正定二次型的習題課設計

安彤

摘 要：本文給出一個教學實踐效果良好的習題課設計。首先復習了正定二次型的相關概念和性質，然后列出了正定二次型的判定方法，并輔以例題加以說明。

關鍵詞：正定二次型；正定矩陣；順序主子式

在實二次型理論中, 正定二次型占有特別重要的位置。為了幫助學生總結、鞏固和提升所學知識，本文給出一個經過課堂教學實踐，具有良好教學效果的習題課設計。

一、正定二次型相關概念和性質復習

首先，在較短時間內，帶領學生梳理正定二次型的基本概念和相關性質、了解重點和難點，并澄清一些常犯的錯誤與疑惑。

1.定義

設實二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX,對于任意一組不全為零的實數c1,c2,…,cn有f(c1,c2,…,cn)>0，則稱f為正定二次型，并稱正定二次型的矩陣A為正定矩陣。

注：判斷正定矩陣的前提是該矩陣必須為對稱矩陣。

2.結論和性質

結論1.非退化線性替換不改變二次型的正定性。

性質1.若A為正定矩陣，則|A|>0，A可逆。

性質2.與正定矩陣合同的實對稱陣也是正定矩陣。

性質3.正定矩陣的主對角線上元素必全大于零。

性質4.正定矩陣的元素的絕對值最大者一定是主對角線上的元素。

性質5.若A為正定矩陣，則|A|≤a11…ann，當且僅當A為對角陣時等號成立。

正定矩陣的這些性質可以用來判定某些實對稱矩陣不是正定陣。例如：主對角元有非正數的對稱陣必不是正定陣；只要有一個非對角元的絕對值不小于主對角元的最大者，則這個矩陣必不是正定陣；若對于n階矩陣A有，|A|>a11…ann，則A必不是正定陣。

例1.判斷二次型f=10x21+8x1x2+14x1x3+2x22-28x2x3+x23是否正定。

解：二次型f的矩陣

A=1041242-1412 -141

顯然A中元素絕對值最大者為|a23|=|a32|=14不是對角元，因此f不是正定二次型。

性質6.若A為正定矩陣，則A-1，A*，Ak（k為正整數）也為正定矩陣。

性質7.若A與B均為正定矩陣，則A+B也為正定矩陣。

二、正定二次型（矩陣）的判別方法

首先，和學生一起總結判別正定二次型的常用方法和充分必要條件，然后，通過對典型例題的分析講評，幫助學生梳理解題的思路、熟悉常用的方法和技巧，對一個具體的問題到底該用哪種方法判斷。另外，精選適量練習題，幫助學生更好地理解和掌握基本內容和基本解題方法，達到鞏固、悟新與提高的目的。在題后要加以點評，其目的在于幫助學生弄清重點、難點、知識結合點和應注意的問題。

1.定義判別法

例2.判斷二次型f=x21-2x1x2-2x1x3+2x22+3x23是否正定。

法一：因為對任意的x1，x2，x3，恒有f=(x1-x2)2+(x2-x3)2+2x23≥0。令f=0，即x1-x2=0,x2-x3=0,x3=0，解得x1=0，x2=0，x3=0。所以可得：對于不全為零的x1,x2,x3，都有f>0，所以f是正定二次型。

2.標準形判別法

實二次型f=XTAX是正定二次型（或A是正定矩陣）?圳正慣性指數等于n?圳f的規范形為■ni-1y2i?圳A與E合同，即存在可逆矩陣P，使A=PTP?圳A合同于主對角元大于零的對角矩陣?圳A的所有特征值全大于零。

對于同一個問題往往可以用不同的方法來判斷，如例2 中的二次型也可以用特征值或正慣性指數來判斷。

法二：二次型f對應的矩陣為，A=1 -1 0-1 2 -10 -1 3

其特征值為x1=2,x2=2+■,x3=2-■，顯然都大于零，所以f是正定二次型。

法三：由于f=(x1-x2)2+(x2-x3)2+2x23，做變換

y1=x1-x2y2=x2-x3y3=x3

則二次型化為標準形f=y21+y22+2y23，可以看到此二次型的正慣性指數為3，所以f是正定二次型。

3.主子式判別法

實二次型f=XTAX是正定二次型A的所有順序主子式全都大于零?圳A的所有主子式均大于零。

法四：由于A的各階順序主子式為

|A1|=1>0,|A2|=1 -1-1 2=1>0,|A|=1 -1 0-1 2 10 -1 3=2>0

所以f是正定二次型。

參考文獻：

[1]王萼芳，石生明.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]楊子胥.高等代數精選題解[M].北京：高等教育出版社，2009.

摘 要：本文給出一個教學實踐效果良好的習題課設計。首先復習了正定二次型的相關概念和性質，然后列出了正定二次型的判定方法，并輔以例題加以說明。

關鍵詞：正定二次型；正定矩陣；順序主子式

在實二次型理論中, 正定二次型占有特別重要的位置。為了幫助學生總結、鞏固和提升所學知識，本文給出一個經過課堂教學實踐，具有良好教學效果的習題課設計。

一、正定二次型相關概念和性質復習

首先，在較短時間內，帶領學生梳理正定二次型的基本概念和相關性質、了解重點和難點，并澄清一些常犯的錯誤與疑惑。

1.定義

設實二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX,對于任意一組不全為零的實數c1,c2,…,cn有f(c1,c2,…,cn)>0，則稱f為正定二次型，并稱正定二次型的矩陣A為正定矩陣。

注：判斷正定矩陣的前提是該矩陣必須為對稱矩陣。

2.結論和性質

結論1.非退化線性替換不改變二次型的正定性。

性質1.若A為正定矩陣，則|A|>0，A可逆。

性質2.與正定矩陣合同的實對稱陣也是正定矩陣。

性質3.正定矩陣的主對角線上元素必全大于零。

性質4.正定矩陣的元素的絕對值最大者一定是主對角線上的元素。

性質5.若A為正定矩陣，則|A|≤a11…ann，當且僅當A為對角陣時等號成立。

正定矩陣的這些性質可以用來判定某些實對稱矩陣不是正定陣。例如：主對角元有非正數的對稱陣必不是正定陣；只要有一個非對角元的絕對值不小于主對角元的最大者，則這個矩陣必不是正定陣；若對于n階矩陣A有，|A|>a11…ann，則A必不是正定陣。

例1.判斷二次型f=10x21+8x1x2+14x1x3+2x22-28x2x3+x23是否正定。

解：二次型f的矩陣

A=1041242-1412 -141

顯然A中元素絕對值最大者為|a23|=|a32|=14不是對角元，因此f不是正定二次型。

性質6.若A為正定矩陣，則A-1，A*，Ak（k為正整數）也為正定矩陣。

性質7.若A與B均為正定矩陣，則A+B也為正定矩陣。

二、正定二次型（矩陣）的判別方法

首先，和學生一起總結判別正定二次型的常用方法和充分必要條件，然后，通過對典型例題的分析講評，幫助學生梳理解題的思路、熟悉常用的方法和技巧，對一個具體的問題到底該用哪種方法判斷。另外，精選適量練習題，幫助學生更好地理解和掌握基本內容和基本解題方法，達到鞏固、悟新與提高的目的。在題后要加以點評，其目的在于幫助學生弄清重點、難點、知識結合點和應注意的問題。

1.定義判別法

例2.判斷二次型f=x21-2x1x2-2x1x3+2x22+3x23是否正定。

法一：因為對任意的x1，x2，x3，恒有f=(x1-x2)2+(x2-x3)2+2x23≥0。令f=0，即x1-x2=0,x2-x3=0,x3=0，解得x1=0，x2=0，x3=0。所以可得：對于不全為零的x1,x2,x3，都有f>0，所以f是正定二次型。

2.標準形判別法

實二次型f=XTAX是正定二次型（或A是正定矩陣）?圳正慣性指數等于n?圳f的規范形為■ni-1y2i?圳A與E合同，即存在可逆矩陣P，使A=PTP?圳A合同于主對角元大于零的對角矩陣?圳A的所有特征值全大于零。

對于同一個問題往往可以用不同的方法來判斷，如例2 中的二次型也可以用特征值或正慣性指數來判斷。

法二：二次型f對應的矩陣為，A=1 -1 0-1 2 -10 -1 3

其特征值為x1=2,x2=2+■,x3=2-■，顯然都大于零，所以f是正定二次型。

法三：由于f=(x1-x2)2+(x2-x3)2+2x23，做變換

y1=x1-x2y2=x2-x3y3=x3

則二次型化為標準形f=y21+y22+2y23，可以看到此二次型的正慣性指數為3，所以f是正定二次型。

3.主子式判別法

實二次型f=XTAX是正定二次型A的所有順序主子式全都大于零?圳A的所有主子式均大于零。

法四：由于A的各階順序主子式為

|A1|=1>0,|A2|=1 -1-1 2=1>0,|A|=1 -1 0-1 2 10 -1 3=2>0

所以f是正定二次型。

參考文獻：

[1]王萼芳，石生明.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]楊子胥.高等代數精選題解[M].北京：高等教育出版社，2009.

摘 要：本文給出一個教學實踐效果良好的習題課設計。首先復習了正定二次型的相關概念和性質，然后列出了正定二次型的判定方法，并輔以例題加以說明。

關鍵詞：正定二次型；正定矩陣；順序主子式

在實二次型理論中, 正定二次型占有特別重要的位置。為了幫助學生總結、鞏固和提升所學知識，本文給出一個經過課堂教學實踐，具有良好教學效果的習題課設計。

一、正定二次型相關概念和性質復習

首先，在較短時間內，帶領學生梳理正定二次型的基本概念和相關性質、了解重點和難點，并澄清一些常犯的錯誤與疑惑。

1.定義

設實二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX,對于任意一組不全為零的實數c1,c2,…,cn有f(c1,c2,…,cn)>0，則稱f為正定二次型，并稱正定二次型的矩陣A為正定矩陣。

注：判斷正定矩陣的前提是該矩陣必須為對稱矩陣。

2.結論和性質

結論1.非退化線性替換不改變二次型的正定性。

性質1.若A為正定矩陣，則|A|>0，A可逆。

性質2.與正定矩陣合同的實對稱陣也是正定矩陣。

性質3.正定矩陣的主對角線上元素必全大于零。

性質4.正定矩陣的元素的絕對值最大者一定是主對角線上的元素。

性質5.若A為正定矩陣，則|A|≤a11…ann，當且僅當A為對角陣時等號成立。

正定矩陣的這些性質可以用來判定某些實對稱矩陣不是正定陣。例如：主對角元有非正數的對稱陣必不是正定陣；只要有一個非對角元的絕對值不小于主對角元的最大者，則這個矩陣必不是正定陣；若對于n階矩陣A有，|A|>a11…ann，則A必不是正定陣。

例1.判斷二次型f=10x21+8x1x2+14x1x3+2x22-28x2x3+x23是否正定。

解：二次型f的矩陣

A=1041242-1412 -141

顯然A中元素絕對值最大者為|a23|=|a32|=14不是對角元，因此f不是正定二次型。

性質6.若A為正定矩陣，則A-1，A*，Ak（k為正整數）也為正定矩陣。

性質7.若A與B均為正定矩陣，則A+B也為正定矩陣。

二、正定二次型（矩陣）的判別方法

首先，和學生一起總結判別正定二次型的常用方法和充分必要條件，然后，通過對典型例題的分析講評，幫助學生梳理解題的思路、熟悉常用的方法和技巧，對一個具體的問題到底該用哪種方法判斷。另外，精選適量練習題，幫助學生更好地理解和掌握基本內容和基本解題方法，達到鞏固、悟新與提高的目的。在題后要加以點評，其目的在于幫助學生弄清重點、難點、知識結合點和應注意的問題。

1.定義判別法

例2.判斷二次型f=x21-2x1x2-2x1x3+2x22+3x23是否正定。

法一：因為對任意的x1，x2，x3，恒有f=(x1-x2)2+(x2-x3)2+2x23≥0。令f=0，即x1-x2=0,x2-x3=0,x3=0，解得x1=0，x2=0，x3=0。所以可得：對于不全為零的x1,x2,x3，都有f>0，所以f是正定二次型。

2.標準形判別法

實二次型f=XTAX是正定二次型（或A是正定矩陣）?圳正慣性指數等于n?圳f的規范形為■ni-1y2i?圳A與E合同，即存在可逆矩陣P，使A=PTP?圳A合同于主對角元大于零的對角矩陣?圳A的所有特征值全大于零。

對于同一個問題往往可以用不同的方法來判斷，如例2 中的二次型也可以用特征值或正慣性指數來判斷。

法二：二次型f對應的矩陣為，A=1 -1 0-1 2 -10 -1 3

其特征值為x1=2,x2=2+■,x3=2-■，顯然都大于零，所以f是正定二次型。

法三：由于f=(x1-x2)2+(x2-x3)2+2x23，做變換

y1=x1-x2y2=x2-x3y3=x3

則二次型化為標準形f=y21+y22+2y23，可以看到此二次型的正慣性指數為3，所以f是正定二次型。

3.主子式判別法

實二次型f=XTAX是正定二次型A的所有順序主子式全都大于零?圳A的所有主子式均大于零。

法四：由于A的各階順序主子式為

|A1|=1>0,|A2|=1 -1-1 2=1>0,|A|=1 -1 0-1 2 10 -1 3=2>0

所以f是正定二次型。

參考文獻：

[1]王萼芳，石生明.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]楊子胥.高等代數精選題解[M].北京：高等教育出版社，2009.