無故障數據下的數控機床可靠性分析*

鄭 銳

(中國船舶重工集團公司第七一六研究所，江蘇 連云港222006)

隨著數控機床可靠性水平的不斷提高，對其可靠性試驗時經常會出現在試驗周期內無故障發生的情況。首先，對高可靠性部件作樣本容量小的試驗時，有可能產生無故障數據。另外，隨著數控機床產品更新換代速度的提高，往往新產品剛剛投入使用就需要進行產品設計改進或更新產品的研制，這都需要故障數據的支持，但新投產的數控機床產品在試驗時間不足的情況下也極有可能帶來無故障數據。應用經典方法估計無故障數據情況下的可靠性特征量會引入較大誤差。對無故障數據的數控機床可靠性分析是近年來遇到的新問題，這項工作具有理論和實際應用價值。

無故障數據的可靠性分析方法有:最優置信限法、配方布曲線法、修正似然函數法、等效失效法、退化型是小模型的統計分析、Bayes法等［1］。其中，Bayes方法已廣泛應用于復雜系統的可靠性分析，其優點是便于利用當前的試驗信息和先驗信息，得到相對精確的后驗分布［2-3］。因為Bayes理論能夠通過合理的引入先驗信息，一定程度上彌補了無故障數據本身的信息不足的問題，成為解決無故障數據問題的一個重要途徑［4-6］。

1 無故障數據下的可靠性分析模型

1.1 故障率的多層先驗分布

數控機床關鍵功能部件的故障間隔時間通常服從指數分布或者威布爾分布，對于服從指數分布的部件，其故障率函數可以表示為

式中:λ為指數分布的故障率。指數分布的故障率λ是一個恒定的值，在故障率曲線圖上表現為一條平行于橫軸的直線，這個特點使得指數分布通常用來描述處于偶然故障期的產品的可靠性。

應用Bayes方法進行無故障數據的可靠性分析時，故障率λ的先驗分布通常取其共軛分布——Gamma分布，即λ的密度函數為

由于部件在定時截尾試驗時間內不發生故障，部件的故障率很有可能非常小，即故障率λ取大值的可能性小，λ取小值的可能性大。根據Gamma分布的性質，此時適合采用多層先驗分布的構造方法——減函數法，即選擇合適的a與b使π(λ|a，b)為λ的減函數［7］。

對式(2)求λ的一階導數為

當0＜a≤1且b＞0時，π(λ|a，b)為λ的減函數。根據同類產品的歷史信息，這里取a=1，b＞0的情況，即先驗分布中只有b一個超參數，此時π(λ;a，b)仍為λ的減函數。

取(0，c)上的均勻分布為超參數b的先驗分布。b的先驗密度為

由此可得，λ的多層先驗分布為

1.2 故障率的多層Bayes估計

下面利用分析實驗信息。對壽命服從指數分布的部件進行m次定時截尾試驗，設第i次試驗共有ni個樣品，有Xi個樣品故障。則Xi服從參數為nitiλ的泊松分布，即

式中:ri=0，1，2，…ni，i=1，2，…，m。

假設每次截尾試驗都是相互獨立的，則λ的似然函數為

對于無故障情況，有

式(8)即為無故障數據下λ的似然函數。

根據Bayes定理，可得λ的后驗分布為

在平方損失下，λ的多層Bayes估計為

解式(10)可以得到λ的估計值為

2 刀架系統的可靠性分析

刀架系統是數控機床的重要配置，在機床運行工作中起著重要的作用。一旦出現故障很可能造成工件報廢，甚至造成卡盤與刀架碰撞的事故。刀架系統是數控機床中可靠性較高的子系統，在定時截尾試驗中經常會出現0故障的情況。表1提供了某系列數控車床刀架系統的試驗信息表。表中的數據來源于現場試驗，由于出廠時間和批量不同，不同批次的產品到信息采集時的截尾時間各不相同。

表1 刀架系統試驗信息表

由表1可得N=3 400。根據式(11)，當c分別取500，1 000，2 000，4 000時，的參數估計值見表2。

表2 的計算結果

表2 的計算結果

?

由上面的估計值，計算可得刀架系統故障間隔時間的概率密度函數為

刀架系統的可靠度函數為

同時可得刀架系統MTBF的估計值為

3 結語

應用本文提出的無故障數據下的可靠性分析模型進行可靠性分析可得到較好的評估數控機床子系統的可靠性參數，且評估結果較滿意。研究發現，無故障數據如過大，就會出現“冒進”情況，即得到的故障率估計值過小。但小的樣本容量和樣本數據會使試驗信息太少從而得不到有效的參數估計值。充分并合理利用先驗信息和試驗信息可得到最優的可靠性估計值。

［1］韓明.無失效數據可靠性進展［J］.數學進展，2002，31(1):1-9.

［2］郭強.一種小子樣商用飛機系統可靠性評估方法［J］.噪聲與振動控制，2010，2(1):114-117.

［3］韓明.無失效數據可靠性參數的綜合估計［J］.數學理論與應用，2000，20(3):30-34.

［4］余國林.小子樣飛機系統使用可靠性評估方法研究與應用［D］.南京:南京航空航天大學，2005.

［5］鄭友石.民用飛機無故障數據的可靠性分析［D］.南京:南京航空航天大學，2010.

［6］傅惠民，王憑慧.無失效數據的可靠性評估和壽命預測［J］.機械強度，2004，3(1):260-264.

［7］韓明.指數分布無失效數據失效率的多層Bayes估計［J］.工程數學學報，1998，15(4):135-138.