例說編制數學題目的若干關注點

☉江南大學附屬實驗中學 錢云祥

在數學教學中，無論是課堂教學，還是單元測試，或是期中、期末考試，都離不開數學題目.關于數學題目的編制，許多一線教師雖然也在不時地做著相關的工作，但由于對相關理論的學習不夠，致使實際命題操作中常常會暴露出諸多問題.這既不利于對學生進行有效的訓練，也不利于對學生的學業水平進行科學的評價.基于這些思考，筆者形成此文，力圖通過對一些實際案例的剖析，與廣大一線教師一起透視數學題目編制中值得關注的若干要點，以期提高大家對數學題目編制的認識與理解.

一、不因“題小”而隨意

對于填空題、選擇題這樣的常見題型，不少老師往往認為這是小題目，大可不必仔細推敲，于是在實際編制中常常顯得過于隨意.

案例1：－2的相反數為_______，它的倒數為______.

案例2：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=4，BC=6，則當BD=____時，△ABD∽△DBC.

圖1

對于案例2中的問題，可以從兩個角度入手去加以修改彌補.方法1：增加題干條件“BD平分∠ABC”，以使條件充分；方法2：改變題目設計方案，修改為：“如圖1，在四邊形ABCD中，AB=4，BC=6，若△ABD∽△DBC，則BD=_________.”這樣，將結論與部分條件對換，從而使得條件充分.

從上述兩個案例可以看出，教師在編制數學題目時，切忌因題目“小”而不重視，編制數學題目中的點滴隨意，往往就會埋下禍根，或者造成歧義，或者導致錯題出現.

二、不因“可解”而收筆

在編制數學題目時，需要教師對所編制的題目仔細推敲，反復打磨，然而不少老師只停留于“可解”的層面，往往因為自己似乎做出了“答案”，于是就匆匆收筆.

圖2

圖3

案例3：如圖2，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=6，CD=5，∠B=40°，∠C=70°，求梯形ABCD的周長.

該題目所設置的問題是求梯形的周長.命題者預設了學生會添設如圖3所示的輔助線，當給出梯形ABCD中∠B、∠C的度數之后，恰好能構成等腰三角形DEC，于是不難求得EC=DE=AB.當給出AD、AB的長度之后，即能求出BC的長.為求梯形ABCD的周長，還需知道CD的長，于是命題者在題干中又補充了條件CD=5.表面上看，條件充分，解答無誤，但是本題卻存在一處科學性錯誤.我們不妨來分析△DEC，由∠DEC=40°、∠EDC=∠C=70°可知這個三角形的形狀被確定了，再加上EC=ED=6，其大小也被確定了.換句話說，由以上條件可知△DEC是一個形狀、大小都已確定的三角形——根據三角函數的相關知識，不難求得CD=12cos70°.因此，CD的長又怎能再隨意給定？也就是說，以上各項條件之間產生沖突.沖突造成的原因，是命題者在創設試題時，隨意添加條件所致.由此可見，編制數學題目，切忌為了表面的“可解”而不斷補充增加條件，切忌因為教師“能解”而認為題目編制大功告成.要知道，條件相互沖突的題目，本身就是錯題，又何談“可解”呢？

三、不為“求全”而拼湊

在數學題目的編制中，有些老師為了能在一道題中考查多個知識點，常常會把若干道題目進行組合，這本無可厚非.然而，為了過于“求全”而拼湊，則往往難以達成預設的考查目標，反而會適得其反，產生消極影響.

案例4：（某校九年級第二學期中考專題復習課的一道課外作業題）

圖4

（1）從鄰居處得知蟹苗的放養密度為3只/平方米，這下他犯愁了：得買多少只蟹苗呢？請你幫他算一算.

（2）秋天到了，老王看著長大的螃蟹，心里美滋滋的，他想估計螃蟹的總質量.于是，經高人指點，老王從池塘中隨意撈了20只螃蟹，稱得質量分別如下（單位：克）：

210 240 190 210 320 180 250 220 240 250

300 220 300 240 210 220 160 220 240 240

①螃蟹質量的眾數是__________克，平均每只質量為__________克；

②請你幫老王估計今年螃蟹的總質量（千克）.

（3）今年老王收入頗豐，他的膽子也大了起來，準備繼續養殖螃蟹，同時在正方形區域ABCD的兩邊各圍一片如圖5所示的正方形區域養鱔魚，如果鱔苗的放養密度為60條/平方米，你能再告訴老王需要買多少條鱔魚苗嗎？

圖5

（4）鱔魚苗放養成熟后，經測算，成年鱔魚一條重約30克.

①為了測算鱔魚的成活率，老王從池塘里捕上500條鱔魚做上標記，然后放回池塘里去，待帶標記的鱔魚完全混合于鱔魚后，再次捕上300條鱔魚，其中有標記的鱔魚有15條，請你幫老王計算一下鱔魚的成活率.（精確到1%）

②老王以12元/500克的價格將這些鱔魚出售后，心里總是覺得不踏實，不知這些鱔魚有沒有賺到錢，于是，他統計了養殖鱔魚的總支出（如表所示），請你幫他算一算盈虧情況.

購苗費用 3398元飼料費用 2520元特產稅 2480元雜費 1500元

（5）老王吸取了養鱔魚的經驗，開始關注歷年螃蟹銷售的市場行情了.由資料得知，從十月一日起的100天內，螃蟹的市場售價y1（單位：元/千克）與上市時間x（單位：天）的關系可用圖6中的一條線段表示；螃蟹的養殖成本y2（單位：元/千克）與上市時間x（單位：天）的關系是

圖6

①寫出y1與x之間的關系式；

②如果認定市場售價減去養殖成本為純收益，那么老王何時出售螃蟹收益最大？

這是道應用類綜合題，考查了圓中的相關計算、勾股定理的應用、相關統計量的計算、用樣本估計總體、用待定系數法求一次函數的解析式、二次函數的最值等知識點.盡管試題取材于現實生活，富有現實意義，但是這些內容在一道題目中一股腦兒地呈現出來，使得題目看上去十分龐雜臃腫，整道題目給人的感覺就是“到底有完沒完”.試想，面對這樣的題目，學生的心態究竟如何？

由此可見，為“求全”而拼湊的題目，一方面，在形式上沒有美感；另一方面，會給學生造成心理壓力，不利于學生良好學習品質的形成.

四、不為“求難”而刁難

在編制數學題時，不少老師總覺得似乎題目不帶點難度就不過癮，于是就刻意地編制了一些“難題”，實際效果如何呢？也許與命題者的初衷并不一致.

案例5：在四邊形ABCD中，O為AC、BD的交點，現有下列四個條件：①AD∥BC，②AB=CD，③OA=OC，④∠ABC=∠ADC.給出以下6種組合：（1）①②；（2）①③；（3）①④；（4）②③；（5）②④；（6）③④.其中，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的所有組合為（ ）.

A.（2）（3）B.（2）（3）（4）

C.（2）（3）（6）D.以上都不正確

顯然，組合（1）無法推得四邊形ABCD為平行四邊形，反例為“等腰梯形”；由組合（2）或（3）易證得四邊形ABCD為平行四邊形；至于其他的3種組合，對于絕大多數學生而言，很難判斷能否推得四邊形ABCD是否為平行四邊形，因為他們一方面很難想到具體的證明方法，另一方面也很難舉出反例.分析到這里，對比四個選項，發現它們都有可能是正確項.接下來怎么辦？難道是猜？顯然，這絕非命題者的本意.

事實上，組合（4）、（5）都無法推得四邊形ABCD是否為平行四邊形.反例分別如圖7、圖8所示.限于篇幅，具體說明略.

圖7

圖8

圖9

而組合（6），則可用反證法予以證明.如圖9，在四邊形ABCD中，有OA=OC，∠ABC=∠ADC，假設四邊形ABCD不是平行四邊形，則OB≠OD（否則由OA=OC、OB=OD可得四邊形ABCD是平行四邊形）.不妨設OB＞OD，則可在OB上截取OB′=OD，連接AB′、CB′，易證四邊形AB′CD為平行四邊形，從而得到∠AB′C=∠ADC.又因為∠ABC=∠ADC，所以∠AB′C=∠ABC.另一方面，由于∠AB′D＞∠ABD，∠CB′D＞∠CBD，故∠AB′D+∠CB′D＞∠ABD+∠CBD，即∠AB′C＞∠ABC.從而產生矛盾，所以假設“四邊形ABCD不是平行四邊形”錯誤，故四邊形ABCD是平行四邊形.

綜合以上分析，最后得出正確選項為“C”.不過，我們設身處地地換位思考，學生在獨立完成此題時，是否有能力用相應的方法來解答這道選擇題？如果不能，那么我們命制這樣的題目去訓練學生又有什么價值？編制題目讓學生進行訓練，其目的是為了發展學生，而非打擊學生學習數學的興趣和自信心.所以說，編制題目中的刻意“求難”，其實是刁難.

五、不為“情景”而變味

為體現數學的應用性，在編制數學題目時，命題者常常需要添加一定的問題情境.然而，若不能較好地理解與把握，則可能步入為情景而情景的怪圈，從而使得好好的數學題變了味.

案例6：某人從地下2樓乘電梯到地上8樓，共上升了________層樓.

仔細分析這道填空題，足見命題者在創設情景方面確實動了番腦筋.看似簡單的一道數學題，其答案為上升了9層樓，而非10層樓.考查了什么知識？是8比－2大幾嗎？不是！這道題頗有腦筋急轉彎的味道——不存在0樓.顯然，這道題作為數學題而言，價值不大，對學生的數學思維訓練毫無意義.學科性原則要求所命制的數學題，應該體現數學本身的學科知識和內涵，切不可為了情景而情景，結果過于嘩眾取寵而丟失了應有的數學味.

結語：編制數學題目，大有講究.好的題目，必然需要在人文性、學科性、趣味性、應用性、科學性、導向性等方面把握得當.科學地命題，既能加強對學生知識與技能的訓練，又能對學生的學習狀況進行測量與評價，即根據相對客觀與標準化的測量結果，結合一定的標準，教師可對學生的學習水平作出相應的評價.所以說，命題質量的高低，將直接影響教學的有效性與評價的科學性.為了提升題目的編制質量，教師確有必要加強這方面的自我修養，以更好地促進學生的發展.

1.鐘玖珍，龐彥福.初三數學總復習策略再探——談二輪復習的選題原則、方法和評價［J］.中學數學（下），2013（11）.

2.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

3.錢云祥.有效學業評價——初中數學練習測試命題問題診斷與指導 ［M］.長春：東北師范大學出版社，2011.