Hamilton體系下海底懸跨管道動力特性分析

劉龍，董達善，張振

(上海海事大學物流工程學院，上海 201306)

0 引言

海底輸油氣管道是海上油氣田開發生產系統的主要組成部分，是連續地輸送大量油氣最快捷、最安全和經濟可靠的運輸方式.［1]受到海底地形地貌、波浪、海流沖刷等影響，海底管道難免出現懸跨，懸跨管道可長達幾十米，位于深十幾米的海水中.管道懸跨會影響管道的穩定性，易引發渦激共振導致管道疲勞破壞，縮短管線壽命甚至釀成工程事故，造成嚴重的經濟損失和惡劣的社會影響.例如，2000年10月，東海平湖油氣田輸油管線，因臺風和海床沖刷出現多處較長距離的懸跨段，有兩處發生管道疲勞斷裂，原油生產被迫中斷110 d.所以，對懸跨管道進行研究具有重要的理論和工程實際意義.

LARSEN等［2]在懸跨支撐處采用非線性方法處理邊界條件，進行海底懸跨管道渦激振動的非線性時域分析.CHOI［3]根據能量平衡理論求解懸跨的固有頻率，提出改進的設計準則計算極限管道懸跨長度.MADGA［4]利用二維平面應變有限元模型研究砂質海床上埋置管道的波浪升力，考慮不同土體飽和度對管道升力的影響.楊新華等［5]采用Hermit插值函數對管道動力特性方程進行離散，并以約化速度作為控制條件，確定管道允許懸空長度.包日東等［6]用微分求積法分析不同支承條件下輸流管道的允許懸跨長度.李昕等［7]利用水下振動臺進行海底懸跨管道動力模型試驗，分析管道懸跨長度、懸跨高度、支撐情況和管內運輸不同物質等因素對海底懸跨管道動力響應的影響.黃維平等［8]對輸送液體的模型管道進行渦激振動試驗研究.李曉猛等［9]、鄭蘇等［10]用實驗方法模擬圓截面桿件的風致振動及控制渦激共振的干擾措施.郝志永等［11]用粒子圖像測速系統分析和探討不同列板條紋高度對柱狀結構尾渦形態變化的影響.

目前大多數研究基于理想簡化模型，對內外流同時作用、材料黏彈性等復雜載荷耦合作用下海底懸跨管道動態特性和疲勞破壞機理的研究還比較少.同時，在方程求解方面，一般采用消元法將方程轉換為高階微分形式，或采用Galerkin法將方程轉換為二階微分方程，然后運用Runge-Kutta法、有限差分法等求解，但這些方法對時間步長都比較敏感，特別是長時間動力響應的精度很難得到保證.因此，有必要探索高效而穩定的數值算法，以更有效地分析海底管道結構的動力學特性.

另外一種思路是將運動方程由Lagrange體系轉換到Hamilton體系，在原變量和其對偶變量組成的辛空間中展開求解.例如，STANGL等［12]應用辛變換方法和平均法研究兩端支承管道的次諧波共振和組合共振的幅頻特性曲線.鐘萬勰［13]提出精細時程積分法計算結構動力響應，其數值結果可以理解為計算機精確解.該方法已經在結構動力分析、優化控制、偏微分方程求解領域得到廣泛應用，具有較好的應用前景.

本文在Hamilton體系下建立海底懸跨管道的對偶正則方程，運用精細積分法分析復雜載荷作用下海底懸跨管道的動態特性，從而為海底管道的穩定性評估和疲勞壽命預測奠定基礎.

1 海底懸跨管道運動方程

1.1 一般動力學方程

建立如圖1所示模型，管道軸線為x軸，y軸與重力方向相反.根據海底管道特點，假設懸跨段兩端為簡支支承.

圖1 管道懸跨段模型

假設m1和m2分別為單位長度管道及其內流體質量.懸跨管道截面為規則圓形，外徑為D，橫截面積為S，其懸空長度為L，內流壓強為P，軸向力為T.假設:(1)管內流體以恒定流速V流動;(2)海流為穩定流，流速為U;(3)不計管道的順向和橫向振動的耦合作用.

在管道x處取微元dx，將流體微元與管道微元分離進行分析，得到

式中:M為彎矩;cw為流體阻尼;Fw為管外流體在單位長度管道上的作用力，主要包括渦激升力和海流拖曳力.渦激升力計算公式為

式中:CL為升力因數;ρw為管外流體密度;ωs=為漩渦發放圓頻率，Sr為斯特勞哈爾數.海流拖曳力計算公式為

式中:CD為拖曳力因數;ω′s=2ωs為順向力作用頻率.假設管道材料為線彈性材料，本文考慮Kelvin-Voigt黏彈性材料模型，該模型由彈簧與阻尼器并聯而成.彎矩可表示為式中:E和η分別為材料彈性模量和黏彈性系數;I為管道橫截面的慣性矩.

將式(4)代入式(1)中，可得到考慮材料黏彈性的懸跨管道運動微分方程:

對上述變量進行無量綱化處理:

將式(6)代入式(5)，得到下列方程:

式(7)即為考慮內外流、流體壓力、軸向力和材料黏彈性的管道的一般運動方程，下面將其轉化為Hamilton體系下的運動方程.

1.2 運動方程辛表述

首先運用Galerkin方法對式(7)進行離散化處理，然后將方程降階，轉化為一階常微分方程組求解.

假設該方程的解為

式中:qj(τ)為廣義坐標;φj(ξ)為滿足邊界條件的振型函數.以往研究表明，僅考慮兩階模態即可保證計算結果有足夠的精度，故取n=2展開模態計算，運動方程即轉化為兩階微分方程.定義以下參數:

將式(8)與(9)結合后代入式(7)，在方程兩邊同乘以 φi，并在［0，1]上積分，利用特征方程的正交性質化簡后，得到

式中:Λ 為特征值矩陣;B，C，N，R 分別為 bij，cij，ni，rij的矩陣.

引入狀態向量V=(q p)T，則式(10)可以化為Hamilton體系下的狀態向量的微分方程組:

可以看出，懸跨管道方程是典型的非線性動力學問題.下面利用基于線性插值的精細積分法求解.

2 精細積分法

首先根據精細積分法求解齊次方程V·(t)=HV.因為 A是定常矩陣，其通解可寫成 V=exp(Ht)·v0，v0為初始值.

精細積分法有2個要點:2N類算法和計算增量.

設數值積分的時間步長為μ.指數矩陣函數的加法定理由下面的恒等式給出:

可取m=2N，若N=20，m=1 048 576.由于 μ 本身是不大的時間區段，則τ=μ/m是非常小的一個時間區段.因此，這個極小的時間區段按泰勒級數展開后也有較高精度.這是要點1.

因τ很小，exp(Hτ)冪級數展開5項已足夠.此時指數矩陣T(τ)與單位陣In相差不大，故寫為

在計算中至關重要的一點是:指數矩陣的存儲只能是上式中的增量Ta.因為Ta很小，當它與單位陣In相加時，就會成為其尾數，在計算機的舍入操作中，其精度將喪失殆盡.這是要點2.

根據以上計算步驟編程，即可實現較高的計算精度.

將時間分解為較小的步長，在(tk，tk+1)內的響應可以寫為

現在的問題集中于如何處理與時間、未知向量相關的F(τ).本文采用高斯公式，即將代入積分項表達式，有

上式中取n=3時為三節點高斯公式，代數精度為5.此時式中參數為:.這樣，就得到由當前時刻tk的解求下一時刻tk+1的解的遞推公式，從而將精細積分法進一步推廣到非線性動力學問題.

3 懸跨管道動態響應分析

影響海底懸跨管道動力特性的因素較多，本文首先計算橫向、順向渦激共振時程響應，并考察海流流速、內流流速、內流壓強、軸向力、黏彈性系數對管道振幅的影響.

選擇以下管道及流體參數進行計算.管內流體密度為 908.2 kg/m3，管道材料密度7 850 kg/m3，管道材料彈性模量為2.1×1011Pa.管外流體密度為1 025 kg/m3，管道外徑 0.426 m，管壁厚 0.014 m，管道跨長 70 m.升力因數 3.0，拖曳力因數 1.2，慣性力系數2.0，斯特勞哈爾數 0.2.此時，不考慮阻尼、軸力、壓強等因素，管道第一階固有頻率為0.74 rad/s.

3.1 海流作用下管道振動響應

為計算管道橫向共振時的響應問題，令漩渦發放頻率等于管道固有頻率，計算得此時海流流速為0.266 m/s.計算管道的時程響應，得出管道中點的時程位移響應見圖2.同理，計算海流作用下管道順向共振時程位移響應，見圖3.

圖2 管道橫向共振時程響應

圖3 管道順向共振時程響應

將計算結果與橫向振動的時程響應比較可以看出，在渦激振動中管道順向振動頻率是橫向振動頻率的兩倍，但是在200 s時橫向共振幅值約為0.3 m，而順向共振幅值約為0.056 m，不到前者的20%，所以在海流作用下的海底管道動力計算中通常只考慮管道橫向振動.

3.2 海流流速對管道振幅的影響

海流流速對管道振幅的影響表現在兩方面:一方面海流流速的增加使激勵力幅值增大，這使得管道振動幅值增加;另一方面海流流速增加也使漩渦發放頻率增加，從而增大水動力阻尼，使得管道振動幅值減小.因此，海流流速對振動幅值的影響相對復雜.圖4是海流流速從0到2.0 m/s變化過程中管道振幅的變化.

圖4 海流流速對管道振幅的影響

從圖4可以看出，海流流速的增加引起漩渦頻率提升而出現共振.共振時的海流流速為0.266 m/s，這與上節計算所得的共振時海流流速一致.當海流流速大于0.5 m/s時，管道振幅穩定在0.05 m附近，變化較小.

3.3 內流流速對管道振幅影響

一般來說，內流會降低管道的固有頻率.取內流流速在0到20 m/s之間變化，并取海流流速分別為 0，0.05，0.10，0.15 和 0.20 m/s 進行計算，得到懸跨段管道垂向振動幅值隨內流流速的變化，見圖5.從圖5可以看出:管道振幅隨內流速度增加而增加，特別是在海流渦激發放頻率附近，增加更為明顯.

圖5 內流流速對管道振幅的影響

3.4 內流壓強對管道振幅的影響

選定壓強在0到1.5 MPa之間變化，并取海流流速分別為0，0.05，0.10，0.15 和0.20 m/s進行計算，可以得到其對管道振幅的影響，見圖6.通過比較可以看出，當外界流速沒有達到能引起懸跨段共振的流速時，管道振幅隨著內流壓強的增加而增加.

圖6 內流壓強對管道振幅的影響

3.5 軸向力對管道振幅的影響

以軸向拉力為正，在－150～150 kN之間改變管道軸向力，并取海流流速分別為0，0.05，0.10，0.15和0.20 m/s進行計算，可以得到其對管道振幅的影響，見圖7.通過比較可以看出，軸向拉力對管道振幅的影響較小，同時隨著軸向壓力的增加，管道振幅逐漸變大.

圖7 軸向力對管道振幅的影響

3.6 材料黏彈性系數對管道振幅的影響

選擇黏彈性系數在0～0.010變化，并取海流流速分別為0，0.05，0.10，0.15 和 0.20 m/s進行計算，可以得到其對管道振幅的影響，見圖8.通過比較可以看出，管道振幅隨著材料黏彈性系數的增加而減小，但是振幅很小，故材料黏彈性系數對振幅的影響不大.

圖8 材料黏彈性系數對管道振幅的影響

4 結束語

本文以海底懸跨管道為研究對象，在Hamilton體系下建立復雜載荷環境下懸跨管道動力學方程，應用精細積分法分析載荷參數對懸跨段動態響應的影響.計算結果表明渦激振動中管道主振動為橫向振動，振動響應幅值隨內流速度、內流壓強和軸向壓力的增加而增大，而材料黏彈性系數對管道振幅的影響不大.

海底懸跨管道的計算是一個復雜的非線性問題，影響其動力特性的因素較多，因此關于精確計算流固耦合作用下海底懸跨管道的動力特性，對其進行穩定性分析和壽命預測，還需進一步深入研究.

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