單測角相對導航的相對距離重構新算法

龔柏春 ，羅建軍 ，馬 悅

（1.西北工業大學 航天學院，西安 710072；2.航天飛行動力學技術重點實驗室，西安 710072；3.96271部隊，洛陽 471600）

單測角相對導航的相對距離重構新算法

龔柏春1，2，羅建軍1，2，馬 悅3

（1.西北工業大學 航天學院，西安 710072；2.航天飛行動力學技術重點實驗室，西安 710072；3.96271部隊，洛陽 471600）

針對空間非合作目標中遠程交會的單測角相對導航技術中核心的相對距離重構問題，首次提出了一種基于初值輔助的CCD相對測角/GPS絕對定位的相對距離重構新算法。首先在分析傳統重構方法數學本質和優缺點的基礎上，以余弦定理為基礎，結合GPS歷元差分建立了相對距離重構算法模型，然后對該算法的重構誤差進行了理論推導和仿真分析。最后對兩種工況下相對距離的重構進行了數值仿真。仿真結果表明該算法能夠較為精確的重構出相對距離，重構精度取決于輔助初值的精度。因此，該算法具有重要的研究意義和應用價值。

空間非合作目標；相對導航；單測角；相對距離

近年來，針對地球軌道資源日趨緊張、故障衛星在軌修復以及軌道碎片清理等問題，各國積極展開了利用空間機器人（服務星）對故障衛星、軌道碎片等空間非合作目標進行監視、接近以及捕獲等在軌服務技術研究[1-2]。相對導航則是實現在軌自主服務的關鍵使能技術之一。通常服務星需要諸如微波雷達、激光雷達等星載傳感器系統來自主測量非合作目標的相對運動信息，但是由于體積、質量和燃耗等因素，這類主動式有源傳感器是不能適應未來服務星微小型化發展趨勢的。相反的，CCD相機這類被動式無源傳感器在這些方面卻體現出了相當的潛在優勢。但是，在中遠程交會階段，CCD相機僅能測量出服務星相對于非合作目標的相對視線信息，而沒有直接的距離信息[3]。正是由于缺乏距離信息，會導致相對導航濾波系統不完全可觀測。因此，研究僅有視線角信息的相對導航技術具有重要的理論研究意義和工程應用價值，而相對距離重構算法更是單測角相對導航的算法的核心。

國內外眾多學者對相對距離重構算法進行了研究，基本上都是基于“角-邊-角”的三角形確定算法完成相對距離重構的。Geller、Woffinden[3-5]等首先提出了如圖1所示的利用服務星軌道機動操作進行相對距離重構的思想，該算法通過非視線方向軌道機動獲取“邊長”δr，從而由δr、角α和角β確定三角形的外形，即確定相對距離ρ。Li[6]在 Geller等人研究的基礎上深入研究了軌道機動策略的優化問題。

圖1 軌道機動法和雙星編隊法Fig.1 Methods of orbit maneuvering and satellites formation

劉光明[7]、蘇建敏[8]等研究了基于雙星編隊聯合測量的相對距離重構算法，此類算法是通過雙星編隊獲取的測量基線和雙星對目標器的視線角確定三角形的外形，從而重構出相對距離ρ，其示意圖同圖1。同樣，Chen、Wang等[9-10]也研究了利用主星和輔助衛星進行聯合測量的重構技術。

Woffinden[11]提出了利用服務星進行姿態機動變換光學相機的位置獲取測量基線，同時以兩組視線角重構相對距離的算法。Crassidis、Kim等[12-13]分別研究了基于標志點檢測、多敏感器的相對距離重構算法，此類算法原理類似于姿態機動法，但是省略的姿態機動過程。

盡管上述算法可以實現單測角相對導航中的相對距離重構，但是它們都有各自的局限性和使用范圍。軌道機動法因為需要服務星進行特殊的機動而會對衛星的安全性和燃料消耗產生重要影響[5-6]，并且需要服務星經常性地進行機動產生δr，否則不能完成相對距離重構。同時，沿視線接近時算法失效，因此不能適合中遠程接近等耗時較長的情況；雙星編隊方法則需要動用兩顆衛星或者需要主星釋放伴飛小衛星，這在實際中不易實現且代價較大，且雙星觀測矢量夾角越小估計精度越低，兩觀測矢量平行時距離估計失效[7]；姿態機動法或多敏感器法只適用于距離較近的情況，當處于中遠距離時“基線”太短，獲得的多視線幾乎平行或者只有單視線，算法失效。

因此，本文針對單服務星對空間非合作目標中遠程交會的單測角相對導航問題，從“邊-角-邊”三角形確定原理的角度出發，提出一種基于初值輔助的CCD相對測角/GPS絕對定位的相對距離重構新算法。下文中首先詳細闡述相對距離重構算法的幾何模型構建，然后對該重構算法的誤差進行理論推導與仿真分析，最后對該算法進行兩種工況的數值仿真與分析。

1 相對距離重構模型

當非合作目標器飛臨地基/天基測量弧段內時，由地基/天基測量出非合作目標器某一時刻的慣性位置，而服務星則由星載的 GPS給出其同一時刻的慣性位置，這樣就可以確定出兩飛行器之間的相對距離初值。確定初值后不再需要地面測量的輔助，之后的相對距離由GPS導航歷元差分的幾何遞推來估計，如圖2所示。這里將服務星對目標器的接近運動分為兩類：一類是沿視線方向接近，如圖2中的方向；一類是非視線方向接近，方向。

對于沿視線方向運動，相對距離的遞推公式為

對于非視線方向接近，可由三角形確定規則來估計相對距離。如圖2中的三角形，已知三角形的邊長和其夾角α就可以根據“邊-角-邊”規則確定三角形的形狀，即可由余弦定理確定的邊長，其計算公式為：

式中，α是tk-1時刻的單位視線矢量i與服務星自身單位位移矢量δr的夾角，可以如下計算：

式中，ε、θ分別是視線仰角和視線偏角，是GPS在WGS-84地固聯系e到服務星CCD光學測量坐標系M的變換矩陣?？梢苑纸鉃椋?/p>

圖2 相對距離估計幾何示意圖Fig.2 Geometrical diagram of estimated relative distance

由式(2)可知，當α等于0時，式(2)等價于式(1)，這樣就把視線方向和非視線方向接近這兩種情況下的相對距離遞推統一起來了，不論由哪種方向接近都可以由式(2)進行相對距離的實時遞推重構了。

將式(3)(4)和(5)帶入式(2)并化簡可得：

因此，無論服務星進行何種機動，相對距離都可由式(6)進行遞推重構了。

2 重構誤差分析

由式(2)可知，與重構有關的序列變量是r和ρ，而這兩者分別與GPS和遞推幾何關系有關，因此下面重點分析與這兩類因素有關的誤差。

2.1 GPS歷元差分誤差分析

GPS導航的主要誤差源有衛星星歷誤差、衛星鐘差、信號傳播誤差以及接收機測量誤差等，其位置誤差δrG的相關性可用一階馬爾科夫過程表示[14]：

式中，α為反相關時間常數，ω為零均值的高斯白噪聲。利用解析法對式(7)進行離散化可得：

式中，Vti為零均值高斯白噪聲序列，T為離散化步長。因此：

所以，相鄰時刻誤差源對定位的影響變化緩慢，因此，通過歷元差分可以消除大部分的誤差。

2.2 遞推幾何誤差分析

根據角α的定義可知，，從而，代入式(2)可得：

式中，當α=0時，即沿視線接近時，左等號成立；當α=π時，即沿視線撤離時右等號成立。因此，通過不等式關系傳遞可得：

令帶上標“～”的參量表示測計值，不帶上標的為真實值，則：

而測算值可表示為真實值加誤差的情況，即：

將式(13)代入式(12)可得：

根據向量范數三公理中的三角不等式公理可知：

將式(11) (15)代入式(14)可得：

由式(17)可知，第k次重構誤差的上下限只與初值輔助誤差和GPS絕對定位歷元差分誤差有關，并且該上下限是隨時間變大的，變化速度僅與絕對定位誤差有關。同時，由前述分析可知，當服務器沿視線方向機動時相對距離重構誤差最大。

3 仿真分析

為了充分考究所提算法的有效性、誤差特性以及魯棒性等相關性能，這里進行兩組仿真，第一組對重構誤差本身進行仿真分析，并與傳統重構方法進行對比，第二組對不同輔助初值下的重構進行仿真。

3.1 重構誤差仿真分析

為了對誤差的上下限發散速度進行評估，進行了數值仿真。假設GPS初始位置圓誤差為20 m，則可令。同時，根據工程經驗可假設誤差的相關時間為 10 s，即反相關時間常數α=0.1，并且假設離散化步長T=1，高斯白噪聲Vti的均方差為1 m。根據設定的參數，在Matlab環境下對式(8)和(17)進行仿真，仿真100個采樣周期。

GPS絕對定位的誤差曲線如圖3所示，誤差歷元差分曲線如圖4所示。對圖4中的數據特性進行的統計分析如表1所示，可知X軸方向均值為-0.0987，方差為0.8535，Y軸方向均值為-0.1191，方差為1.0169，Z軸方向均值為-0.1445，方差為0.8152。因此，綜合圖4和表1可知，GPS絕對定位誤差歷元的差分結果近似于零均值的高斯白噪聲。

表1 GPS定位誤差歷元差分特性統計Tab.1 Statistics of differential value of GPS epochs

圖3 GPS定位誤差曲線Fig.3 GPS positioning errors

圖4 GPS定位誤差歷元差分曲線Fig.4 Differential errors of GPS positioning errors sequences

如圖5所示是基于 GPS的位移量測算。均值為1.5914 m，方差為 0.4342，同時可根據式(17)計算得100個采樣周期內由輔助初值和GPS確定的相對距離估計誤差的左右邊界：

綜上可知，重構誤差可能是如式(17)所示的區間內的任意值。而其左右邊界的外推速度一方面依賴于GPS絕對定位的誤差特性，另一方面依賴于服務星的相對運動方向，式(17)等號成立的條件是服務星沿視線方向接近或撤離。

圖5 基于GPS的位移測算誤差Fig.5 Error of displacement based on GPS

同時，為了對本文的“邊-角-邊”遞推方法與文獻[11]中“角-邊-角”遞推方法進行誤差特性的橫向比較，并分析其使用性，這里以前述仿真中式(17)右等號成立時的遞推誤差變化情況（即遞推誤差最大的情況）與文獻[11]的進行垂直于視線方向機動時的誤差變化情況（即誤差最小的情況）進行比較，其相對距離遞推誤差計算式為：

式(19)中各個參量具體定義見文獻[11]。

根據目前元器件可得情況，取測角誤差為10-3rad，令初始相對距離為30 km，單次機動距離為100 m，機動方向垂直于視線方向，GPS定位誤差特性同上，對式(19)進行仿真，仿真時長同樣為100 s?？梢缘玫饺鐖D6所示的對比結果。

圖6 極端誤差與最優誤差的對比Fig.6 Estimation errors comparing

圖6中，“角-邊-角”方法相對距離計算的誤差均值約為76.11 m，均方差約為56.83 m；本文的“邊-角-邊”方法相對距離計算的誤差均值約為75.21 m，均方差約為42.63 m。從統計的數值上看，在前述仿真條件下，100 s的仿真時間內“邊-角-邊”算法的極端誤差略優于“角-邊-角”算法的最優誤差。但是，“邊-角-邊”算法的極端誤差呈線性增長狀態，隨著時間的推移該極端誤差必然會大于“角-邊-角”的最優誤差。然而，值得強調的是，當服務星沿視線方向運動時，盡管“邊-角-邊”算法的誤差累積增長，而“角-邊-角”算法則是完全失效的。因此，通過上述比較和分析，本文提出的相對距離遞推算法具有其特定的優勢。

3.2 重構仿真

首先，令服務星和目標器自由飛行，初始時刻兩星的軌道根數如表2所示，此時服務星位于目標器下方約13 km，后方約35 km的位置，相對距離約為37 km。同時，設置CCD輸出頻率為1 Hz，安裝誤差和測量噪聲均方差為10-3rad；GPS輸出頻率為1 Hz，定位誤差為1 m，測量噪聲均方差為0.2 m，其他參數同3.1節。

表2 初始軌道根數Tab.2 Initial orbital elements

然后，為了測試算法的性能和對輔助初值的敏感性，分別兩種工況的仿真。

工況一：輔助的相對距離初值誤差為10 m。相對距離遞推誤差結果如圖7所示，遞推誤差總體上呈現波動的緩慢增長趨勢，經統計誤差均值約為9.21 m，均方差約為3.73 m。

工況二：輔助的相對距離初值誤差為100 m。相對距離遞推誤差結果如圖8所示，遞推誤差的變換趨勢同圖7，均值約為101.05 m，均方差約為4.05 m。

綜合圖7和圖8可知，遞推誤差的增長速度與遞推初值誤差的大小基本沒有關系，但是初值誤差大小卻在整個遞推過程中得到傳遞和保持，這個現象與2.2節中對遞推誤差的理論分析結果一致，從而也驗證了理論分析結果的正確性。

圖7 Case 1相對距離遞推誤差Fig.7 Estimation errors of relative distance in Case 1

圖8 Case 2相對距離遞推誤差Fig.8 Estimation errors of relative distance in Case 2

4 結 論

本文針對單測角相對導航技術的核心問題——相對距離重構算法展開研究，首次提出了基于初值輔助的 CCD/GPS相對距離重構算法。文章首先分析了傳統重構方法的幾何原理，指出了其“角-邊-角”確定三角形的數學本質，同時分析了傳統方法的優缺點，并且在此基礎上從“邊-角-邊”規則的視角提出本文的新算法；然后詳細給出了本文重構算法模型的推導過程，并進行了該算法重構誤差的理論分析，給出了誤差邊界模型；最后對重構誤差和兩種工況的相對距離重構進行了仿真驗證和分析。仿真結果表明該重構算法能夠較為精確的重構出相對距離，重構精度主要取決于輔助的初值精度。

為了實現相對距離重構算法與單測角導航濾波算法的有機結合，下一步將進一步深入研究所提重構算法的誤差特性并建立誤差模型。

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Novel reconstructing algorithm of relative distances for angle-only relative navigation

GONG Bai-chun1，2，LUO Jian-jun1，2，MA Yue3
(1.College of Astronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China;2.Science and Technology on Aerospace Flight Dynamics Laboratory，Xi’an 710072，China;3.96271 unit of PLA，Luoyang 471600，China)

Aiming at the key issue of the relative distance re-constructing in the angle-only relative navigation for mid and far-range rendezvous with space non-cooperative target，a novel algorithm is presented based on GPS absolute positioning，CCD relative angles of LOS measuring and an aided initial value of the relative distance.The mathematical substance and the characteristic of the traditional method are analyzed.And a re-constructing model is established based on the triangle principle integrated with the differential value between the sequences of GPS positioning at two different epochs.After that，the error of the reconstructing is analyzed by means of mathematical derivation and simulation.At last，two cases simulation of relative distance re-constructing is conducted，and the results show that the proposed algorithm can estimate the relative distance，and the estimation precision depends on the performance of the initial relative distance aided exterior.Thus，the proposed algorithm has important research and application value.

space non-cooperative target;relative navigation;angles-only;relative distance;

V448.22+4

A

1005-6734(2014)03-0340-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2014.03.012

2014-01-08；

2014-04-21

國家自然科學基金項目（61004124）；西北工業大學博士論文創新基金項目（CX201404）

龔柏春（1987—），男，博士研究生，從事飛行動力學與控制、組合導航研究。E-mail：gbc1987@163.com

聯 系 人：羅建軍（1965—），男，教授，博士導師。E-mail：jjluo@nwpu.edu.cn