區(qū)間軟RSL-代數(shù)

許宏偉， 劉衛(wèi)鋒， 張理濤

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)理系 河南 鄭州 450015)

區(qū)間軟RSL-代數(shù)

許宏偉， 劉衛(wèi)鋒， 張理濤

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)理系 河南 鄭州 450015)

將區(qū)間軟集應(yīng)用于RSL-代數(shù)，定義了區(qū)間軟RSL-代數(shù)、區(qū)間軟RSL-子代數(shù)、區(qū)間軟RSL-代數(shù)的軟同態(tài)等概念，討論了它們的基本性質(zhì)，推廣了相關(guān)文獻(xiàn)中軟RSL-代數(shù)的結(jié)果.

軟集； 區(qū)間軟集； RSL-代數(shù)； 軟RSL-代數(shù)； 區(qū)間軟RSL-代數(shù)

0 引言

文[1]中提出了軟集的概念,為研究不確定性問題提供了一種新的方法.由于軟集與模糊集、粗糙集等理論具有較強(qiáng)的互補(bǔ)性，因此軟集理論受到了許多學(xué)者的關(guān)注和研究.在文[1]基礎(chǔ)上，文[2-4]定義了軟集的各種運(yùn)算和軟相等概念；文[6-8]將文[5]提出的區(qū)間集應(yīng)用于軟集，提出了區(qū)間軟集的概念；文[9-14]分別提出了軟群、軟環(huán)、軟半環(huán)、軟Quantale、軟坡、軟格等概念，并研究了它們的性質(zhì)；文[15-17]分別研究了軟BCK/BCI代數(shù)、軟BL代數(shù)、軟RSL-代數(shù).但是，目前沒有發(fā)現(xiàn)將區(qū)間軟集應(yīng)用于代數(shù)結(jié)構(gòu)之中的報道，為此本文嘗試將區(qū)間軟集應(yīng)用于RSL-代數(shù)，提出了區(qū)間軟RSL-代數(shù)、區(qū)間軟RSL-子代數(shù)和區(qū)間軟RSL-代數(shù)的軟同態(tài)等概念，并對它們的一些基本性質(zhì)進(jìn)行了探討.本文推廣了文[17]中軟RSL-代數(shù)的相關(guān)結(jié)果.

1 相關(guān)概念

定義1[18-19]代數(shù)結(jié)構(gòu)(L,∨,∧,*,+,?,→,0,1)稱為RSL-代數(shù)，如果(L,∨,∧,*,+,0,1)為正則雙Stone-代數(shù)，(L,∨,∧,?,→,0,1)為IMTL-代數(shù).

為方便起見，以后用L,L1,L2表示RSL-代數(shù).

定義2[17]設(shè)(F,A)是RSL-代數(shù)L上的軟集，若?x∈A,F(x)均為L的子代數(shù)，則稱(F,A)是L上的一個軟RSL-代數(shù).

定義3[1]設(shè)X是論域，P(X)是其冪集，E是指標(biāo)集，A?E，F(xiàn):A→P(X)是一個映射，則稱(F,A)是X上的一個軟集.

定義5[6-8]設(shè)X是論域，E是指標(biāo)集，A?E,F:A→I(P(X))是一個映射，稱(F,A)是X上的一個區(qū)間軟集，其中I(P(X))表示X上的所有區(qū)間集之集合.

I(P(X))上的偏序集定義為[Al,Au],[Bl,Bu]∈I(P(X))，[Al,Au]≤[Bl,Bu]?Al?Bl,Au?Bu.

定義6[8]設(shè)(F1,A1),(F2,A2)是X上的區(qū)間軟集，則定義如下運(yùn)算：

(3)(F,A)=(F1,A1)∩ε(F2,A2),其中A=A1∩A2，?x∈A,F(x)=F1(x)∩F2(x).

(4)(F,A)=(F1,A1)∧(F2,A2),其中A=A1×A2，?(x,y)∈A1×A2,F(x,y)=F1(x)∩F2(y).

2 區(qū)間軟RSL-代數(shù)

定義7 設(shè)(F,A)是RSL-代數(shù)L上的區(qū)間軟集，若?x∈A,F(x)=[Al,Au]，且Al,Au為L的RSL-子代數(shù)，則稱(F,A)是L上的一個區(qū)間軟RSL-代數(shù).

若?x∈A,F(x)=[Al,Au]，其中Al=Au，則區(qū)間軟RSL-代數(shù)退化為軟RSL-代數(shù)，故而區(qū)間軟RSL-代數(shù)是軟RSL-代數(shù)的推廣.

下面在文[17]中RSL-代數(shù)實(shí)例基礎(chǔ)上，說明區(qū)間軟RSL-代數(shù)是存在的.

例1 設(shè)L={0,a,b,c,d,e,f,1}，定義L的運(yùn)算*,+,?,→和序關(guān)系如圖1和表1～3，則(L，∨,∧,*,+,?,→,0,1)是一個RSL-代數(shù).

圖1 RSL代數(shù)L

0abcdef1?1fedcba0+1fedcba0

表2 L上的→運(yùn)算Tab.2 →operation on L

表3 L上的?運(yùn)算Tab.3 ? operation on L

令A(yù)={x,y,z}，設(shè)(F,A)是L上的區(qū)間軟集，其中

F(x)=[{0,1},{0,a,f,1}]，F(xiàn)(y)=[{0,b,e,1},L]，F(xiàn)(z)=[{0,c,d,1},L].

可以驗(yàn)證(F,A)是L上的區(qū)間軟RSL-代數(shù).

推論1 設(shè)(F1,A1),(F2,A2)是L上的區(qū)間軟RSL-代數(shù)，若A1∩A2≠?，則(F1,A1)∩ε(F2,A2)是L上的區(qū)間軟RSL-代數(shù).

定理4 設(shè)(F1,A1),(F2,A2)是L上的區(qū)間軟RSL-代數(shù)，則(F1,A1)∧(F2,A2)是L上的區(qū)間軟RSL-代數(shù).

現(xiàn)將上述結(jié)論推廣到任意指標(biāo)集.

定理5 設(shè)(Fi,Ai)(i∈I，I為指標(biāo)集)是L上的區(qū)間軟RSL-代數(shù)，則

3 區(qū)間軟RSL-子代數(shù)

定義9 設(shè)(F,A)是L上的區(qū)間軟RSL-代數(shù).若?x∈A,F(x)=[{0},{0}]={0}，其中0為RSL-代數(shù)L的最小元，則稱(F,A)為平凡的.若?x∈A,F(x)=[L,L]=L，則稱(F,A)為完整的.

定義10 設(shè)f:L1→L2為集合L1到L2的同態(tài)映射，(F,A)是L1上的區(qū)間軟集，定義L2上的區(qū)間軟集如

f(F):A→I(P(L2)),

f(F)(x)=f(F(x))=f[Al,Au]=[f(Al),f(Au)],?x∈A，其中Al,Au∈I(P(L1)).

定理9 設(shè)f:L1→L2為L1到L2的同態(tài)映射，則

(1)若(F,A)是L1上的區(qū)間軟RSL-代數(shù)，且?x∈A，有F(x)=kerf，則(f(F),A)是L2上的平凡區(qū)間軟RSL-代數(shù).

(2)若f為滿射，且(F,A)是L1上的完整區(qū)間軟RSL-代數(shù)，則(f(F),A)是L2上的完整區(qū)間軟RSL-代數(shù).

證明 (1)已知?x∈A,F(x)=kerf，于是，?x∈A，有f(F)(x)=f(F(x))={02}=[{02},{02}]，其中02為L2中的最小元，因此(f(F),A)是L2上的平凡區(qū)間軟RSL-代數(shù).

(2)由題設(shè)可知，f(L1)=L2，且?x∈A，有F(x)=[L1,L1]=L1.于是，?x∈A，f(F)(x)=f(F(x))=f(L1)=L2=[L2,L2]，故(f(F),A)是L2上的完整區(qū)間軟RSL-代數(shù).

定理10 設(shè)f:L1→L2為L1到L2的同態(tài)映射.若(F,A)是L1上的區(qū)間軟RSL-代數(shù)，則(f(F),A)是L2上的區(qū)間軟RSL-代數(shù).

證明 由于(F,A)是L1上的區(qū)間軟RSL-代數(shù)，故?x∈A，F(xiàn)(x)=[Al,Au]，其中Al,Au是L1的子代數(shù)，又f為同態(tài)映射，所以f(F)(x)=f(F(x))=[f(Al),f(Au)]，其中f(Al),f(Au)是L2的子代數(shù).故(f(F),A)是L2上的區(qū)間軟RSL-代數(shù).

4 區(qū)間軟同態(tài)

定義11 設(shè)(F1,A1),(F2,A2)分別是L1,L2上的區(qū)間軟RSL-代數(shù)，f:L1→L2,g:A1→A2是兩個映射.如果f為同態(tài)映射，且?x∈A1,f(F1(x))=F2(g(x))，則稱(f,g)為從(F1,A1)到(F2,A2)的區(qū)間軟同態(tài).

定理12 設(shè)(F1,A1),(F2,A2)分別是L1,L2上的區(qū)間軟集，如果(F1,A1)為L1上的區(qū)間軟RSL-代數(shù)，且(F1,A1)與(F2,A2)區(qū)間軟同態(tài)(構(gòu))，則(F2,A2)為L2上的區(qū)間軟RSL-代數(shù).

[1] Molodtsov D. Soft set theory—first results[J].Computers and Mathematics with Applications,1999,37(4):19-31.

[2] Maji P K, Biswas R, Roy A R. Soft set theory[J].Computers and Mathematics with Applications,2003,45(4): 555-562.

[3] Ali M I, Feng F, Liu X, et al. On some new operations in soft set theory[J]. Computers and Mathematics with Applications,2009,57(9):1547-1553.

[4] Qin K, Hong Z. On soft equality[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics,2010,234(5):1347-1355.

[5] Yao Y Y. Interval set algebra for qualitative knowledge representation[C]//Proceedings of the 5th International Conference on Computing and Information. Ontario,1993.

[6] 付清.模糊軟集及其在決策中的應(yīng)用[D].寧波:寧波大學(xué)，2012.

[7] 張小紅,裴道武,代建華.模糊數(shù)學(xué)與Rough集理論[M].北京:清華大學(xué)出版社,2013:34-35.

[8] Qin K Y, Meng D, Pei Z,et al. Combination of interval set and soft set[J]. International Journal of Computational Intelligence Systems, 2013, 6(2): 370-380.

[9] Aktas H, Cagman N. Soft sets and soft groups[J].Information Sciences,2007,177(3):2726-2735.

[10] Acar H, Koyuncu F, Tanay B. Soft sets and soft rings[J].Computers and Mathematics with Applications, 2010,59(11):3458-3463.

[11] Feng F, Jun Y B, Zhao X Z. Soft semirings[J].Computers and Mathematics with Applications, 2008, 56(10): 2621-2628.

[12] 肖旗梅,李慶國.軟Quantale[J].計算機(jī)工程與應(yīng)用,2012,48(6):21-23.

[13] 廖祖華,芮明力.軟坡[J].計算機(jī)工程與應(yīng)用,2012,48(2):30-32.

[14] 邵迎超,朱振國,秦克云.軟集與軟格[J].計算機(jī)工程與應(yīng)用,2013,49(3):10-14.

[15] Jun Y B. Soft BCK/BCI algebras[J].Computers and Mathematics with Applications,2008,56(5):1408-1413.

[16] Zhan J, Jun Y B. Soft BL-algebras based on fuzzy sets[J].Computers and Mathematics with Applications, 2010,59(6):2037-2046.

[17] 邵迎超,秦克云.軟集與軟RSL-代數(shù)[J].計算機(jī)工程與應(yīng)用,2011,47(27):15-18.

[18] 張小紅.模糊邏輯及其代數(shù)分析[M].北京：科學(xué)出版社，2008.

[19] Duentsch I, Winter M. Rough relation algebras revisited[J].Fundamenta Informaticae, 2006,74(2):283-300.

Interval Soft RSL-algebras

XU Hong-wei, LIU Wei-feng, ZHANG Li-tao

(DepartmentofMathematicsandPhysics,ZhengzhouInstituteofAeronauticalIndustryManagement,Zhengzhou450015,China)

The notion of interval soft sets was applied to RSL-algebras. The concepts of interval soft RSL-algebras, interval soft RSL-subalgebras and soft homomorphism between interval soft RSL-algebras were defined and some basic properties were discussed. The results of soft RSL-algebras in related reference were generalized.

soft sets; interval soft sets; RSL-algebras; soft RSL-algebras; interval soft RSL-algebras

2013-03-19

國家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元基金資助項目，編號11226337；河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項目，編號12B110027.

許宏偉(1957-)，男，副教授，碩士，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究，E-mail：xhwzzia@163.com.

O 153

A

1671-6841(2014)01-0037-05

10.3969/j.issn/1671-6841.2014.01.009