導彈內部各部件、分系統的機械應力、化學應力、熱應力等特性參數發生變化。因此，對于值班導彈的具體壽命分布，需要結合實地收集的值班數據進行分析及檢驗。

1 隨機截尾試驗的經驗分布函數計算

可靠性截尾試驗通常包含定數截尾和定時截尾及隨機截尾3種試驗方式。隨機截尾試驗是指參加試驗的樣本，由于某種原因中途撤離了試驗，或在現場收集產品可靠性數據時，某些被收集的產品信息中途失去或統計之時產品尚未壽終。其中，中途失去觀測的樣本稱為刪除樣本。值班導彈裝入發射箱內吊上艦后，會對導彈進行一次射前檢查。導彈艦上值班時間通常依據每次作戰任務需求的不同而改變，而并不遵循特定規律。值班期滿后，裝有導彈的發射箱調運回技術陣地進行全面測試檢查，并統計值班期間發生的故障數。統計之時有極大可能存在部分樣本尚未發生故障，這一特性符合隨機截尾試驗的情況，因而可認為艦上戰斗值班的導彈所面對的是隨機截尾的情況。這些統計時尚未壽終的樣本稱為刪除樣品。

設n為參加試驗的樣本數，k為刪除樣本數，r為故障樣本數，則有n=r+k。

下面采用殘存比率法[7]計算導彈值班可靠度的經驗分布函數。

假設導彈在某一時刻ti的可靠度為

式中，S(ti)為樣本在時間區間(ti-1,ti)內的殘存概率，為一條件概率。它表示在ti-1時刻無故障的樣本繼續維持可用狀態至ti時刻的概率，其計算公式為

式（2）中：ns(ti-1)為在ti-1時刻繼續受試的樣本數；Δr(ti)為在區間(ti-1,ti)內發生的故障數。

ns(ti)可由下式得到

式（3）中：n為參加試驗的樣本總數；Δk() tj為時間(tj-1,tj)內刪除的樣本數。

下面利用整理后的導彈值班數據計算某型彈可靠度經驗分布函數，結果見表1。

表1某型導彈值班可靠性經驗分布函數計算結果Tab.1 Calculation results of the empirical distribution function to the reliability of a type of missile

2 值班可靠性指數模型

指數分布在一定條件下可用來描述大型復雜系統故障間隔時間的分布。指數分布具有計算簡單、參數容易估計和故障率可加性等優點。由于指數分布的故障率是常數，與時間無關，因而它具有無記憶性的特點，即故障的出現與過去的情況無關，是獨立的。依據參考文獻[8]的導彈值班評估經驗，根據值班數據進行導彈值班可靠性評估時，可假設導彈貯存壽命分布為指數分布。

指數分布故障密度函數為

分布函數為

式（4）、（5）中，λ為指數分布的參數，與時間無關。

已知值班數據樣本X1,X2,…,Xn獨立同分布，均服從指數分布，分布函數為

式中，λ為指數分布的參數，與時間無關。

由于每次值班時間隨任務要求變化而不同，因而可認為隨機截尾時間{Li}(i=1,2,…,n)互相獨立，其分布函數為Gi(t)(i=1,2,…,n)，概率密度函數為gi(t)(i=1,2,…,n)。假設值班時故障間隔時間同截尾時間無關，即{Xi}與{Li}(i=1,2,…,n)也相互獨立。

導彈值班任務結束時間主要受任務要求、海域天氣環境等影響，故可合理假定隨機截尾時間的分布與未知參數λ無關。

值班期滿后，裝有導彈的發射箱調運回技術陣地進行全面測試檢查。對于受試樣本只能觀察到

顯然，δi=1 表示值班期滿后經測試檢查發現導彈有故障，δi=0表示值班結束后導彈仍處于正常狀態。因此，對第i個值班樣本Xi(i=1,2,…,n)而言，可用一對隨機變量(Yi,δi) (i=1,2,…,n)描述試驗是否截尾，以及試驗的時間長度。試驗終止時可得到n組觀察值：

根據這些觀察值估計指數分布中的未知參數λ。當δi=1時，

式（8）對yi求導，得

同理，當δi=0時，

由此可得(Yi,δi) (i=1,2,…,n)的聯合密度為

進一步，(Y1,δ1) ,(Y2,δ2) ,…,(Yn,δn) 的聯合密度為

由于截尾時間分布中不含未知參數λ，故式（13）可寫為

式中，A=i=1，為與λ無關的函數。

記值班期滿觀察到的故障總數為

由(Y1,δ1) ,(Y2,δ2),…,(Yn,δn) 的聯合密度可知，似然函數為

四川省城鎮家庭可提供家政服務崗位約120萬個。目前，四川省已使用家政服務員64萬個，還有近40萬個家政崗位可以開發。

式中，A與λ無關。由此可得導彈值班故障率λ的最大似然估計λ^為

據此，對某型導彈值班可靠性進行分析[9]，計算得到其故障率的最大似然估計值為0.001 3，均方差值（RMSE）為0.032 61，殘差平方和（SSE）為0.014 89。

本文主要采用柯爾莫哥洛夫—斯米爾諾夫檢驗法（簡稱K-S檢驗法）來判斷值班數據的實際分布是否與理論分布相符合[10]。將值班數據的分布和指數分布進行比較，確定兩者之間符合程度，最終確定是否有理由認為值班導彈壽命的觀察結果來自指數分布的總體。K-S單樣本檢驗法通過值班數據樣本的累積分布函數Fp(t)與理論的指數分布函數F(t)的比較來進行擬合優度檢驗。

假設：

則檢驗的統計量為兩分布函數之間的最大偏差，

依據試驗樣本容量n和顯著性水平α可查出臨界值Dαn，通過比較Dn和Dαn的大小可判斷值班壽命分布與指數分布的擬合情況。若Dn＜Dnα，則可認為擬合是滿意的。取置信度為1-α=0.95，計算理論分布和經驗分布的差異度Dn=0.039 3，查表得Dαn=0.349 0。Dn＜Dαn，所以接受假設，可認為值班故障分布服從上述參數的指數分布。

3 值班可靠性威布爾分布模型

威布爾分布在可靠性工程中，因為其具有較大的適應性而得到廣泛的應用[11]。對現場觀測采集的值班數據進行可靠性分析與評估，采用兩參數威布爾分布易帶來較大誤差，故選取三參數威布爾分布數值計算法來進行擬合及參數估計，這樣可得到較高的精度并能較為準確地反映導彈值班可靠性的實際情況[12]。

威布爾分布的概率密度函數為

累積分布函數為

式（20）、（21）中：m為形狀參數；γ為位置參數；t0為尺度參數。

將分布函數整理變換得

令

式中：b=m；x=ln() t-t0；a=-lnt0。威布爾分布的線性回歸方程為

威布爾分布的線性回歸方程為

依據最小二乘法原理可知，回歸系數和相關系數分別可由下式計算得到：

采用右逼近法對γ進行估計，對于導彈值班數據(ti,F(ti)),i=1,2,…,n，取γ1=min{ti}為位置參數t0的初始值，并求得此時相關系數r01。選取步長Δ（一般可選Δ=0.05γ1），然后從γ2=γ1-Δ開始下降，分別重復上述步驟進行計算，求出每次的相關系數r0i，當{r0i}最大時，所對應的ti即為所求位置參數的估計值。

用上式公式計算導彈值班數據得：

t0=1.059 2×105，γ=-17.203 1，m=1.940 3，此時，RMSE=0.016 49，SSE=0.003 81。

同樣采用K-S單樣本檢驗法進行威布爾分布的假設檢驗。取置信度為1-α=0.95，計算理論分布和經驗分布的差異度Dn=0.040 1，查表得Dαn=0.349 0。Dn＜Dαn，故同樣可接受假設，認為故障分布服從上述估計參數的威布爾分布。

4 值班可靠性指數模型與威布爾模型比較

前文所述2種模型的函數擬合曲線如圖1所示。

圖1導彈值班故障指數分布、威布爾分布函數曲線圖Fig.1 Function graph of the exponential distributionand the weibull distribution to on-duty fault of the missile

通過前文分析結合圖1可知，指數模型與三參數威布爾模型均可較好地描述導彈值班可靠性，但威布爾分布更接近于數據的實際變化趨勢。利用相關軟件分別用2種模型進行擬合時，相關統計參數值如表2所示。相關系數平方R2，即決定系數，它通過數據的變化來表征擬合效果。R2越接近于1，表明自變量對于因變量的解釋能力越強，模型的擬合效果越好。SSE計算的是擬合數據和原始數據對應點的誤差平方和，SSE越接近于0，說明模型擬合的效果越好，數據預測也越成功。均方根誤差（RMSE）則可由下式獲得：

表2兩種擬合模型統計參數值Tab.2 Statistical parameters of two fitting models

通過比較統計參數和函數曲線可發現，同指數分布模型相比，三參數威布爾分布能更好地描述導彈值班時的可靠性。

5 結束語

導彈戰備值班時所處的艦上環境與庫房貯存環境截然不同，因而其可靠性分析與保障要求也有著特殊性。本文通過某型導彈值班數據的具體處理分析對于導彈值班故障經驗分布函數進行了非線性擬合。擬合結果表明指數分布和威布爾分布都可用于描述導彈值班可靠性，但經過上述分析，威布爾分布較指數分布擬合精度更高。

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Analysis of On-Duty Missiles Reliability Based on Random Censoring

TANG Jia-yua,ZHAO Jian-yinb
（Naval Aeronautical and Astronautical Institute a.Students’Brigade; b.Department of Ordnance Science and Technology,Yantai Shandong 264001,China）

Considering the obvious differences between on-duty state and storage in warehouse,the reliability of missiles on duty should be specially discussed.The data collected from some on-duty missile was processed based on survival ratio method.And exponential distribution model and Weibull distribution model of three parameters were used for fitting and it’s verified that Weibull distribution model of three parameters worked better.

on-duty missile reliability;random censoring;Weibull distribution;residual ratio method

TJ761.1

A

1673-1522（2014）02-0173-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2014.02.015

2014-01-20；

2014-02-14

唐嘉鈺（1992-），女，大學。