石英振梁加速度計靜態輸入輸出特性

楊 挺，楊貴玉，李慶豐

（航天長征火箭技術有限公司，北京 100076）

石英振梁加速度計靜態輸入輸出特性

楊 挺，楊貴玉，李慶豐

（航天長征火箭技術有限公司，北京 100076）

通過平衡方程建立了一種石英振梁加速度計敏感元件的靜力學模型，分別利用梁彎曲振動微分方程和有限元分析方法獲得了敏感元件的輸入加速度與輸出頻率之間的精確關系，從而從理論上獲得了敏感元件的靜態輸入輸出特性。通過離心試驗對所設計的加速度計進行了標定，并與理論計算結果進行比對，最終認為理論計算能夠準確的反映出石英振梁加速度計的靜態輸入輸出特性。同時，該計算方法可以為其他包含振梁的傳感器的設計提供依據。最后，提出了實測結果與理論計算存在偏差的原因：標度因數的偏差來源于振梁厚度的加工誤差，非線性度的偏差來源于裝配角度偏差以及外界溫度變化引起的頻率漂移等因素。

靜態輸入輸出特性；石英振梁加速度計；振動微分方程；有限元分析

石英振梁加速度計是一種利用壓電諧振式測量原理，將被測加速度轉換成石英振梁固有頻率變化的傳感器[1]，因其具有大量程、高精度、小體積、低功耗、直接頻率輸出等優勢在低成本組合導航系統、天線平臺穩定系統、石油鉆井等領域有著廣泛的應用[2-3]，其典型產品為美國 Honeywell公司的 RBA500[4]和法國Thales公司的A100[5]。

研究靜態輸入輸出特性不僅可以深入了解石英振梁加速度計的敏感原理，同時可以獲得其標度因數和線性度指標。標度因數反映了傳感器的輸出對輸入加速度的敏感能力；而線性度則反映了加速度計的實際靜態校準曲線與參考直線的吻合程度，良好的線性特性保證了測試系統解算輸入加速度值的準確性。文獻[6-7]中雖然均給出了梁振動軸向力與頻率關系的計算方法，但是只針對單梁或是雙梁石英諧振器結構，并沒有將其與敏感元件整個結構結合進行分析，未給出輸入加速度與振梁諧振頻率的準確關系。

本文建立了目前所研制的石英振梁加速度計敏感元件的靜力學模型，利用平衡關系，建立了輸入加速度與梁軸向力的關系，再結合梁振動微分方程，獲得了敏感元件的輸入輸出特性關系的解析表達式；建立了敏感元件的有限元模型，利用ANSYS軟件中包含預應力的模態分析功能，同樣獲得了敏感元件的輸入輸出曲線；最后，通過離心試驗測得所研制石英振梁加速度計的實際靜態校準曲線，并與前面的理論計算結果進行比較，最終驗證了理論計算的結果。該理論分析方法可以為其它振梁式傳感器的敏感元件設計提供參考。

1 敏感元件靜力學分析

1.1 敏感元件靜力學模型

石英振梁加速度計敏感元件的結構示意圖如圖1所示，主要包括振梁、撓性支撐擺和質量擺。振梁為單梁形式，振動方式為Z平面內彎曲振動，當有Z向的加速度輸入時，質量擺繞撓性支撐擺中心轉動，從而在振梁內部引入軸向力，這里假設振梁和撓性支撐擺為柔性結構，忽略其自身質量，而質量擺當成剛體處理，質量為m。

以敏感元件感受到+Z向的加速度a為例進行分析，如圖2所示，以虛線框內的系統作為研究對象，當系統處于靜止狀態時，由振梁、撓性支撐擺和質量擺構成的系統應滿足合力和力矩為零，令撓性支撐擺質心為支點，由此可以獲得如下平衡方程：

圖1 敏感元件結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of the sensing element

圖2 敏感元件靜力學模型Fig.2 Schematic diagram of the static model

式(1)中，Ft為振梁所受到的軸向拉力，Fc為撓性支撐擺受到的軸向壓力，G1和G2分別為振梁內部節點和撓性支撐擺質心所受到的Z向的剪切力。由于系統處于非慣性系下的靜止狀態，必須考慮外界加速度a引起的慣性力ma。式(2)中l1為質量塊質心到支點的Y向距離，即慣性力ma的力臂；l2為振梁與支點的Z向間距，即Ft的力臂。

從式(1)可以看出，當系統感受到外界輸入時，振梁與撓性支撐擺受到的軸向力大小相等，方向相反，而由式(2)可以建立振梁所受軸向力與外界加速度的關系，即：

式中，l1/l2可以稱為杠桿的放大倍率，反映了敏感結構對于外界加速度的放大能力。同時，式(3)表明振梁內部的軸向拉力與外界輸入加速度成正比。事實上，如果輸入加速度方向為-Z向，也將得出類似的結論，只是此時振梁內部的軸向力將以壓力形式存在，軸向壓力與輸入加速度的關系仍滿足式(3)。

1.2 梁彎曲振動方程

前一部分已經獲得輸入加速度a與軸向力F的關系，而若要獲得敏感元件的輸出頻率f，還必須建立軸向力與振梁諧振頻率的關系，這就必須借助于梁彎曲振動方程。對于圖3所示的雙端固定單梁，在軸向力作用下，梁的橫向彎曲自由振動方程為：

式中，E為彈性模量；J為梁的橫截面在彎曲方向的慣性矩，大小為hw3/12；y為撓度，x為軸向坐標，F為梁受到的軸向力，ρ為材料密度；A為橫截面積，大小為hw；t為時間。設原點在振梁左端，由于梁是兩端固定，故邊界條件為：

圖3 雙端固支梁結構示意圖Fig.3 Schematic diagram of the double-clamped beam

依據邊界條件式(5)和式(6)對式(4)求解即可獲得軸向力與頻率關系的解析表達式：

由式(3)和式(7)即可建立輸入加速度a與振梁諧振頻率f的關系表達式。表1為自行研制的一種石英振梁加速度計敏感元件的結構參數以及計算所需要的常數值，當輸入加速度為-100g～+100g時，利用Matlab繪制式(7)的曲線圖，如圖4(a)所示，利用最小二乘法對該曲線進行線性擬合后可以獲得單一敏感元件的標度因數（即線性擬合曲線的斜率）為23.28 Hz/g，非線性度為0.6%F.S.。

如果對式(7)進行泰勒級數展開，可以獲得式(9)：

為了消除2次項誤差，同時增加敏感元件的靈敏度，可以采用差分裝配，即將兩個敏感元件沿Z向反向放置，將二者的頻率差值Δf作為敏感元件的輸出，其表達式為式(10)：

式(10)中除了1次項外，只剩下3次以上的非線性項。同樣可以繪出Δf對輸入加速度a的曲線圖，如圖4(b)所示，對該曲線進行線性擬合后可以獲得差分裝配后敏感元件的標度因數為46.57 Hz/g，是單一敏感元件的2倍，非線性度為0.0124%F.S.，明顯小于單一元件的結果，具有更好的線性特性。

表1 敏感元件結構參數及相關常數值Tab.1 Values of configuration parameters and basic constant

圖4 靜力學分析獲得的敏感元件輸入輸出特性Fig.4 Input-output characteristics of the sensing element obtained by static analysis

2 敏感元件有限元仿真

借助ANSYS軟件中包含預應力的模態分析功能同樣可以獲得敏感元件輸入加速度a與輸出頻率f的關系曲線。預應力計算中，可以在Z向加載-100g～+100g的慣性載荷。圖5為敏感元件結構的有限元模型，計算過程中采用10節點的四面體Solid187單元，材料參數考慮了石英的各向異性，分網采用程序控制自由網格劃分，薄梁結構區域網格進行了細化，單元總數量為14 560個。

圖5 敏感元件有限元模型Fig.5 Finite element model of the sensing element

經計算，單個敏感元件的加速度-頻率特性如圖6(a)所示。通過線性擬合得到敏感元件的標度因數為22.08 Hz/g，非線性度為0.628%F.S.。當將兩個敏感元件差分裝配后，敏感元件的工作特性如圖6(b)所示，此時敏感元件的標度因數提高至 44.17 Hz/g，非線性度為0.0119%F.S.，與前面靜力學分析的結果基本吻合。

圖6 有限元仿真獲得的敏感元件輸入輸出特性Fig.6 Input-output characteristics of the sensing element obtained by finite element analysis

3 離心試驗驗證

為了驗證前面理論分析的準確性，對所研制的樣機進行了離心試驗，輸入加速度范圍與理論計算的范圍一致，即-100g～+100g。圖7給出了離心試驗獲得的石英振梁加速度計的靜態校準曲線，作為對比，同時給出了前面解析計算、有限元分析所獲得的曲線。從圖7中可以看出，理論計算能夠基本準確地反映出敏感元件的輸入輸出特性。

經線性擬合分析可知，石英振梁加速度計實測標度因數為43.39 Hz/g，略低于理論計算值，與有限元分析結果的誤差為 1.77%。主要原因在于敏感元件在加工過程中，薄梁是通過單面腐蝕加工而成，對其最終厚度h的控制難度較大，可能存在±5 μm左右的加工誤差。由式(10)可知，如果厚度比設計值大，則標度因數將有所降低。

實測非線性度為 0.0477%，大于理論計算獲得的數值，分析認為原因主要有三點：第一，實際裝配的石英振梁加速度計中兩個敏感元件在結構上不可能完全一致，存在一定的加工誤差，無法將式(9)中的2次及以上的偶次項完全消掉，因此抑制共模誤差的能力有限；第二是兩個敏感元件的敏感軸在裝配過程中存在角度偏差；第三是測試過程中無法保證環境溫度的穩定，石英諧振器的諧振頻率會隨著溫度變化發生漂移，從而引入非線性誤差。

圖7 加速度計輸入輸出特性曲線Fig.7 Input-output characteristics of the accelerometer

4 結 論

本文分別利用靜力學方程、有限元仿真和離心試驗獲得了所研制石英振梁加速度計的輸入加速度-頻率曲線和非線性度，經對比分析認為，理論計算基本能夠準確地獲得敏感元件的線性特性，可以作為石英振梁加速度計結構設計的依據，同時為其它振梁式傳感器設計提供參考。理論計算的標度因數值與實測值存在一定誤差，原因在于薄梁厚度存在較大的加工誤差；而非線性度大于實測值，主要原因是差分工作的元件結構之間存在加工誤差、裝配角度偏差和外界溫度變化的引起的頻率漂移。

（References）：

[1]Levy R，Gaudineau V.Phase noise analysis and performance of the vibrating beam accelerometer[C]//2010 IEEE International Frequency Control Symposium.2010:511-514.

[2]Traon O L，Janiaud D，Guerard J，et al.The fairy world of quartz vibrating MEMS[C]//2012 European Frequency and Time Forum.2012:214-220.

[3]Levy R，Papin G.A new electronic scheme to compensate MEMS resonators nonlinearities[C]//2012 IEEE 25th International Conference on Micro Electro Mechanical Systems.2012:508-510.

[4]高延濱，詹俊妮，何昆鵬，等.高精度石英振梁加速度計頻率采樣系統設計[J].應用科技，2012，39(3)： 61-63.GAO Yan-bin，ZHAN Jun-ni，HE Kun-peng，et al.Design of a high-precision VBA frequency sampling system[J].Applied Science and Technology，2012，39(3):61-63.

[5]Menozzi G，Pleska E.MEMS in France:an overview of trends and products for aeronautic &defense applications[R].Advances in Navigation Sensors and Integration Technology.France:NATO OTAN，2003:9.1-9.20.

[6]Zhao Chihang，He Jie，Huang Libin，et al.A novel double-ended tuning fork quartz accelerometer[C]//2011 Third International Conference on Measuring Technology and Mechatronics Automation.2011:187-190.

[7]馮麗爽，王文璞，周震，等.石英振梁加速度計諧振器的結構設計[J].中國慣性技術學報，2013，21(1)：101-105.FENG Li-shuang，WANG Wen-pu，ZHOU Zhen，et al.Structure design of quartz vibrating beam accelerometer resonator[J].Journal of Chinese Inertial Technology，2013，21(1):101-105.

Static input-output characteristics for quartz vibrating beam accelerometers

YANG Ting，YANG Gui-yu，LI Qing-feng
(Aerospace Long March Launch Vehicle Technology Company，Beijing 100076，China)

The static model of a quartz vibrating beam accelerometer’s sensing element was established based on equilibrium equations.The precise relations between the input acceleration and the output frequency of the sensing element were deduced based on flexural vibration differential equation and finite element analysis.Then the static input-output characteristics of the sensing element were obtained in theory.Furthermore，the static input-output characteristics of the accelerometer were calibrated via centrifugal test.The test results were compared with the theoretical calculation results.In conclusion，the theoretical prediction can precisely reveal the static input-output characteristics of the quartz vibrating beam accelerometer.The analysis method of this paper can provide valuable references for the design of other sensors with the vibrating beam.In the end，it is pointed that there are differences between the results obtained from the centrifugal test and the calculation，in which the scale factor deviation is caused by the micro-machining error in the beam thickness and the deviation of the nonlinearity is ascribed to assembly errors，frequency shift.

static input-output characteristics;quartz vibrating beam accelerometers;vibration differential equation;finite element analysis

V 241.5；TH 824.3

A

1005-6734(2014)03-0386-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2014.03.020

2013-10-14；

2014-02-11

總裝預研項目（51323040123）

楊挺（1985—），男，工程師，從事微機械加速度計研究。E-mail：andrewfine@semi.ac.cn

book=390,ebook=115