基于Bootstrap方法的分布未知情況下的小波動過程質量控制

王海宇

(中原工學院 經濟管理學院 河南 鄭州 450007)

基于Bootstrap方法的分布未知情況下的小波動過程質量控制

王海宇

(中原工學院 經濟管理學院 河南 鄭州 450007)

討論了在質量特性分布未知的情況下對小批量生產過程中產生的較小異常波動進行監控的一種Bootstrap WV-EWMA控制圖設計方法.首先引入賦權方差法將任意未知分布轉換為兩個正態分布，由此構造WV-EWMA控制圖.然后通過對有限樣本進行多次隨機有放回抽樣的Bootstrap方法對未知分布的集中和離散程度進行較為有效的統計估計，由此建立能夠對分布未知的小批量過程進行質量監控的Bootstrap WV-EWMA方法.以平均運行長度ARL(average run length)為監控效率的衡量指標，提出了這種小波動控制圖方法的優化參數設計方案，并通過與已有的方法進行對比說明這種方法的有效性.

過程質量控制； Bootstrap方法； EWMA控制圖

0 引言

在當今快速多變的市場競爭中，生產制造過程逐步呈現出由傳統的大批量生產向多品種小批量生產轉變的趨勢.在多品種小批量生產環境中，無法像大批量生產過程那樣抽取大量的樣本來確定數據的統計分布，更不能精確估計均值和標準差.若直接利用傳統方法對小樣本質量過程建立控制限，會造成虛發警報的概率顯著增大，從而導致無謂的調整次數增多，干擾正常的產品生產過程[1].文[2]最早提出了小樣本均值極差控制圖，文[3]利用概率積分變換方法將小樣本觀測值轉換成標準正態分布，提出了Q控制圖.文[4]提出了工序相似性評判的方法將多個小批量過程轉換為近似的大批量過程進行質量監控.文[5]將編碼相同的工序劃分為同一個虛擬工序，再用傳統控制圖方法進行監控.文[6]應用貝葉斯統計推斷的方法對分布參數未知的正態小批量過程構造先驗質量控制模型.但是這些方法都需要先進行較為繁雜的轉換運算，不利于生產實踐的實時應用.近年來，Bootstrap方法受到了國內外專家的廣泛關注，該方法只依賴能獲得的少量樣本來模擬大樣本進行統計分析，彌補了傳統方法中的不足.文[7]首先提出了Bootstrap控制圖的概念，王晶等探討了正態分布假定條件下小批量生產過程的Bootstrap控制圖的應用[8].但上述研究仍然假定過程服從分布參數未知的正態分布，而對于非正態過程，尤其是那些沒有先驗數據判斷過程分布的類型的情況，上述研究方法則難以有效應用.本文將針對這一問題，探討采用賦權方差法分析構建分布類型不確定情形下的非對稱小波動EWMA控制圖，進而通過Bootstrap方法用少量樣本對總體進行較精確的統計推斷，構造Bootstrap WV-EWMA控制圖方法，以有效對分布未知情況下的小批量生產過程進行質量監控.

1 賦權方差(WV)法

Choobine和Ballard最早提出用賦權方差(WV)法將非正態分布轉換為正態分布[9]，本文則將該方法應用在對未知分布進行正態性轉換.假設一未知分布f(x)具有未知參數均值μ和標準差σ，如圖1(a).將該未知分布從均值的位置分成兩個部分，每一部分都分別作為兩個不同的正態分布的一半，將這兩個正態分布補齊，形成圖1(b)和(c)的兩個分布fL(x)和fU(x)，它們具有相同的均值μ和不同的標準差σL和σU.圖1(d)和(e)為fL(x)和fU(x)分別轉換后的正態分布φ(x,μ,σL)和φ(x,μ,σU)，其概率密度函數分別為φ(x,μ,σL)=φ((x-μ)/σL)/σL，φ(x,μ,σU)=φ((x-μ)/σU)/σU[10]，這兩個分布分別用來計算控制圖的上下控制界限.

圖1 賦權方差法Fig.1 Weighted variance method

2 分布未知情況下的WV-EWMA控制圖

設X1,X2,…是相互獨立的隨機變量序列，則EWMA統計量Zi為

Zi=λ(Xi-μ)+(1-λ)Zi-1， 0<λ≤1，i=1,2,…,

(1)

其中，Z0=μ,λ為EWMA平滑系數.

由EWMA控制統計量中的權重特點，可以得到EWMA控制統計量Z的數學期望E(Z)和方差D(Z)分別為：

E(Z)=E(X)=μ;D(Z)=(λ/(2-λ))[1-(1-λ)2i]D(X),

(2)

當i比較大以后，方差就趨向于一個常數,D(Z)=(λ/(2-λ)n)σ，其中n為樣本容量.

(3)

其中，k為控制線參數，在常規控制圖中，通常取k=3.

3 基于Bootstrap方法的WV-EWMA控制圖

在式(3)中，均值μ、標準差σ和比例系數PX的估計準確與否將直接決定控制圖的使用效果，因此對于多品種小批量的生產環境，有必要采用Bootstrap方法進行參數估計.Bootstrap是一種只能獲得少量樣本情況下的統計估計，它是一種以原始數據為基礎的模擬抽樣統計推斷方法，通過重采樣來擴充樣本容量并進行統計推斷.設對于某未知的小批量過程采集了數量為m的隨機樣本集,T0={x1,x2,…,xm}，其中xi為該分布的獨立隨機樣本.對樣本T0進行反復重采樣，即有放回的抽取B個樣本容量為n的隨機樣本，通過對這些樣本數據的統計分析來對各類統計量如均值、方差等進行近似.如果B取足夠大，那么通過從T0中重復抽樣，就可以為各類統計量獲得比較精確的估計和推斷結果.在實際應用中，只需抽取B=1 000個左右Bootstrap樣本即可[11].

Bootstrap WV-EWMA圖可以由6個步驟設計完成：

1)對待監控的生產過程，抽取少量的d個樣本容量為n的觀測值作為原始樣本,

T0={x11,…,x1n,x21,…,x2n,…,xd1,…,xdn}.

2)對樣本T0進行有放回反復重采樣，抽取B≥1 000個樣本容量為n的Bootstrap樣本Ti，i=1,2,…,B.

6)計算控制限.將比例系數PX的值代入式(3)，就可以得到控制圖的控制界限.

4 Bootstrap WV-EWMA圖的優化設計

平均運行長度ARL(average run length)常常被用于控制圖監控效率的評價指標，是指從過程出現異常波動到該異常被控制圖發現之間的樣本個數.對于EWMA圖，文[12]提出采用積分計算的方法估計運行長度的分布情況，文[13]則提出用馬爾可夫鏈的方法來研究平均運行長度.而對于未知分布下的EWMA圖，由于其控制線的不確定性，難以使用積分計算的方法，因此本文采用馬爾可夫鏈的方法來研究平均運行長度，具體計算方法參考文獻[14].根據平均運行長度的計算方法可以設計出效果最優的監控方案，其原則是：當過程處于受控狀態時，平均運行長度應該盡可能的大，通常為和常規控制圖保持同樣的錯誤報警概率，取受控狀態的平均運行長度ARL0=370；當過程中發生了不可以接受的偏移時，平均運行長度應該盡可能的小，以盡快地發現出現的偏移，減少其帶來的損失.表1給出了在PX分別為0.3，0.4，0.5，0.6，0.7幾種情況下對于不同的偏移量l(偏移程度以標準差的倍數來統一度量)的最優設計參數(Bootstrap仿真抽樣和平均運行長度的計算可以通過Matlab語言編程獲得).

表1 Bootstrap WV-EWMA圖優化方案(ARL0=370)Tab.1 The optimal design schemes of Bootstrap WV-EWMA

5 監控效率比較

本文把上面提出的設計方案與其他一些過程監控方案進行簡單的比較，包括常規的均值極差控制圖、EWMA控制圖、Q圖等.表2是通過仿真PX分別是0.5和0.6情況下,小批量樣本數據計算各種監控方法平均運行長度進行比較的結果.

表2 未知分布情況下4種監控方法的平均運行長度Tab.2 ARL of four control charts for unknown distribution

6 應用實例

某零件生產過程中，要求鉆孔直徑為24.3±0.5 μm，現從生產過程中每隔20 s抽取4個產品，共抽取6個樣本進行檢測，結果見表3.

表3 原始觀測數據Tab.3 The original observation data

按照未知分布下的Bootstrap WV-EWMA控制圖實施步驟：

1)首先，對表3中的原始數據進行有放回重復抽樣，共抽取1 000個樣本容量為4的Bootstrap樣本；

2)分別計算樣本均值和樣本方差，由于數據過多，文中不再一一列出.

5)計算EWMA控制圖的控制界限.由表1可知，PX的值近似取0.7，于是有平滑系數λ=0.2，控制限參數k=2.5，就可計算控制界限為：

6)用于過程質量監控.按照控制界限進行繪圖，以樣本容量為4采集現場的實時數據，計算樣本均值進行描點，如圖2所示.

圖2 鉆孔直徑的未知分布Bootstrap WV-EWMA控制圖Fig.2 Bootstrap WV-EWMA chart of drill diameter

7)過程異常判斷.Bootstrap WV-EWMA控制圖的判異準則與一般的EWMA圖的判異準則一致，如果圖中每次描點都處于上下控制限之間，類似于本例中的情形，則可以認為過程處于穩定狀態，不需要對過程進行干擾，繼續正常生產及采樣監控；而一旦出現有點超出上下控制限，則表示過程已經出現異常，應立即采取措施，查明并消除異常發生的原因.

7 結論

多品種小批量生產條件下，由于無法獲取足夠多的樣本以有效估計過程總體的分布狀況，傳統控制圖方法也就不能有效地建立和實施.本文將Bootstrap方法和賦權方差方法應用到小波動EWMA控制圖的建立過程中，以此構造更符合小批量生產環境的控制圖技術，并通過實證分析驗證了這種方法的有效性.

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Process Quality Control for Small Shifts with Unknown DistributionBased on Bootstrap Method

WANG Hai-yu

(Economics&ManagementSchool,ZhongyuanUniversityofTechnology,Zhengzhou450007,China)

A Bootstrap EWMA control chart used for monitoring smaller abnormal fluctuation of unknown distribution for short run production was discussed. At first, weighted variance method was introduced to split an unknown distribution into two normal distributions and to construct a kind of WV-EWMA control chart. And then Bootstrap method was proposed to evaluate parameters of the unknown distribution and to construct Bootstrap WV-EWMA control chart. Using ARL as a performance assessment method, optimal parameters design scheme of this chart was proposed and the effectiveness of this chart was illustrated by comparing with other control charts.

statistical process control; Bootstrap method; EWMA chart

2013-05-15

國家自然科學基金資助項目，編號71002073.

王海宇(1979- )，男，副教授，博士，主要從事統計質量控制研究，E-mail:wanghy1979@126.com.

TB 114.2

A

1671-6841(2014)01-0063-05

10.3969/j.issn/1671-6841.2014.01.015