論數學統一性在概率論教學中的應用

王彬，林靜

摘要：數學的統一性是指部分與部分、部分與整體間的互相貫通、相互轉化與一致性。認識數學的統一性，可促進對《概率論》中的概念、定理的理解，提高學習能力。

關鍵詞：數學統一性；概率論；教學

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）24-0075-02

數學是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門科學。據統計，至今為止數學已經有將近100多個高深廣博的分支。其中，概率論是研究隨機性或不確定性等現象的一個數學分支。《概率論》或《概率論與數理統計》是大學課堂教學中必修的一門課程。對于大部分已習慣于學習確定性數學內容的學生來說，概率論中相關概念或定義等內容感到難以理解。尤其是隨著高等教育的普及或因為部分學校功利主義傾向影響，一些院系在課時安排上盡可能壓縮《高等數學》等數學基礎理論課程，忽視其在學生思維能力訓練方面的重要作用，進一步造成了學生理解與分析能力的欠缺。本文利用數學的統一性的原理，對概率論中的某些概念、定理的理解作一些粗淺的探討，以利于學生更好地掌握并應用概率思想。辯證唯物主義認為物質和意識是對立的統一，它們統一于物質之中；物質和意識的對立產生于實踐，它們的統一又在實踐中實現。數學的統一性是指部分與部分、部分與整體間的互相貫通、相互轉化與和諧一致性。數學的發展過程以及內容都貫穿著辯證法，因此，數學的統一性不僅僅表現在統一的數學符號和共同的數學語言，更表現在其中各個分支固有的內在的聯系以及各個分支相互滲透和相互結合的趨勢。本文以概率論中的概率空間、隨機變量、數學期望、概率密度函數以及分布函數中所蘊含的數學統一性進行闡述，揭示數學的統一性思想對概率論的理解所產生的作用。

一、相關概念數學統一性分析

1.概率空間中的數學統一性。數學概念的發展是遵循認識規律的，是由簡單至復雜、由特殊到一般，有序地達到較高的抽象水平。簡而言之，概念統一性是通過邏輯推演擴大概念的性質結構后與原來概念之間的一致性。概率論教學過程中，充分利用數學概念的統一性以及數學分析中實數域上映射概念，便于學生對于初次接觸的概率空間的理解。實際上，我們先復習一下實數域上的映射概念以及容易理解的古典概率模型后，指出在古典概率模型中，所有可能的結果看成一個集合？贅，此集合上定義的概率是？贅→[0，1]的一個映射。根據認識規律，自然地，可將古典概率中的？贅可以是任一個非空集合，即為我們所說的樣本空間；而σ-域F是這個集合的一些子集的集合（滿足一定條件）；概率P實際上是？贅→[0，1]的一個映射，即將σ-域F的某個子集A（稱之為事件）對應于一個[0，1]上的數，記這個數為P（A）。由此可看出，概率空間本質上就是數學分析所學習的某一集合與其上所定義的一種映射所構成的有序對。

2.隨機變量中的數學統一性。隨機變量的定義以及如何從離散型隨機變量過度到連續型隨機變量是學習概率論過程中難以理解的一個知識點。在講解隨機變量的定義時，注意其和普通變量、普通函數之間的聯系，注意它們之間的統一性與差異性有助于學生對其理解。此外，指出離散隨機變量定義在具有有限或可列個元素的某一集合上；連續型隨機變量是定義在不可數的樣本空間上。通過對比離散函數與連續函數的統一性與差異性以及離散函數如何過度到連續函數（特別是連續函數作圖），讓學生對其有初步理解，然后結合定積分的定義（求和取極限）給出連續函數初步定義，最后導出其嚴格定義。事實上，離散與連續是矛盾的兩個方面，也是相對和絕對的統一，它們也具有統一性的一面。在現實中，我們有時將連續問題離散化處理，有時又將離散問題連續化分析。充分利用離散與連續這對矛盾是現代數學的主要矛盾之一，具體地深入地研究這對矛盾在概率論教學中的表現，將有助于學生對相關概念的理解。正如著名數學家Lovasz所說，離散數學與連續數學的結構和方法確實差別很大，但是從更深層次來說，離散與連續是一個事物的兩面。

3.數學期望中的數學統一性。在講解數學期望的時候，將數學分析中的數列求和以及定積分與之聯系起來，有助于理解為何在定義離散隨機變量的數學期望要求絕對收斂以及連續隨機變量要絕對可積。此外，特別向學生闡明連續隨機變量的數學期望中所蘊含的數學思想與定積分則有著驚人的統一：“以直代曲”。從方法論角度來看，它們之間在方法上更是驚人的一致：分割、求和、取極限。由此讓學生明白，以后的很多概率論問題均可利用定積分中的分部積分、換元積分、變上限的積分等內容來解決。這體現了數學分析與概率論這兩個不同領域在某種方面的相互轉化以及和諧一致性，它們之間具有統一性。

4.概率密度函數與分布函數的數學統一性。連續性隨機變量分布函數與概率密度函數是學生經常容易混淆的一個知識點。特別是概率密度函數這個概念，學生一般不好理解。此時，利用物理中體積、密度與質量之間的關系啟發學生思考概率與概率密度之間的關系。事實上，如果將某一區間上的概率看成“物體的質量”，其長度看作“物體的體積”，兩者之比值正好是“物體的密度”。因此概率密度函數在某點值的大小反映了隨機變量落在該點附近概率的大小，而連續型隨機變量落在某區間上的概率可轉化為其密度函數在該區間上的積分，完全轉化為已學過的數學分析中的定積分問題。此時，學生會恍然大悟，數學來源于物理，一些物理背景知識常常有助于理解數學概念，它們之間是和諧統一的。

二、啟示

20世紀最偉大的數學家戴維·希爾伯特曾說：數學科學是一個不可分割的有機整體，它的生命力正是各個部分之間的聯系。數學的發展必然是逐步統一的過程。因此，作為數學教師，如果沒有站在數學統一性高度去教授數學，呈現的必然只是一堆枯燥無味的數字、字母以及呆板的“定理—引理—證明”之步驟。因此，在概率論教學乃至其他數學教學中，教師應該正確處理好教學內容與其他知識點的統一性，闡明其中蘊含的辯證關系和相互轉化，注重其中對立統一性的討論與分析。將統一性思想具體融入到數學課堂教學中，這不僅能提高學習能力，促進學生對概率論以及數學知識的理解，提高學生知識點的融會貫通能力，而且在傳授知識的同時，對學生進行馬克思主義哲學思想的教育，使教書與育人結合起來，對培養辯證思維能力有著重要的作用。

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基金項目：本研究受桂林理工大學博士基金以及賀州學院2012年度院級科研項目“教育資源分配視角下城鄉義務教育均等化研究（項目編號：2012SKKY22）”資助。

作者簡介：王彬（1980-），湖南邵陽人，博士研究生，研究方向：概率論。endprint