微積分課“不定積分第一類換元法”分類總結

王閃閃

摘 要：本文分類總結了不定積分第一類換元積分法的常見類型，并給出典型的例題講解。

關鍵詞：不定積分；第一類換元積分法；分類

第一類換元積分法是求不定積分重要的、基礎的方法，本文將第一類換元積分法（湊微分法）常見的類型進行分類總結。

定理：設（1）■f(u)du=F(u)+C，（2）函數u=?漬(x)可微，則成立第一類換元積分方法：

■f[?漬(x)]?漬′(x)dx=■f[?漬(x)]d?漬(x)=■f(u)du■

=[F(u)+C]u=?漬(x)=F[?漬(x)]+C

類型Ⅰ■f(ax+b)dx=■■f(ax+b)d(ax+b)(a≠0)

例1■■=■■(3x-1)■d(3x-1)=■■+C

例2①■■②■■

分析：①中被積函數分母x2+2x+5的△<0，通過對分母配方，做變換■■dx=■■dx；②中被積函數分母x2-5x+6的△>0，通過對分母因式分解，做變換■■=■■。

解：①■■dx=■■dx

=■■d(x+1)=■arctan■+C

②■■=■■=ln■+C

類型Ⅱ■x?琢-1f(x?琢+b)dx=■■f(x?琢+b)d(x?琢+b)(?琢≠0)

例3■x■dx=■■(x2-3)■d(x2-3)=■·■(x2-3)■+C=■(x2-3)■+C

例4■■sec2■dx=-■sec2■d(■)=-tan■+C

類型Ⅲ■■f(lnx)dx=■f(lnx)d(lnx)或■■f(ln|x|)dx=■f(ln|x|)d(ln|x|)

例5■■=■■=■(1+lnx)-2d(1+lnx)

=-■+C

類型Ⅳ■exf(ex)dx=■f(ex)d(ex)或■f(ex)dx=■■d(ex)

例6■■dx=■■dex=■arcan■+C

類型Ⅴ關于被積函數中含有sinx和cosx的不定積分

ⅰ■cosxf(sinx)dx=■f(sinx)d(sinx)和■sinxf(cosx)dx

=-■f(cosc)d(cosx)

例7■esinxcosxdx=■esinxd(sinx)=esinx+C

ⅱ對于形如■sinmxcosnxdx，■sinmxsinnxdx和■cosmxcosnxdx的積分(m,n∈N)，可首先利用積化和差公式對被積函數進行變形。

例8■sin5xcos3xdx=■■[sin(5x+3x)]+sin(5x-3x)dx

=■[■sin8xdx+■sin2xdx]

=■■sin8xd(8x)+■■sin2xd(2x)

=-■cos8x-■cos4x+C

ⅲ對于形如■sinmxcosnxdx的積分(m,n∈N)，可按如下方法處理：

（1）m,n中至少有一個為奇數時，不妨設n=2k+1，

■sinmxcos2k+1xdx=■sinmx(1-sin2x)kd(sinx)=■um(1-u2)kdu，化成u的多項式積分，求出后以u=sinx代回；

（2）m,n都為偶數時，可用倍角公式，sin2x=■(1-cos2x),cos2x=■(1+cos2x)降低三角函數冪次。

例9■sin2xcos3xdx=■sin2x(1-sin2x)d(sinx)

=■(sin2x-sin4x)d(sinx)

=■sin3x-■sin5x+C

例10■sin2xcos2xdx=■■■dx

=■■(1-cos22x)dx=■■(1-■)dx=■■(1-cos4x)dx

=■■dx-■■cos4xd(4x)=■-■sin4x+C

類型Ⅵ■sec2xf(tanx)dx=■f(tanx)d(tanx)■cos2xf(cotx)dx=-■f(cotx)d(cotx)

和■f(secx)secxtanxdx=■f(secx)d(secx)■f(cscx)cscxcotxdx=-■f(cscx)d(cscx)

例11■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■tanx(1+tan2x)d(tanx)

=■tan2x+■tan4x+C

或者用下面解法：

■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■sec3xd(secx)=■sec4x+C

類型Ⅶ■■dx=■■df(x)=ln|f(x)|+C

例12■■dx=■■d(x2-x+3)=ln|x2-x+3|+C

類型Ⅷ■■dx=■f(arcsinx)d(arcsinx)

和■■dx=■f(arctanx)d(arctanx)

例13■■dx=■arcsinxd(arcsinx)=■(arcsinx)2+C

例14■■dx=■earctanxd(arctanx)=earctanx+C

不定積分計算方法多樣靈活，作為對逆向思維的一種考察，難度較大。三本院校偏文科類的學生，數學基礎薄弱，因此要降低理論推導要求，加強知識分類、識別的介紹和方法總結，多舉例，注意培養學生的計算應用能力。結合實踐教學過程中的經驗，本文對第一類換元積分法做分類總結，教會學生識別不同的被積函數，進而采用相應合適的積分方法。

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系.高等數學（本科少學時類型）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]趙樹嫄.微積分（第三版）[M].北京：中國人民大學出版社，2007.

摘 要：本文分類總結了不定積分第一類換元積分法的常見類型，并給出典型的例題講解。

關鍵詞：不定積分；第一類換元積分法；分類

第一類換元積分法是求不定積分重要的、基礎的方法，本文將第一類換元積分法（湊微分法）常見的類型進行分類總結。

定理：設（1）■f(u)du=F(u)+C，（2）函數u=?漬(x)可微，則成立第一類換元積分方法：

■f[?漬(x)]?漬′(x)dx=■f[?漬(x)]d?漬(x)=■f(u)du■

=[F(u)+C]u=?漬(x)=F[?漬(x)]+C

類型Ⅰ■f(ax+b)dx=■■f(ax+b)d(ax+b)(a≠0)

例1■■=■■(3x-1)■d(3x-1)=■■+C

例2①■■②■■

分析：①中被積函數分母x2+2x+5的△<0，通過對分母配方，做變換■■dx=■■dx；②中被積函數分母x2-5x+6的△>0，通過對分母因式分解，做變換■■=■■。

解：①■■dx=■■dx

=■■d(x+1)=■arctan■+C

②■■=■■=ln■+C

類型Ⅱ■x?琢-1f(x?琢+b)dx=■■f(x?琢+b)d(x?琢+b)(?琢≠0)

例3■x■dx=■■(x2-3)■d(x2-3)=■·■(x2-3)■+C=■(x2-3)■+C

例4■■sec2■dx=-■sec2■d(■)=-tan■+C

類型Ⅲ■■f(lnx)dx=■f(lnx)d(lnx)或■■f(ln|x|)dx=■f(ln|x|)d(ln|x|)

例5■■=■■=■(1+lnx)-2d(1+lnx)

=-■+C

類型Ⅳ■exf(ex)dx=■f(ex)d(ex)或■f(ex)dx=■■d(ex)

例6■■dx=■■dex=■arcan■+C

類型Ⅴ關于被積函數中含有sinx和cosx的不定積分

ⅰ■cosxf(sinx)dx=■f(sinx)d(sinx)和■sinxf(cosx)dx

=-■f(cosc)d(cosx)

例7■esinxcosxdx=■esinxd(sinx)=esinx+C

ⅱ對于形如■sinmxcosnxdx，■sinmxsinnxdx和■cosmxcosnxdx的積分(m,n∈N)，可首先利用積化和差公式對被積函數進行變形。

例8■sin5xcos3xdx=■■[sin(5x+3x)]+sin(5x-3x)dx

=■[■sin8xdx+■sin2xdx]

=■■sin8xd(8x)+■■sin2xd(2x)

=-■cos8x-■cos4x+C

ⅲ對于形如■sinmxcosnxdx的積分(m,n∈N)，可按如下方法處理：

（1）m,n中至少有一個為奇數時，不妨設n=2k+1，

■sinmxcos2k+1xdx=■sinmx(1-sin2x)kd(sinx)=■um(1-u2)kdu，化成u的多項式積分，求出后以u=sinx代回；

（2）m,n都為偶數時，可用倍角公式，sin2x=■(1-cos2x),cos2x=■(1+cos2x)降低三角函數冪次。

例9■sin2xcos3xdx=■sin2x(1-sin2x)d(sinx)

=■(sin2x-sin4x)d(sinx)

=■sin3x-■sin5x+C

例10■sin2xcos2xdx=■■■dx

=■■(1-cos22x)dx=■■(1-■)dx=■■(1-cos4x)dx

=■■dx-■■cos4xd(4x)=■-■sin4x+C

類型Ⅵ■sec2xf(tanx)dx=■f(tanx)d(tanx)■cos2xf(cotx)dx=-■f(cotx)d(cotx)

和■f(secx)secxtanxdx=■f(secx)d(secx)■f(cscx)cscxcotxdx=-■f(cscx)d(cscx)

例11■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■tanx(1+tan2x)d(tanx)

=■tan2x+■tan4x+C

或者用下面解法：

■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■sec3xd(secx)=■sec4x+C

類型Ⅶ■■dx=■■df(x)=ln|f(x)|+C

例12■■dx=■■d(x2-x+3)=ln|x2-x+3|+C

類型Ⅷ■■dx=■f(arcsinx)d(arcsinx)

和■■dx=■f(arctanx)d(arctanx)

例13■■dx=■arcsinxd(arcsinx)=■(arcsinx)2+C

例14■■dx=■earctanxd(arctanx)=earctanx+C

不定積分計算方法多樣靈活，作為對逆向思維的一種考察，難度較大。三本院校偏文科類的學生，數學基礎薄弱，因此要降低理論推導要求，加強知識分類、識別的介紹和方法總結，多舉例，注意培養學生的計算應用能力。結合實踐教學過程中的經驗，本文對第一類換元積分法做分類總結，教會學生識別不同的被積函數，進而采用相應合適的積分方法。

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系.高等數學（本科少學時類型）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]趙樹嫄.微積分（第三版）[M].北京：中國人民大學出版社，2007.

摘 要：本文分類總結了不定積分第一類換元積分法的常見類型，并給出典型的例題講解。

關鍵詞：不定積分；第一類換元積分法；分類

第一類換元積分法是求不定積分重要的、基礎的方法，本文將第一類換元積分法（湊微分法）常見的類型進行分類總結。

定理：設（1）■f(u)du=F(u)+C，（2）函數u=?漬(x)可微，則成立第一類換元積分方法：

■f[?漬(x)]?漬′(x)dx=■f[?漬(x)]d?漬(x)=■f(u)du■

=[F(u)+C]u=?漬(x)=F[?漬(x)]+C

類型Ⅰ■f(ax+b)dx=■■f(ax+b)d(ax+b)(a≠0)

例1■■=■■(3x-1)■d(3x-1)=■■+C

例2①■■②■■

分析：①中被積函數分母x2+2x+5的△<0，通過對分母配方，做變換■■dx=■■dx；②中被積函數分母x2-5x+6的△>0，通過對分母因式分解，做變換■■=■■。

解：①■■dx=■■dx

=■■d(x+1)=■arctan■+C

②■■=■■=ln■+C

類型Ⅱ■x?琢-1f(x?琢+b)dx=■■f(x?琢+b)d(x?琢+b)(?琢≠0)

例3■x■dx=■■(x2-3)■d(x2-3)=■·■(x2-3)■+C=■(x2-3)■+C

例4■■sec2■dx=-■sec2■d(■)=-tan■+C

類型Ⅲ■■f(lnx)dx=■f(lnx)d(lnx)或■■f(ln|x|)dx=■f(ln|x|)d(ln|x|)

例5■■=■■=■(1+lnx)-2d(1+lnx)

=-■+C

類型Ⅳ■exf(ex)dx=■f(ex)d(ex)或■f(ex)dx=■■d(ex)

例6■■dx=■■dex=■arcan■+C

類型Ⅴ關于被積函數中含有sinx和cosx的不定積分

ⅰ■cosxf(sinx)dx=■f(sinx)d(sinx)和■sinxf(cosx)dx

=-■f(cosc)d(cosx)

例7■esinxcosxdx=■esinxd(sinx)=esinx+C

ⅱ對于形如■sinmxcosnxdx，■sinmxsinnxdx和■cosmxcosnxdx的積分(m,n∈N)，可首先利用積化和差公式對被積函數進行變形。

例8■sin5xcos3xdx=■■[sin(5x+3x)]+sin(5x-3x)dx

=■[■sin8xdx+■sin2xdx]

=■■sin8xd(8x)+■■sin2xd(2x)

=-■cos8x-■cos4x+C

ⅲ對于形如■sinmxcosnxdx的積分(m,n∈N)，可按如下方法處理：

（1）m,n中至少有一個為奇數時，不妨設n=2k+1，

■sinmxcos2k+1xdx=■sinmx(1-sin2x)kd(sinx)=■um(1-u2)kdu，化成u的多項式積分，求出后以u=sinx代回；

（2）m,n都為偶數時，可用倍角公式，sin2x=■(1-cos2x),cos2x=■(1+cos2x)降低三角函數冪次。

例9■sin2xcos3xdx=■sin2x(1-sin2x)d(sinx)

=■(sin2x-sin4x)d(sinx)

=■sin3x-■sin5x+C

例10■sin2xcos2xdx=■■■dx

=■■(1-cos22x)dx=■■(1-■)dx=■■(1-cos4x)dx

=■■dx-■■cos4xd(4x)=■-■sin4x+C

類型Ⅵ■sec2xf(tanx)dx=■f(tanx)d(tanx)■cos2xf(cotx)dx=-■f(cotx)d(cotx)

和■f(secx)secxtanxdx=■f(secx)d(secx)■f(cscx)cscxcotxdx=-■f(cscx)d(cscx)

例11■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■tanx(1+tan2x)d(tanx)

=■tan2x+■tan4x+C

或者用下面解法：

■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■sec3xd(secx)=■sec4x+C

類型Ⅶ■■dx=■■df(x)=ln|f(x)|+C

例12■■dx=■■d(x2-x+3)=ln|x2-x+3|+C

類型Ⅷ■■dx=■f(arcsinx)d(arcsinx)

和■■dx=■f(arctanx)d(arctanx)

例13■■dx=■arcsinxd(arcsinx)=■(arcsinx)2+C

例14■■dx=■earctanxd(arctanx)=earctanx+C

不定積分計算方法多樣靈活，作為對逆向思維的一種考察，難度較大。三本院校偏文科類的學生，數學基礎薄弱，因此要降低理論推導要求，加強知識分類、識別的介紹和方法總結，多舉例，注意培養學生的計算應用能力。結合實踐教學過程中的經驗，本文對第一類換元積分法做分類總結，教會學生識別不同的被積函數，進而采用相應合適的積分方法。

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系.高等數學（本科少學時類型）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]趙樹嫄.微積分（第三版）[M].北京：中國人民大學出版社，2007.