淺談函數定義域的重要性

周霞

函數作為高中數學的主線，貫穿于整個高中數學的始終。函數的定義域是構成函數的三大要素之一，函數的定義域看似簡單，然而在解決問題中如果不加以注意，常常會走入誤區。在解函數題中強調定義域對解題結論的作用與影響，對提高學生的數學思維品質是十分有益的。

一、函數關系式與定義域

函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須要考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤的。如：

例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長的函數關系式？

解：設矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：S=x(50-x)，故函數關系式為：S=x(50-x)。

如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量x的范圍：0

這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響。否則思維缺乏嚴密性。

二、函數最值（極值）與定義域

函數的最值（極值）是指函數在給定的定義域區間上取到最大（小）值（極大（小）值）的問題。如果不注意定義域，將會導致最值（極值）的錯誤。如：

例2：求函數y=x2-2x-3在[－2，5]上的最值。

解：∵y=x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-1)2-4

∴當x=1時，ymin=-4

初看結論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產生這種錯誤的根源在于學生是按照定義域為R，求二次函數最值的思路，而沒有注意到已知條件發生了變化。

對二次函數y=ax2+bx+c(a>0)，在指定的定義域區間[p,q]上，它的最值應分如下情況：

（1）當-■q時，y=f(x)在[p,q]上單調遞減，函數f(x)max=f(p),f(x)min=f(q)；（3）當p≤-■≤q時，y=f(x)在[p,q]上最值情況是：f(x)min=f(-■)=■，f(x)max=max{f(p),f(q)}，即最大值是f(p),f(q)中最大的一個值。

故本題還要繼續做下去：

∵-2≤1≤5 ∴f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=3 f(5)=52-2×5-3=12 ∴f(x)max-max{f(-2),f(5)}=f(5)=12

∴函數y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12。

這個例子說明，在函數定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，數形結合才可以解決問題。

解決求函數極值問題，情形類似，不再贅述。

三、函數值域與定義域

函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。如：

例3：x∈-■,■,求函數y=2sin(2x+■)的值域.

錯解：值域y∈[-2，2]

正解：設t=2x+■,-■≤x≤■，0≤2x+■≤■，即0≤t≤■，在0≤t≤■上，-■≤sint≤1，所以，-■≤y≤2

函數值域為[-■,2]

剖析：如果沒有分析定義域，不注意換元后變量的取值范圍，很容易出現錯誤。

四、函數單調性與定義域

函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨之增減的情況，單調性是函數的局部性質，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。如：

例4：指出函數f(x)=log2(x2+2x)的單調區間。

解：先求定義域：

∵x2+2x>0,∴x>0或x<-2

∴函數定義域為(-∞，-2)∪(0,+∞)．

令u=x2+2x，知在x∈(-∞,-2)上時，u為減函數，

在x∈(0,+∞)上時，u為增函數。

又∵f(x)=log2u在[0，+∞）是增函數，

∴函數f(x)=log2(x2+2x)在(-∞,-2)上是減函數，在(0,+∞)上是增函數。即函數f(x)=log2(x2+2x)的單調遞增區間(0,+∞)，單調遞減區間是(+∞,-2)。

本題需要在定義域的兩個區間上分別考慮函數的單調性，否則就是對函數單調性的概念一知半解，沒有理解。教師在指導學生做練習或作業時，不能只套用同增異減原則，而不去讓領會解題方法的實質，否則學生的數學思維很難打開。

五、函數奇偶性與定義域

筆者在教學中總結函數奇偶性的判斷時，總是強調“一個前提”：考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義域區間是關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談。如：

例5：判斷函數y=x3,x∈[-1,3]的奇偶性．

解：∵2∈[-1,3]而-2?埸[-1,3]

∴定義域區間[-1，3]關于坐標原點不對稱

∴函數y=x3,x∈[-1,3]是非奇非偶函數。

如果不注意函數定義域，那么判斷函數的奇偶性得出如下錯誤結論：∵f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x) ∴函數y=x3,x∈[-1,3]是奇函數．

錯誤剖析：以上錯誤是在沒有判斷該函數的定義域區間是否關于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學生極易忽視的步驟，也是造成結論錯誤的原因。

綜上所述，在求解函數函數關系式、最值（值域）、單調性、奇偶性等問題中，若能重視分析函數定義域有無改變（指對定義域為R來說），對解題結果有無影響，就能提高學生質疑辨析能力，有利于培養學生的數學思維能力。

函數作為高中數學的主線，貫穿于整個高中數學的始終。函數的定義域是構成函數的三大要素之一，函數的定義域看似簡單，然而在解決問題中如果不加以注意，常常會走入誤區。在解函數題中強調定義域對解題結論的作用與影響，對提高學生的數學思維品質是十分有益的。

一、函數關系式與定義域

函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須要考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤的。如：

例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長的函數關系式？

解：設矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：S=x(50-x)，故函數關系式為：S=x(50-x)。

如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量x的范圍：0

這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響。否則思維缺乏嚴密性。

二、函數最值（極值）與定義域

函數的最值（極值）是指函數在給定的定義域區間上取到最大（小）值（極大（小）值）的問題。如果不注意定義域，將會導致最值（極值）的錯誤。如：

例2：求函數y=x2-2x-3在[－2，5]上的最值。

解：∵y=x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-1)2-4

∴當x=1時，ymin=-4

初看結論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產生這種錯誤的根源在于學生是按照定義域為R，求二次函數最值的思路，而沒有注意到已知條件發生了變化。

對二次函數y=ax2+bx+c(a>0)，在指定的定義域區間[p,q]上，它的最值應分如下情況：

（1）當-■q時，y=f(x)在[p,q]上單調遞減，函數f(x)max=f(p),f(x)min=f(q)；（3）當p≤-■≤q時，y=f(x)在[p,q]上最值情況是：f(x)min=f(-■)=■，f(x)max=max{f(p),f(q)}，即最大值是f(p),f(q)中最大的一個值。

故本題還要繼續做下去：

∵-2≤1≤5 ∴f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=3 f(5)=52-2×5-3=12 ∴f(x)max-max{f(-2),f(5)}=f(5)=12

∴函數y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12。

這個例子說明，在函數定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，數形結合才可以解決問題。

解決求函數極值問題，情形類似，不再贅述。

三、函數值域與定義域

函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。如：

例3：x∈-■,■,求函數y=2sin(2x+■)的值域.

錯解：值域y∈[-2，2]

正解：設t=2x+■,-■≤x≤■，0≤2x+■≤■，即0≤t≤■，在0≤t≤■上，-■≤sint≤1，所以，-■≤y≤2

函數值域為[-■,2]

剖析：如果沒有分析定義域，不注意換元后變量的取值范圍，很容易出現錯誤。

四、函數單調性與定義域

函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨之增減的情況，單調性是函數的局部性質，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。如：

例4：指出函數f(x)=log2(x2+2x)的單調區間。

解：先求定義域：

∵x2+2x>0,∴x>0或x<-2

∴函數定義域為(-∞，-2)∪(0,+∞)．

令u=x2+2x，知在x∈(-∞,-2)上時，u為減函數，

在x∈(0,+∞)上時，u為增函數。

又∵f(x)=log2u在[0，+∞）是增函數，

∴函數f(x)=log2(x2+2x)在(-∞,-2)上是減函數，在(0,+∞)上是增函數。即函數f(x)=log2(x2+2x)的單調遞增區間(0,+∞)，單調遞減區間是(+∞,-2)。

本題需要在定義域的兩個區間上分別考慮函數的單調性，否則就是對函數單調性的概念一知半解，沒有理解。教師在指導學生做練習或作業時，不能只套用同增異減原則，而不去讓領會解題方法的實質，否則學生的數學思維很難打開。

五、函數奇偶性與定義域

筆者在教學中總結函數奇偶性的判斷時，總是強調“一個前提”：考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義域區間是關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談。如：

例5：判斷函數y=x3,x∈[-1,3]的奇偶性．

解：∵2∈[-1,3]而-2?埸[-1,3]

∴定義域區間[-1，3]關于坐標原點不對稱

∴函數y=x3,x∈[-1,3]是非奇非偶函數。

如果不注意函數定義域，那么判斷函數的奇偶性得出如下錯誤結論：∵f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x) ∴函數y=x3,x∈[-1,3]是奇函數．

錯誤剖析：以上錯誤是在沒有判斷該函數的定義域區間是否關于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學生極易忽視的步驟，也是造成結論錯誤的原因。

綜上所述，在求解函數函數關系式、最值（值域）、單調性、奇偶性等問題中，若能重視分析函數定義域有無改變（指對定義域為R來說），對解題結果有無影響，就能提高學生質疑辨析能力，有利于培養學生的數學思維能力。

函數作為高中數學的主線，貫穿于整個高中數學的始終。函數的定義域是構成函數的三大要素之一，函數的定義域看似簡單，然而在解決問題中如果不加以注意，常常會走入誤區。在解函數題中強調定義域對解題結論的作用與影響，對提高學生的數學思維品質是十分有益的。

一、函數關系式與定義域

函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須要考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤的。如：

例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長的函數關系式？

解：設矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：S=x(50-x)，故函數關系式為：S=x(50-x)。

如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量x的范圍：0

這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響。否則思維缺乏嚴密性。

二、函數最值（極值）與定義域

函數的最值（極值）是指函數在給定的定義域區間上取到最大（小）值（極大（小）值）的問題。如果不注意定義域，將會導致最值（極值）的錯誤。如：

例2：求函數y=x2-2x-3在[－2，5]上的最值。

解：∵y=x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-1)2-4

∴當x=1時，ymin=-4

初看結論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產生這種錯誤的根源在于學生是按照定義域為R，求二次函數最值的思路，而沒有注意到已知條件發生了變化。

對二次函數y=ax2+bx+c(a>0)，在指定的定義域區間[p,q]上，它的最值應分如下情況：

（1）當-■q時，y=f(x)在[p,q]上單調遞減，函數f(x)max=f(p),f(x)min=f(q)；（3）當p≤-■≤q時，y=f(x)在[p,q]上最值情況是：f(x)min=f(-■)=■，f(x)max=max{f(p),f(q)}，即最大值是f(p),f(q)中最大的一個值。

故本題還要繼續做下去：

∵-2≤1≤5 ∴f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=3 f(5)=52-2×5-3=12 ∴f(x)max-max{f(-2),f(5)}=f(5)=12

∴函數y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12。

這個例子說明，在函數定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，數形結合才可以解決問題。

解決求函數極值問題，情形類似，不再贅述。

三、函數值域與定義域

函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。如：

例3：x∈-■,■,求函數y=2sin(2x+■)的值域.

錯解：值域y∈[-2，2]

正解：設t=2x+■,-■≤x≤■，0≤2x+■≤■，即0≤t≤■，在0≤t≤■上，-■≤sint≤1，所以，-■≤y≤2

函數值域為[-■,2]

剖析：如果沒有分析定義域，不注意換元后變量的取值范圍，很容易出現錯誤。

四、函數單調性與定義域

函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨之增減的情況，單調性是函數的局部性質，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。如：

例4：指出函數f(x)=log2(x2+2x)的單調區間。

解：先求定義域：

∵x2+2x>0,∴x>0或x<-2

∴函數定義域為(-∞，-2)∪(0,+∞)．

令u=x2+2x，知在x∈(-∞,-2)上時，u為減函數，

在x∈(0,+∞)上時，u為增函數。

又∵f(x)=log2u在[0，+∞）是增函數，

∴函數f(x)=log2(x2+2x)在(-∞,-2)上是減函數，在(0,+∞)上是增函數。即函數f(x)=log2(x2+2x)的單調遞增區間(0,+∞)，單調遞減區間是(+∞,-2)。

本題需要在定義域的兩個區間上分別考慮函數的單調性，否則就是對函數單調性的概念一知半解，沒有理解。教師在指導學生做練習或作業時，不能只套用同增異減原則，而不去讓領會解題方法的實質，否則學生的數學思維很難打開。

五、函數奇偶性與定義域

筆者在教學中總結函數奇偶性的判斷時，總是強調“一個前提”：考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義域區間是關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談。如：

例5：判斷函數y=x3,x∈[-1,3]的奇偶性．

解：∵2∈[-1,3]而-2?埸[-1,3]

∴定義域區間[-1，3]關于坐標原點不對稱

∴函數y=x3,x∈[-1,3]是非奇非偶函數。

如果不注意函數定義域，那么判斷函數的奇偶性得出如下錯誤結論：∵f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x) ∴函數y=x3,x∈[-1,3]是奇函數．

錯誤剖析：以上錯誤是在沒有判斷該函數的定義域區間是否關于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學生極易忽視的步驟，也是造成結論錯誤的原因。

綜上所述，在求解函數函數關系式、最值（值域）、單調性、奇偶性等問題中，若能重視分析函數定義域有無改變（指對定義域為R來說），對解題結果有無影響，就能提高學生質疑辨析能力，有利于培養學生的數學思維能力。