試談求函數(shù)值域的基本思想及方法

2014-07-24 15:18:08孔曉紅

教育教學(xué)論壇 2014年22期

摘要：本文簡(jiǎn)述了求函數(shù)值域（或最值）常用的基本方法函數(shù)的值域是研究函數(shù)不可缺少的一個(gè)重要方面。求函數(shù)值域是函數(shù)這部分內(nèi)容的重、難點(diǎn)問(wèn)題之一。求函數(shù)值域首先要考察定義域。以一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等基本函數(shù)的圖象和性質(zhì)為基礎(chǔ)，尤其要熟練掌握二次函數(shù)式在給定區(qū)間上值域的求法。應(yīng)用化歸思想、方程思想、相互制約思想、幾何思想、基本不等式以及單調(diào)性、奇偶性、周期性等函數(shù)性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；值域；教學(xué)方法

中圖分類(lèi)號(hào)：G623 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）22-0100-02

一、求二次函數(shù)式在自然定義域上的值域，一般將函數(shù)式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）化為y=a（x-m）2+n的形式，這里m=-■，n=■。化成這種形式體現(xiàn)兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：①知道圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（m，n）、對(duì)稱軸及函數(shù)最值；②函數(shù)的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間為（-∞，m]、[m，+∞）。這樣，若a>0，其值域?yàn)閇m，+∞）；若a<0，其值域?yàn)椋?∞，m]

求二次函數(shù)式在限定區(qū)間D上的值域，先考察頂點(diǎn)橫坐標(biāo)m與區(qū)間D的關(guān)系。如果m∈D，那么一個(gè)最值就是n，再通過(guò)考察區(qū)間D的兩個(gè)端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就能確定值域；如果m？埸D，那么D必是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性就能求出值域。

二、化歸思想——通過(guò)替換或變形等方法把函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)式或基本函數(shù)有聯(lián)系的形式，進(jìn)而利用基本函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定出值域

【例1】：求函數(shù)y=■的值域。

分析：此函數(shù)式分母變化，分子為常數(shù)，其外形就是冪函數(shù)y=■，

因此，可通過(guò)替換化歸為冪函數(shù)后就可求出值域。

解：設(shè)x2-3x+2=t，則y=■

因t=（x-■）2-■≥-■且t≠0，

如圖可知y≤-4或y>0，∴函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-4]∪（0，+∞）。

【例2】：求函數(shù)y=（■）-x■-4x+5的值域。

分析：此函數(shù)式底數(shù)為常數(shù)，指數(shù)變化，外形就是指數(shù)函數(shù)y=（■）x。因此，可化歸為指數(shù)函數(shù)后，就能求出值域。

解：設(shè)-x2-4x+5=t，則y=（■）t。因t=-（x+2）2+9≤9，而y=（■）t是減函數(shù)，∴y>（■）9=■，即函數(shù)的值域是[■，+∞）。

三、方程思想——一個(gè)函數(shù)式實(shí)際上就是關(guān)于自變量x與函數(shù)值y的方程，而根據(jù)函數(shù)的定義可知，這個(gè)方程必關(guān)于x有解，因此有時(shí)我們把函數(shù)式變形為關(guān)于x的方程后，利用方程有解的條件建立關(guān)于y的不等式關(guān)系，從而求出值域

【例3】：求函數(shù)y=log2ax+2logax+2的值域。

分析：把函數(shù)式視為關(guān)于x的方程，則這個(gè)方程關(guān)于x有解，因?yàn)閤∈（0，+∞），所以logax∈R，這樣把函數(shù)式看作關(guān)于logax的一元二次方程，那么這個(gè)方程恒有解，利用一元二次方程有解的條件就能求出值域。

解：因x>0，∴l(xiāng)ogax∈R，設(shè)logax=t，則函數(shù)式可變形為t2+2t+（2-y）=0 由Δ=4-4（2-y）≥0解得y≥1，故函數(shù)的值域是[1，+∞）。

四、制約思想——自變量x與函數(shù)值y相互依存又相互制約。

【例4】：求函數(shù)y=■的值域。

分析：由于y受sinx的制約，而sinx∈（-1，1），因此從函數(shù)式解出sinx=f（y），通過(guò)-1≤f（y）≤1可求得值域。

【例5】：求函數(shù)y=■的值域。

分析：由于y受x2的制約，而x2≥0，因此從函數(shù)式解出x2=f（y），通過(guò)f（y）≥0能確定值域。

五、幾何思想——幾何思想即數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)作出函數(shù)的圖象或根據(jù)函數(shù)式所表示的意義畫(huà)出相應(yīng)圖形，進(jìn)而求出值域

思路一：畫(huà)出函數(shù)的圖象，可觀察出值域。思路二：由于|x-3|-|x+1|表示數(shù)軸上的點(diǎn)到3的距離與到-1的距離之差，因此，通過(guò)數(shù)軸可知值域是[-4，4]。

【例6】：求函數(shù)y=■的值域。

分析：因?yàn)楹瘮?shù)y=■的幾何意義為兩點(diǎn)P（-2，0），Q（cosx，sinx）連線的斜率k，而點(diǎn)Q在單位圓x2+y2=1上（如圖），

易求得-■≤k≤■∴值域是[-■，■]。

六、注意留意基本不等式即函數(shù)的單調(diào)性

【例7】：求函數(shù)y=x（3-2x），0

解：把函數(shù)式變形為y=■（2x）（3-2x），因?yàn)?x，3-2x均為正值，所以y=■（2x）（3-2x）≤■[■]2=■，（x=■時(shí)取等號(hào)），又y>0

故函數(shù)的值域是（0，■]。

除以上基本思想方法外，要注意考察奇偶性與周期性。如果是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們只求正區(qū)間或負(fù)區(qū)間上函數(shù)值的范圍，根據(jù)對(duì)稱性就能確定值域；如果是周期函數(shù)，只求一周期區(qū)間上的值域。

總之，求值域是個(gè)較困難且較為靈活的問(wèn)題，需靈活運(yùn)用所學(xué)，靈活解決。

參考文獻(xiàn)：

[1]史海平.一類(lèi)函數(shù)值域的新求法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，1989（05）.

[2]方亞娜.函數(shù)值域的求法[J].甘肅教育，1998（11）.

[3]李建標(biāo).關(guān)于函數(shù)值域的概念及其應(yīng)用[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2005（03）.

作者簡(jiǎn)介：孔曉紅（1980—），女，甘肅永靖，現(xiàn)任中學(xué)一級(jí)教師。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；值域；教學(xué)方法

中圖分類(lèi)號(hào)：G623 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）22-0100-02

【例1】：求函數(shù)y=■的值域。

分析：此函數(shù)式分母變化，分子為常數(shù)，其外形就是冪函數(shù)y=■，

因此，可通過(guò)替換化歸為冪函數(shù)后就可求出值域。

解：設(shè)x2-3x+2=t，則y=■

因t=（x-■）2-■≥-■且t≠0，

如圖可知y≤-4或y>0，∴函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-4]∪（0，+∞）。

【例2】：求函數(shù)y=（■）-x■-4x+5的值域。

解：設(shè)-x2-4x+5=t，則y=（■）t。因t=-（x+2）2+9≤9，而y=（■）t是減函數(shù)，∴y>（■）9=■，即函數(shù)的值域是[■，+∞）。

【例3】：求函數(shù)y=log2ax+2logax+2的值域。

解：因x>0，∴l(xiāng)ogax∈R，設(shè)logax=t，則函數(shù)式可變形為t2+2t+（2-y）=0 由Δ=4-4（2-y）≥0解得y≥1，故函數(shù)的值域是[1，+∞）。

四、制約思想——自變量x與函數(shù)值y相互依存又相互制約。

【例4】：求函數(shù)y=■的值域。

分析：由于y受sinx的制約，而sinx∈（-1，1），因此從函數(shù)式解出sinx=f（y），通過(guò)-1≤f（y）≤1可求得值域。

【例5】：求函數(shù)y=■的值域。

分析：由于y受x2的制約，而x2≥0，因此從函數(shù)式解出x2=f（y），通過(guò)f（y）≥0能確定值域。

【例6】：求函數(shù)y=■的值域。

分析：因?yàn)楹瘮?shù)y=■的幾何意義為兩點(diǎn)P（-2，0），Q（cosx，sinx）連線的斜率k，而點(diǎn)Q在單位圓x2+y2=1上（如圖），

易求得-■≤k≤■∴值域是[-■，■]。

六、注意留意基本不等式即函數(shù)的單調(diào)性

【例7】：求函數(shù)y=x（3-2x），0

解：把函數(shù)式變形為y=■（2x）（3-2x），因?yàn)?x，3-2x均為正值，所以y=■（2x）（3-2x）≤■[■]2=■，（x=■時(shí)取等號(hào)），又y>0

故函數(shù)的值域是（0，■]。

總之，求值域是個(gè)較困難且較為靈活的問(wèn)題，需靈活運(yùn)用所學(xué)，靈活解決。

參考文獻(xiàn)：

[1]史海平.一類(lèi)函數(shù)值域的新求法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，1989（05）.

[2]方亞娜.函數(shù)值域的求法[J].甘肅教育，1998（11）.

[3]李建標(biāo).關(guān)于函數(shù)值域的概念及其應(yīng)用[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2005（03）.

作者簡(jiǎn)介：孔曉紅（1980—），女，甘肅永靖，現(xiàn)任中學(xué)一級(jí)教師。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；值域；教學(xué)方法

中圖分類(lèi)號(hào)：G623 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）22-0100-02

【例1】：求函數(shù)y=■的值域。

分析：此函數(shù)式分母變化，分子為常數(shù)，其外形就是冪函數(shù)y=■，

因此，可通過(guò)替換化歸為冪函數(shù)后就可求出值域。

解：設(shè)x2-3x+2=t，則y=■

因t=（x-■）2-■≥-■且t≠0，

如圖可知y≤-4或y>0，∴函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-4]∪（0，+∞）。

【例2】：求函數(shù)y=（■）-x■-4x+5的值域。

解：設(shè)-x2-4x+5=t，則y=（■）t。因t=-（x+2）2+9≤9，而y=（■）t是減函數(shù)，∴y>（■）9=■，即函數(shù)的值域是[■，+∞）。

【例3】：求函數(shù)y=log2ax+2logax+2的值域。

解：因x>0，∴l(xiāng)ogax∈R，設(shè)logax=t，則函數(shù)式可變形為t2+2t+（2-y）=0 由Δ=4-4（2-y）≥0解得y≥1，故函數(shù)的值域是[1，+∞）。

四、制約思想——自變量x與函數(shù)值y相互依存又相互制約。

【例4】：求函數(shù)y=■的值域。

分析：由于y受sinx的制約，而sinx∈（-1，1），因此從函數(shù)式解出sinx=f（y），通過(guò)-1≤f（y）≤1可求得值域。

【例5】：求函數(shù)y=■的值域。

分析：由于y受x2的制約，而x2≥0，因此從函數(shù)式解出x2=f（y），通過(guò)f（y）≥0能確定值域。

【例6】：求函數(shù)y=■的值域。

分析：因?yàn)楹瘮?shù)y=■的幾何意義為兩點(diǎn)P（-2，0），Q（cosx，sinx）連線的斜率k，而點(diǎn)Q在單位圓x2+y2=1上（如圖），

易求得-■≤k≤■∴值域是[-■，■]。

六、注意留意基本不等式即函數(shù)的單調(diào)性

【例7】：求函數(shù)y=x（3-2x），0

解：把函數(shù)式變形為y=■（2x）（3-2x），因?yàn)?x，3-2x均為正值，所以y=■（2x）（3-2x）≤■[■]2=■，（x=■時(shí)取等號(hào)），又y>0

故函數(shù)的值域是（0，■]。

總之，求值域是個(gè)較困難且較為靈活的問(wèn)題，需靈活運(yùn)用所學(xué)，靈活解決。

參考文獻(xiàn)：

[1]史海平.一類(lèi)函數(shù)值域的新求法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，1989（05）.

[2]方亞娜.函數(shù)值域的求法[J].甘肅教育，1998（11）.

[3]李建標(biāo).關(guān)于函數(shù)值域的概念及其應(yīng)用[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2005（03）.

作者簡(jiǎn)介：孔曉紅（1980—），女，甘肅永靖，現(xiàn)任中學(xué)一級(jí)教師。