高中數學恒成立問題的幾種求解策略

李韶偉

【摘要】恒成立問題是數學中常見問題，也是歷年高考的一個熱點。它綜合考查函數、方程和不等式的主要內容，并且與函數的最值、方程的解和參數的取值范圍緊密相連。筆者結合解題教學實踐，對不等式恒成立問題的類型和求解策略作一總結，以期對學生的學習有所幫助。

【關鍵詞】恒成立問題函數 求解策略

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2014）4-0216-02

一、二次函數型恒成立問題求解策略

給定一元二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0，x∈R)結合一元二次函數的圖象以及性質有：

（1）f(x)>0在x∈R上恒成立；<=> a>0且△<0；

（2）f(x)<0在x∈R上恒成立上恒成立；<=> a<0且△<0；

例2：若不等式（m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集是R，求m的范圍。

分析：若要應用上面的結論，必須保證二次項系數不為0，但二次項系數含有參數m，所以要討論m-a是否是0。

解： 當m-1=0時，即m=1時，原不等式化為2>0對任意的x恒成立，滿足題意；

當m-1≠0時，即m≠1時，

只需

，解的m∈（1，9）

綜上所述，實數m的取值范圍是m∈[1,9)。

注:在二次函數型恒成立問題中分類討論思想用的比較多，凡是涉及二次項系數含有參數的，一般都需要討論二次項系數是否為0的情況，解題時要注意這一點。

若給定的一元二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0，x∈R)中的x取值范圍有限制，則可利用零點的分布解決問題。

例3：設f(x)=x2-mx+2，當x∈[1,+∞)時，f(x)≥m恒成立，求實數m的取值范圍。

解：設F(x)=x2-mx+2-m， 當△=4(m-1)-（m+2)<0即-21成立；當△≥0時，F(x)≥0恒成立的充要條件為：

解得-3≤m≤-2。 綜上可得實數m的取值范圍為[-3,1)。

二、分離參數法求解恒成立問題策略

在給出的不等式中出現兩個變量，并且已知一個變量的范圍，求解另一個變量的范圍時，如果通過恒等變形直接解出參數，則可將兩變量分別置于不等式的兩邊，將不等式轉化為函數的最值問題求解，其一般類型為：

（1）f(x) >a 恒成立<=> af(a)≤g(x)min；（2）f(x) a>f(x)max；f(a)≥g(x)恒成立 <=>f(a)≥g(x)max

例4：已知函數f(x）=lg

x+-2，若對任意x∈[2,+∞)恒有

f(x）>0，試確定a的取值范圍。

解：根據題意得：x+-2>1在x∈[2,+∞)上恒成立， 即a> -x2+3x：在x∈[2,+∞)上恒成立，設f(x)=-x2+3x，則f(x)=(x-)2+，當x=2時，f(x)max=2 ，所以a>2。

三、消元轉化策略求解恒成立問題策略

消元轉化策略：對于含有兩個以上變量的不等式恒成立問題,可以根據題意依次進行消元轉化,從而轉化為只含有兩變量的不等式問題,使問題得到解決。

例5：已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數，且f(1)=1，當m，n∈[-1,1]，m+n≠0時，>0若f(x）≤t2-2at+1對于所有的a∈[-1,1]恒成立，求實數t的取值范圍。

分析:本題不等式中有三個變量，因此可以通過消元轉化的策略，先消去一個變量。

解：因為f(x)是定義在[-1,1]上的增函數，故f(x)在[-1,1]上的最大值為f(1)=1，則f(x）≤t2-2at+1對于所有的x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立<=>1≤t2-2at+1對于所有的a∈[-1,1]恒成立，即2ta-t2≤0對于所有的a∈[-1,1]恒成立，令g(a)=2ta-t2，只要

∴t≤-2或t≥2或t=0。

四、確定主元法求解恒成立問題策略

在給出的含有兩個變量的不等式中，學生習慣把變量看成是主元（未知數），而把另一個變量看成參數，在有些問題中這樣的解題過程繁瑣。如果能把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數，常常可使問題降次，簡化。

例6：若不等式2x-1>m(x2-1)對滿足m≤2的所有m都成立，求x的取值范圍。

分析:若把m看作參數，則題設不等式是關于x的一元二次（或一元一次不等式），處理比較困難，若x把看作參數，m看作主變量，將問題轉化為已知m的不等式成立的條件，確定參數的取值范圍，求解就比較容易些。

解： 設f(m)=m(x2-1）-（2x-1)，這是一個關于m的一次函數（或者常函數），對滿足m≤2的m，f(m)<0恒成立，

∴

∴

解得：

五、利用集合與集合間的關系求解恒成立問題策略

在給出的不等式中，若能解出已知取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關系來求解，即則f(a)≤m且g(n)≥n，不等式的解即為實數a的取值范圍。

例7：當x∈

,3時，logax<1恒成立，求實數a的取值范圍。

解：∵-1

當a>1時，

,3

,a

∴

∴a≥3當0

,3a,

∴

∴0

綜上所得：0

以上介紹的幾種常見不等式恒成立問題的求解策略，只是分別從某個側面入手去探討不等式中參數的取值范圍。事實上，這些策略不是孤立的，在具體的解題實踐中，往往需要綜合考慮，靈活運用，才能使問題得以順利解決。

參考文獻：

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