APOS理論指導下的概念教學設計——以“銳角三角比的意義”為例

☉上海市外國語大學附屬外國語學校 李禎俊

☉上海市外國語大學附屬外國語學校 李禎俊

一、問題的提出

李邦河院士曾說“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”數學概念是數學理論大廈的基石，是中學生數學基礎的重要組成部分.不依托于概念的解題訓練猶如把高萬丈高樓建于沙地，容易導致學生過于依賴技巧和模式，雖然能解題，但是缺乏舉一反三的變通能力，非但不能“熟能生巧”反而“生厭”、“生笨”.事實上，掌握概念并運用概念進行判斷和推理正是解題的關鍵，提高解題能力應該從重視概念教學開始.

APOS理論是美國數學家杜賓斯基于上世紀90年代提出的數學教育心理學理論，該理論是對皮亞杰的“反思性抽象”（Reflective abstraction）理論的拓展［1］，其針對的正是數學概念的學習過程.APOS理論的四個字母分別代表了理解數學概念的四個階段：Action（活動），Process（程序），Object（對象），Schema（圖式）.它揭示了學生在建構數學概念時的過程和層次，為教師提供了教學設計的具體模式和策略.

在美國及其他一些國家已有實驗證明在APOS理論指導下設計的課程顯著優于傳統課程，而國內的研究還多停留在理論階段.為了實現該理論與中國數學教學實際的更好融合，需要更多建立在理論基礎上的針對現行教材的教學設計和實踐.

二、APOS理論指導下 “銳角三角比的意義”教學設計

“銳角三角比”承接著中學階段平面幾何和函數這兩大體系中的重點問題——“相似三角形”和“三角函數”，同時它又是“圖形函數問題”和“函數圖形問題”的重要載體，數形結合的典范，故歷來是初三階段學習、考核的重點和難點.

在上海市教材中“銳角三角比的意義”大綱安排為2課時，作者立足于教材，結合APOS理論進行教學設計，以下是截取的部分教學片斷及說明：

教學片斷1：通過“行動”引入概念.

問題1：在圖1～3中，能否確定未知邊、角的值？怎樣求？

圖1

圖2

圖3

問題2：（1）若把上題中的特殊角改成一般角呢？如圖4～6，未知邊、角的值是否也唯一確定？

圖4

圖5

圖6

（2）如圖7，構造Rt△ABD和Rt△ADC.

圖7

在讓學生充分地自主思考和交流后，教師因勢利導，利用直角三角形給出銳角三角比的定義.

設計意圖：在教學實踐中我們常常發現有的學生雖能熟背概念卻不能用其解題，怎樣才能使概念教學更好地為解題服務呢？本設計從概念的引入出發做了一些嘗試.根據APOS理論，“行動”是概念學習的第一階段，通過操作讓學生體會概念產生的背景和意義將有助于加深概念的理解，并從本質上提高概念的應用能力.設計中的問題1和問題2圍繞概念的應用展開，同時又基于學生們熟悉的全等三角形和特殊角的直角三角形問題，合理的“腳手架”設置讓學生得以在一步一步的“行動”中發現問題的突破口，不僅使概念的給出顯得水到渠成，且為如何應用概念解決問題指明了方向.

總結歸納：如圖8，已知∠A的正弦（余弦、正切、余切）值，請同學們填空并總結公式a=______=______；c=________=_______；b=_______=________.

教學片斷3：反復操作實現內化.練習：

圖8

圖9

設計意圖：如何幫助學生在了解概念的基礎上更快、更全面地熟悉概念并用于解題？APOS理論認為反復操作是實現“行動的內化”（interiorization）的必要過程，因而此時引入一定數量的變式訓練恰逢其時.由于“行動”已漸漸為個體所熟悉并形成“程序”，給出的例題和練習亦須符合相應的心理特征才能達到最佳的教學效果.例1依托于銳角三角比基本概念，此時出現具有雙重作用：首先，其解決過程需要對概念的反向操作，即“程序的逆轉”，而這正是APOS理論中“程序”階段的心理特征之一，同時，例1的結論是之后解決三角形問題的基礎，相應的總結及鞏固練習有助于學生概念應用能力的提高.

教學片斷4：程序的壓縮與解壓縮.

思考并小結：同一個角的正切值和余切值有什么關系？正弦值和余弦值呢？

教學片斷5：針對“對象”的性質討論.

例3 已知：0°＜∠A＜∠B＜90°，則sinA_____sinB；cosA____cosB；tanA____tanB；cotA______cotB.

設計意圖：我們都知道提高解題能力的訣竅之一是把某些復雜的“程序”“壓縮”（encapsulation）為“對象”.APOS理論認為實現“壓縮”不僅需要個體主動、反復運用“程序”去實施相應的行動，解壓縮（de-encapsulate）的過程同樣十分重要.例2的解決需要反復實施“壓縮”和“解壓縮”的過程，它的操作有助于銳角三角比作為一個工具的形成.而一旦銳角三角比脫離了直角三角形作為獨立的“對象”出現，對其相關性質的討論可以讓學生從不同角度審視它，從而更深刻地理解它.在利用例2、例3得出結論的過程中，教師要引導學生主動探索并引起討論，最后通過總結幫助學生完成從感性認識到抽象概括的升華.

教學片斷6：程序的組合，納入知識體系，形成圖式.

思考題：1.sinα是方程3x2－7x+2=0的一個根，求tanα.

圖10

設計意圖：銳角三角比工具可以幫助我們解決大量函數、圖形等綜合性問題，但實現的前提是能進行程序的組合并把新的概念納入原有知識體系.APOS理論指出，概念需要在循環的過程中才能逐步納入已有的知識體系，形成心理圖式（見APOS理論模型圖，如圖11）.題1不僅把銳角三角比與一元二次方程結合，而且需要考慮到其作為對象的多種性質（取值范圍等）；題2則更是把概念直接納入了函數問題中，且需要考慮兩種不同的情況，問題本身不難，卻集中了幾何和函數的雙重背景，為將來函數圖像題和圖像函數題的解決打下伏筆.

圖11

三、APOS理論指導下概念教學的幾點建議

（1）在學習之初，通過“行動”幫助學生了解概念產生的意義和應用價值是APOS理論指導下概念教學的重要一環，而選擇好的問題讓學生操作則是成功的關鍵.同時，所謂“過猶不及”，好的問題也要結合時間和進程的合理控制，以保證后階段學習的順利進行.

（2）APOS理論給我們最重要的啟發之一便是概念教學必須遵循一定的心理學規律.忽視對學生學情的了解，一味貪多求難，只能“欲速則不達”，而循序漸進的教學設計才是最有利于學生牢固掌握知識和提高解題能力.

（3）圖式的形成是一個漸進的建構過程，要實現這一過程、對象階段的反復壓縮、解壓縮必不可少，好的例題能使練習更高效，從這一角度，傳統教學中的變式訓練在概念教學的某些階段具有其獨特的價值，理應得到合理繼承和發揚.

1.鮑建生，周超.數學學習的心理基礎和過程［M］.上海：上海教育出版社，2009.

2.上海市中小學（幼兒園）課程改革委員會.九年制義務教育課本·數學·九年級第一學期［M］.上海：上海教育出版社，2007.