雙邊生滅過程的軌道結構與Motoo理論

陳 麗， 薛玲霞

(1.鄭州師范學院 數學與統計學院 鄭州 450044；2.鄭州旅游職業學院 基礎部 鄭州 450009)

雙邊生滅過程的軌道結構與Motoo理論

陳 麗1， 薛玲霞2

(1.鄭州師范學院 數學與統計學院 鄭州 450044；2.鄭州旅游職業學院 基礎部 鄭州 450009)

主要研究雙邊生滅過程的軌道結構和構造理論中的生滅過程與Motoo理論之間的對應關系，并且說明了構造理論中各個參數的概率含義.

雙邊生滅過程； Ray-Knight緊化； 右過程； Motoo理論

0 引言

文獻[1-2]利用Markov過程中的一般理論刻畫了生滅過程的軌道結構：從(-)是流入的，(-)是流出的，(-)是自然的，(-)是正則的等幾個方面指出雙邊生滅軌道結構與構造理論之間的對應關系，本文在文獻[1-2]的基礎上，繼續給出和-都是流出的情況下雙邊生滅過程的軌道結構和構造理論，并研究生滅過程與Motoo理論之間的對應關系，說明雙邊生滅過程構造理論中各個參數的概率含義.

1 預備知識

設E={…,-2,-1,0,1,2,…}，ai,bi,i=0,±1,±2,…是一組正數，Q=(qi,j)是E上的雙邊生滅矩陣，其中

如文獻[1-2]，定義Q的自然尺度zi,i=0,±1,±2,…如下：

z0=0,

定義標注測度μi,i=0,±1,±2,…，如下：

(1)

令

(2)

在R-,R,S-,S分別取有限和無限的情況下，把-和分為正則、流入、流出和自然4種情況.并且對于任意的i∈E，令xi=Ei{e-λσ0},yi=Ei{e-λσ},ωi=Ei{e-λσ-}.這些量都是由Q的最小過程唯一確定的.

在文獻[1-2]中，討論了和-在一些特殊情況下的軌道結構和構造理論，本文利用Motoo理論及文獻[3-5]繼續討論在其他情況下的軌道結構和構造理論.

2 Mootoo理論簡介

設S是一個Lusin空間，X=(Ω,R,Rt,Xt,θt,Px)是一個狀態空間為S的Hunt過程，即X滿足假設：

1)X的軌道是右連左極的；

2)濾子{Rt}是右連續的；

4)X滿足正規性，即Px{X0=x}=1,?x∈E；

5)對于任意的X的α-過分函數f(·)，過程{f(Xt)}t≥0是右連續的；

6)X是擬左連續的.

令φ(x)=Ex{e-σ},x∈S.存在唯一的可加泛函{Lt}，使得

φ(x)=Ex{∫(0,)e-sdLs},?x∈S，

(3)

并且Lebesgue-Stieltjes測度dL(ω)的支撐幾乎必然等于Z(ω)，{Lt}稱為X在V上的局部時.

由文獻[6]，存在V上的函數l(·)，使得

∫(0,t)IV(Xs)ds=∫(0,t)l(Xs)dLs

(4)

存在(Ω,R)上的σ有限測度族P(x,·),x∈V，使得對于任意的x∈E,F∈R及可料過程{Zt}，有

(5)

并且對于任意的{Rt}停時T，B∈R,Λ∈RT，

P(x,IΛ·IB°θT)=P(x,IΛ·EXT{IB}),

(6)

P(x,·),x∈V稱為X在V上的游程測度，式(6)說明游程測度具有強Markov性.(P,L)稱為X在V上的流出系統.此外，P(x,·)還滿足方程

P(x,1-e-σ)=1.

(7)

ωα(x)=P(x,(1-e-ασ)I{x}(Xσ)),?x∈V，

(8)

(9)

(10)

對于任意的x∈S,f∈B+(S)，有

(11)

3 生滅過程與Motoo理論

文獻[3]給出了-和都是流出的， 而生滅過程的豫解式Rij(λ)誘導的Ray-Knight緊化的附加點有兩個或一個，其中只有一個是正則點的情況.在本文中假定：

1)-和都是流出的，Rij(λ)是密度矩陣為生滅矩陣Q的誠實的豫解式;

2)E在Rij(λ)下的Ray-Knight緊化為E∪{-,};

3)對Rij(λ)誘導的右過程X=(Ω,R,Rt,Xt,θt,Px)來說，-和都是非分支點.

與Rij(λ)是誠實的豫解式矛盾.所以

所以

由文獻[3]中引理3，(ψj(λ),j∈E)滿足方程組

(12)

但由于-和都是流出的，由文獻[3]中引理4，方程組(12)只有零解，矛盾.所以P{τ=0}=1，即是右過程X=(Ω,R,Rt,Xt,θt,Px)的正則點.同理-也是正則點.

由于-和都是正則點，所以V的首中時和首達時幾乎必然相同，也和馬氏鏈的爆炸時間相等，即σV=σ，此外，由于生滅矩陣Q有兩個Martin積極流出邊界-和，在t→σ-時，最小過程的極限也有兩種情況，所以Martin積極流出邊界-和Ray-Knight緊化中的極限相同，也是-和，所以-和既是Martin積極流出邊界，又是Ray-Knight緊化中的附加點.

令V={-,}.由式(3)，存在X的可加泛函Lt使得

由于

由游程測度P(x,·),x∈V的強Markov性(6)，則

令

由式(7)可得

(13)

由式(8)，有

即

令

(14)

(15)

由式(10)容易得出

將這些量帶入式(11)，有定理1.

(16)

[1] 陳麗，薛玲霞，蘭社云，等．雙邊生滅過程的軌道結構和構造理論[J]．河南大學學報:自然科學版，2012，42(4)：337-342．

[2] 陳麗，薛玲霞．雙邊生滅過程的軌道結構和構造理論(II)[J]．河南大學學報:自然科學版，2013，43(1)：5-10．

[3] 楊向群．可列馬爾科夫過程構造論[M]．長沙：湖南科學技術出版社， 1986： 34-205.

[4] 侯振挺，郭青峰．齊次可列馬爾科夫過程[M]．北京：科學出版社，1980：55-69.

[5] 呂芳，王燕．Ito游程理論下的生滅過程的構造[J]．鄭州大學學報：理學版，2012，44(3)：65-71．

[6] 呂芳．生滅過程自有限態“流入”的軌道性質[J]．信陽師范學院學報：自然科學版，2011，24(3)：49-55．

[7] 候賢敏，李巧利．生滅過程的Ito 復合定理[J]．鄭州大學學報：理學版，2011，43(4)：23-30．

Paths of Bi-lateral Birth-death Process and Theory of Motoo

CHEN Li1, XUE Ling-xia2

(1.SchoolofMathematicsandStatistics,ZhengzhouNormalUniversity,Zhengzhou450044,China;2.DepartmentofBasic,ZhengzhouTourismCollege,Zhengzhou450009,China)

The orbits of bi-lateral birth-death process and the structures of the general theory of Markov processes were discussed, the corresponding relation between birth-death process and Motoo theory was studied, and the probability meaning of each parameter in the structure was given.

bi-lateral birth-death process; Ray-Knight compactification; right process; Motoo theory

2013-07-15

鄭州師范學院校級項目,編號 2012083.

陳麗(1968-)，女，副教授，碩士，主要從事概率論研究,E-mail:clxuu6697@sina.com.

O 211.62

A

1671-6841(2014)01-0042-05

10.3969/j.issn/1671-6841.2014.01.010