對圓錐曲線中一類定點問題的啟示

吳雅琴

圓錐曲線中的定點問題通常是高考命題的熱點,同時也是高考題中的一大難點，在近幾年的高考試卷中不乏此類問題.該類問題動中有定，定中有動，多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數與方程、向量等知識交匯，形成了過定點問題的證明，難度較大，綜合性較強．該類問題對學生的分析問題的能力及計算能力要求都比較高，不少同學遇到此類問題都覺得“棘手”.下面我們就一起談談這類問題的處理方法.

動直線或曲線過定點問題：動直線或曲線方程中一定含有參數，在解題時需寫出直線或曲線方程，將它轉化為f(x,y)+λg(x,y)=0（λ為參數）的形式，由f(x,y)=0

g(x,y)=0（λ為參數）得定點坐標.

例1如圖,已知橢圓C：x2a2＋y2＝1(a>1)的上頂點A,右焦點F,直線AF與圓M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若不過點A的動直線l與橢圓C相交于P、Q兩點,AP·AQ=0,求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標．

（1）解：（過程略）x23+y2=1.

（2）分析1直線l與橢圓交于P、Q兩點，

由AP·AQ=0得，直線AP與直線AQ垂直，且直線AP與x軸不垂直，故選擇設直線AP的斜率k為參數.

解設直線AP： y=kx+1，

x23+y2=1，

y=kx+1， 消y得(1+3k2)x2+6kx=0.

所以點P的坐標為(－6k1＋3k2，1－3k21＋3k2).因為直線AP與直線AQ垂直，將點P的坐標中的k用-1k代替即可得Q點的坐標為(6kk2＋3，k2－3k2＋3).

所以kPQ=k2-3k2+3-1-3k21+3k2

6kk2+3+6k1+3k2=k2+14k.

所以直線l：y＝k2－14k(x－6kk2＋3)＋k2－3k2＋3，

即y＝k2－14kx－12，故直線l過定點(0，－12)．

分析2直線l與橢圓交于P、Q兩點，設出直線l的方程：y=kx+b，利用設而不求法及AP·AQ=0找出k與b的關系.

解設P(x1,y1),Q(x2,y2)，直線l∶y=kx+b

y=kx+b,

x23+y2=1,

消y得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0.

x1+x2=-6kb1+3k2,x1x2=3b2-31+3k2.（*）

由AP·AQ=0得，

x1x2+(y1-1)(y2-1)=0

所以(1+k2)x1x2+(kb-k)(x1+x2)+b2-2b+1=0代入（*）式得

4b2-2b-21+3k2=0即b=-12或b=1.

因為動直線l不過點A，所以b=-12，直線l∶y=kx-12恒過定點(0，－12)．

小結本題對AP·AQ=0這個條件，（1）我們利用直線AP與直線AQ垂直，選擇直線AP或直線AQ的斜率為參數，通過解方程組的思想求出P、Q兩點的坐標，進而求出直線l的方程；（2）利用向量的坐標運算，得到x1+x2與x1x2的關系式，因此設出直線的斜截式方程y=kx+b與橢圓方程聯立方程組，借助于根與系數之間的關系將x1+x2與x1x2用k和b來表示，從而找到k與b的關系，體現了“設而不求”的思想.

處理直線過定點問題：

（1）引進參數——從目標對應關系式出發，引進參數，通常引進的參數有直線的斜率、點的坐標等；

（2）找關系式——建立方程組，常用設而不求法；

（3）探求直線過定點——將它轉化為f(x,y)+λg(x,y)=0（λ為參數）的形式；

（4）得結論——由f(x,y)=0,

g(x,y)=0（λ為參數）得定點坐標.

究不斷地構建科學的知識體系，完善和修復自己的知識結構，教師則需要適時地給學生建立一個“支點”，使學生在探究中更為高效、深入.

三、總結教學反思，師生同進教學相長

生成性資源使學生共同成長，充分體現了教學相長.從雙向角度反饋來分析，生成性動態資源的開發和利用，一方面提升了教師的專業水平，動態資源的開發體現了教師的教育智慧，發揮了教師的主觀能動性和創造性，激發了教師對自己專業的學習，使他們不斷豐富自己的知識，提高自己的注意力和靈活性，將教師置于課堂的“主導”位置，在給學生“一碗水”時，積極準備自己的“一桶水”，增加了教師的教學閱歷，為教師的成長提供了空間.另一方面提升了學生的學習能力，學生的動態生成源于它對課堂問題的思考，激發了學生對學習的興趣，探究問題的激情，培養了學生的綜合能力.生成性資源在課堂教學中的應用，有效的促進了師生的共同進步，促進新課改的快速發展.

總之，科學合理地利用和開發課堂的“動態生成”，是激發學生生機蓬勃的動力源泉.它將引導廣大的教師轉變教育觀念，樹立正確的課程觀和學生觀，具有強烈的資源意識，在高中數學課堂教學中，積極地有效地開發“新能源”，在充滿不確定的課堂中，引導學生正確的學習方法，科學的探究數學新思路，全面提升學生綜合能力，展示高中數學教師的教育智慧.

圓錐曲線中的定點問題通常是高考命題的熱點,同時也是高考題中的一大難點，在近幾年的高考試卷中不乏此類問題.該類問題動中有定，定中有動，多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數與方程、向量等知識交匯，形成了過定點問題的證明，難度較大，綜合性較強．該類問題對學生的分析問題的能力及計算能力要求都比較高，不少同學遇到此類問題都覺得“棘手”.下面我們就一起談談這類問題的處理方法.

動直線或曲線過定點問題：動直線或曲線方程中一定含有參數，在解題時需寫出直線或曲線方程，將它轉化為f(x,y)+λg(x,y)=0（λ為參數）的形式，由f(x,y)=0

g(x,y)=0（λ為參數）得定點坐標.

例1如圖,已知橢圓C：x2a2＋y2＝1(a>1)的上頂點A,右焦點F,直線AF與圓M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若不過點A的動直線l與橢圓C相交于P、Q兩點,AP·AQ=0,求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標．

（1）解：（過程略）x23+y2=1.

（2）分析1直線l與橢圓交于P、Q兩點，

由AP·AQ=0得，直線AP與直線AQ垂直，且直線AP與x軸不垂直，故選擇設直線AP的斜率k為參數.

解設直線AP： y=kx+1，

x23+y2=1，

y=kx+1， 消y得(1+3k2)x2+6kx=0.

所以點P的坐標為(－6k1＋3k2，1－3k21＋3k2).因為直線AP與直線AQ垂直，將點P的坐標中的k用-1k代替即可得Q點的坐標為(6kk2＋3，k2－3k2＋3).

所以kPQ=k2-3k2+3-1-3k21+3k2

6kk2+3+6k1+3k2=k2+14k.

所以直線l：y＝k2－14k(x－6kk2＋3)＋k2－3k2＋3，

即y＝k2－14kx－12，故直線l過定點(0，－12)．

分析2直線l與橢圓交于P、Q兩點，設出直線l的方程：y=kx+b，利用設而不求法及AP·AQ=0找出k與b的關系.

解設P(x1,y1),Q(x2,y2)，直線l∶y=kx+b

y=kx+b,

x23+y2=1,

消y得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0.

x1+x2=-6kb1+3k2,x1x2=3b2-31+3k2.（*）

由AP·AQ=0得，

x1x2+(y1-1)(y2-1)=0

所以(1+k2)x1x2+(kb-k)(x1+x2)+b2-2b+1=0代入（*）式得

4b2-2b-21+3k2=0即b=-12或b=1.

因為動直線l不過點A，所以b=-12，直線l∶y=kx-12恒過定點(0，－12)．

小結本題對AP·AQ=0這個條件，（1）我們利用直線AP與直線AQ垂直，選擇直線AP或直線AQ的斜率為參數，通過解方程組的思想求出P、Q兩點的坐標，進而求出直線l的方程；（2）利用向量的坐標運算，得到x1+x2與x1x2的關系式，因此設出直線的斜截式方程y=kx+b與橢圓方程聯立方程組，借助于根與系數之間的關系將x1+x2與x1x2用k和b來表示，從而找到k與b的關系，體現了“設而不求”的思想.

處理直線過定點問題：

（1）引進參數——從目標對應關系式出發，引進參數，通常引進的參數有直線的斜率、點的坐標等；

（2）找關系式——建立方程組，常用設而不求法；

（3）探求直線過定點——將它轉化為f(x,y)+λg(x,y)=0（λ為參數）的形式；

（4）得結論——由f(x,y)=0,

g(x,y)=0（λ為參數）得定點坐標.

究不斷地構建科學的知識體系，完善和修復自己的知識結構，教師則需要適時地給學生建立一個“支點”，使學生在探究中更為高效、深入.

三、總結教學反思，師生同進教學相長

生成性資源使學生共同成長，充分體現了教學相長.從雙向角度反饋來分析，生成性動態資源的開發和利用，一方面提升了教師的專業水平，動態資源的開發體現了教師的教育智慧，發揮了教師的主觀能動性和創造性，激發了教師對自己專業的學習，使他們不斷豐富自己的知識，提高自己的注意力和靈活性，將教師置于課堂的“主導”位置，在給學生“一碗水”時，積極準備自己的“一桶水”，增加了教師的教學閱歷，為教師的成長提供了空間.另一方面提升了學生的學習能力，學生的動態生成源于它對課堂問題的思考，激發了學生對學習的興趣，探究問題的激情，培養了學生的綜合能力.生成性資源在課堂教學中的應用，有效的促進了師生的共同進步，促進新課改的快速發展.

總之，科學合理地利用和開發課堂的“動態生成”，是激發學生生機蓬勃的動力源泉.它將引導廣大的教師轉變教育觀念，樹立正確的課程觀和學生觀，具有強烈的資源意識，在高中數學課堂教學中，積極地有效地開發“新能源”，在充滿不確定的課堂中，引導學生正確的學習方法，科學的探究數學新思路，全面提升學生綜合能力，展示高中數學教師的教育智慧.

圓錐曲線中的定點問題通常是高考命題的熱點,同時也是高考題中的一大難點，在近幾年的高考試卷中不乏此類問題.該類問題動中有定，定中有動，多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數與方程、向量等知識交匯，形成了過定點問題的證明，難度較大，綜合性較強．該類問題對學生的分析問題的能力及計算能力要求都比較高，不少同學遇到此類問題都覺得“棘手”.下面我們就一起談談這類問題的處理方法.

動直線或曲線過定點問題：動直線或曲線方程中一定含有參數，在解題時需寫出直線或曲線方程，將它轉化為f(x,y)+λg(x,y)=0（λ為參數）的形式，由f(x,y)=0

g(x,y)=0（λ為參數）得定點坐標.

例1如圖,已知橢圓C：x2a2＋y2＝1(a>1)的上頂點A,右焦點F,直線AF與圓M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若不過點A的動直線l與橢圓C相交于P、Q兩點,AP·AQ=0,求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標．

（1）解：（過程略）x23+y2=1.

（2）分析1直線l與橢圓交于P、Q兩點，

由AP·AQ=0得，直線AP與直線AQ垂直，且直線AP與x軸不垂直，故選擇設直線AP的斜率k為參數.

解設直線AP： y=kx+1，

x23+y2=1，

y=kx+1， 消y得(1+3k2)x2+6kx=0.

所以點P的坐標為(－6k1＋3k2，1－3k21＋3k2).因為直線AP與直線AQ垂直，將點P的坐標中的k用-1k代替即可得Q點的坐標為(6kk2＋3，k2－3k2＋3).

所以kPQ=k2-3k2+3-1-3k21+3k2

6kk2+3+6k1+3k2=k2+14k.

所以直線l：y＝k2－14k(x－6kk2＋3)＋k2－3k2＋3，

即y＝k2－14kx－12，故直線l過定點(0，－12)．

分析2直線l與橢圓交于P、Q兩點，設出直線l的方程：y=kx+b，利用設而不求法及AP·AQ=0找出k與b的關系.

解設P(x1,y1),Q(x2,y2)，直線l∶y=kx+b

y=kx+b,

x23+y2=1,

消y得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0.

x1+x2=-6kb1+3k2,x1x2=3b2-31+3k2.（*）

由AP·AQ=0得，

x1x2+(y1-1)(y2-1)=0

所以(1+k2)x1x2+(kb-k)(x1+x2)+b2-2b+1=0代入（*）式得

4b2-2b-21+3k2=0即b=-12或b=1.

因為動直線l不過點A，所以b=-12，直線l∶y=kx-12恒過定點(0，－12)．

小結本題對AP·AQ=0這個條件，（1）我們利用直線AP與直線AQ垂直，選擇直線AP或直線AQ的斜率為參數，通過解方程組的思想求出P、Q兩點的坐標，進而求出直線l的方程；（2）利用向量的坐標運算，得到x1+x2與x1x2的關系式，因此設出直線的斜截式方程y=kx+b與橢圓方程聯立方程組，借助于根與系數之間的關系將x1+x2與x1x2用k和b來表示，從而找到k與b的關系，體現了“設而不求”的思想.

處理直線過定點問題：

（1）引進參數——從目標對應關系式出發，引進參數，通常引進的參數有直線的斜率、點的坐標等；

（2）找關系式——建立方程組，常用設而不求法；

（3）探求直線過定點——將它轉化為f(x,y)+λg(x,y)=0（λ為參數）的形式；

（4）得結論——由f(x,y)=0,

g(x,y)=0（λ為參數）得定點坐標.

究不斷地構建科學的知識體系，完善和修復自己的知識結構，教師則需要適時地給學生建立一個“支點”，使學生在探究中更為高效、深入.

三、總結教學反思，師生同進教學相長

生成性資源使學生共同成長，充分體現了教學相長.從雙向角度反饋來分析，生成性動態資源的開發和利用，一方面提升了教師的專業水平，動態資源的開發體現了教師的教育智慧，發揮了教師的主觀能動性和創造性，激發了教師對自己專業的學習，使他們不斷豐富自己的知識，提高自己的注意力和靈活性，將教師置于課堂的“主導”位置，在給學生“一碗水”時，積極準備自己的“一桶水”，增加了教師的教學閱歷，為教師的成長提供了空間.另一方面提升了學生的學習能力，學生的動態生成源于它對課堂問題的思考，激發了學生對學習的興趣，探究問題的激情，培養了學生的綜合能力.生成性資源在課堂教學中的應用，有效的促進了師生的共同進步，促進新課改的快速發展.

總之，科學合理地利用和開發課堂的“動態生成”，是激發學生生機蓬勃的動力源泉.它將引導廣大的教師轉變教育觀念，樹立正確的課程觀和學生觀，具有強烈的資源意識，在高中數學課堂教學中，積極地有效地開發“新能源”，在充滿不確定的課堂中，引導學生正確的學習方法，科學的探究數學新思路，全面提升學生綜合能力，展示高中數學教師的教育智慧.