初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何直觀能力培養(yǎng)探析

☉江蘇省蘇州市相城區(qū)東橋中學(xué) 周海東

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出：“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想.”［1］當(dāng)前，幾何直觀正成為數(shù)學(xué)教學(xué)研究中生動(dòng)的、不斷增長(zhǎng)的而且迷人的課題.［2］正如荷蘭數(shù)學(xué)家弗萊登塔爾所說(shuō)：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們?cè)谡n題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦.”在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，充分利用幾何直觀來(lái)揭示研究對(duì)象的性質(zhì)和關(guān)系，使學(xué)生認(rèn)識(shí)幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的意義和作用，創(chuàng)造出屬于自己的學(xué)習(xí)方式，這是初中數(shù)學(xué)幾何直觀教學(xué)的核心所在.那么，如何理解幾何直觀？特別是在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何滲透幾何直觀的意識(shí)和能力呢？下面筆者就結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勛约旱睦斫馀c看法.

一、幾何直觀的含義及表現(xiàn)形式

對(duì)于幾何直觀，徐利治教授認(rèn)為：“幾何直觀是借助于見(jiàn)到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知.”［3］《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》則指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題.”簡(jiǎn)單的說(shuō)，幾何直觀就是借助于看到的（或想象出來(lái)的）幾何圖形的形象關(guān)系，對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間形式進(jìn)行直接感知、整體把握的能力.主要包括空間想象能力、直觀洞察能力和用“圖形語(yǔ)言”來(lái)思考問(wèn)題的能力.

借助幾何直觀，可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果.用最通俗的話(huà)說(shuō)幾何直觀，就是看圖想事，看圖說(shuō)理.在數(shù)學(xué)新課改中，幾何直觀被看成是貫穿數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的主要線(xiàn)索之一.在初中數(shù)學(xué)中，整式的乘除、一元二次方程的基本概念、直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的位置、已知變量的值求函數(shù)值、基本函數(shù)的概念與性質(zhì)、特殊三角函數(shù)、圓、點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)的學(xué)習(xí)，都離不開(kāi)幾何直觀.

幾何直觀是在直觀感知的感性基礎(chǔ)之上所形成的理性思考的結(jié)果，是學(xué)習(xí)者對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象的幾何屬性的整體把握和直接判斷，從幾何直觀的表現(xiàn)形式來(lái)看，幾何直觀主要表現(xiàn)為實(shí)物直觀、符號(hào)直觀、圖形直觀和替代物直觀四種形式.［4］

二、培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)缺形時(shí)少直觀”.幾何直觀是揭示現(xiàn)代數(shù)學(xué)本質(zhì)的有力工具，要培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，需要依托具體的數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容，需要具體落實(shí)在課程內(nèi)容、課堂教學(xué)細(xì)節(jié)之中.

（一）重視圖景體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力

中學(xué)數(shù)學(xué)中的空間想象能力主要是指：學(xué)生對(duì)客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析、抽象思考和創(chuàng)新的能力.初中學(xué)生往往缺乏生活經(jīng)驗(yàn)，因而對(duì)幾何圖形缺少直觀，缺少體驗(yàn).體驗(yàn)是一種圖景思維，不同于經(jīng)驗(yàn)，它不僅僅重視主體的心理結(jié)構(gòu)，而且在經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上更注重主體與客體合一的動(dòng)態(tài)建構(gòu).也就是說(shuō)，它是親身經(jīng)歷，是通過(guò)實(shí)踐來(lái)認(rèn)識(shí)周?chē)挛锏囊环N活動(dòng).對(duì)于初中學(xué)生而言，空間想象能力是在圖景體驗(yàn)的過(guò)程中逐步建立起來(lái)的.學(xué)生的圖景體驗(yàn)是他們發(fā)展空間想象能力的基礎(chǔ).初中數(shù)學(xué)課堂中常見(jiàn)的圖景體驗(yàn)途徑有生活經(jīng)驗(yàn)的再現(xiàn)，實(shí)物觀察活動(dòng)，操作活動(dòng)等.在這些活動(dòng)中，學(xué)生感知和體驗(yàn)空間與圖形的現(xiàn)實(shí)意義，初步體驗(yàn)數(shù)與形的聯(lián)系，逐步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.

1.進(jìn)行表象積累，增強(qiáng)感性認(rèn)識(shí)

我們知道一個(gè)人頭腦中舊形象的素材越多，構(gòu)成新形象的可能性就越大，想象能力也就越豐富，頭腦中舊形象的素材越少，想象能力也就越差，可見(jiàn)有效的表象積累是培養(yǎng)想象能力的關(guān)鍵.因此要讓學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)與生活經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生聯(lián)想，就必須通過(guò)表象積累來(lái)提高學(xué)生對(duì)幾何圖形的感性認(rèn)識(shí).比如：蘇科版八（下）圖形的相似中關(guān)于投影的教學(xué).中心投影，平行投影這些概念和學(xué)生的生活實(shí)際聯(lián)系比較密切，課堂上筆者引導(dǎo)學(xué)生去觀察日常生活當(dāng)中日光下的影子，燈光下的影子.這實(shí)際上就是一個(gè)物體和它的投影之間的關(guān)系.陽(yáng)光可以看成是平行投影，燈光，可以看成是中心投影了，這個(gè)點(diǎn)光源就是中心投影.通過(guò)表象的積累，也增強(qiáng)學(xué)生對(duì)投影的感性認(rèn)識(shí).有的時(shí)候我們成人把投影想的很復(fù)雜.其實(shí)對(duì)于初中學(xué)生來(lái)說(shuō)倒沒(méi)有那么復(fù)雜，這些概念，經(jīng)過(guò)“直觀”后，就很容易理解了.

2.構(gòu)建操作實(shí)驗(yàn)，獲得感官經(jīng)驗(yàn)

空間想象力的培養(yǎng)，僅靠觀察是不夠的，幾何直觀能力既然作為一種個(gè)體的感覺(jué)判斷能力，是需在不斷的動(dòng)手操作中去感受和體會(huì)的.也正因?yàn)槿绱耍诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生參與到課堂學(xué)習(xí)中，在活動(dòng)中來(lái)探究，在探究中獲得認(rèn)知、感受和體會(huì).教師還必須引導(dǎo)學(xué)生自己進(jìn)行獨(dú)立的操作實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，讓他們?nèi)ケ纫槐龋垡徽郏粢患簦匆黄础?huà)一畫(huà).通過(guò)視覺(jué)、觸覺(jué)、聽(tīng)覺(jué)等多種分析器官共同參與的操作活動(dòng)，驗(yàn)證一些原有的猜想或者產(chǎn)生一些新的發(fā)現(xiàn).這種“直觀”比老師的說(shuō)教有效得多.

3.適當(dāng)運(yùn)用多媒體演示，拓展空間想象能力

多媒體演示形象具體，聲色兼?zhèn)洌瑒?dòng)靜結(jié)合，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用，可以變抽象為具體，調(diào)動(dòng)學(xué)生各種感官協(xié)同作用，拓展學(xué)生的空間想象能力.由于條件的限制，我們不可能把所有想到的東西都帶到課堂上來(lái)，但我們可以事先把這些物體拍成照片或視頻，放入電腦，課上運(yùn)用多媒體來(lái)展示驗(yàn)證想象，體驗(yàn)想象的可靠性、正確性.尤其是一些學(xué)生很難體驗(yàn)或想象的動(dòng)態(tài)效果，我們可以通過(guò)動(dòng)畫(huà)設(shè)計(jì)來(lái)演示運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，變不可能為可能，通過(guò)圖、色、音和動(dòng)畫(huà)讓學(xué)生一目了然.運(yùn)用動(dòng)畫(huà)，結(jié)合多媒體綜合技術(shù)演示，拓展了學(xué)生的思維動(dòng)態(tài)想象空間.

（二）觀察與思考并重，培養(yǎng)學(xué)生的直觀洞察能力

幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生的直觀洞察能力非常重要，這種能力實(shí)質(zhì)上是對(duì)幾何圖形及其結(jié)構(gòu)、關(guān)系的想象和判斷.類(lèi)似于猜想，主要表現(xiàn)為靈感和頓悟.從某種意義上來(lái)說(shuō)，幾何教學(xué)中教師既要關(guān)注學(xué)生表征問(wèn)題的過(guò)程，更要關(guān)注表征之后的反思與頓悟.沒(méi)有反思與頓悟，學(xué)生可能獲得了幾何的方法，卻未必能獲得“幾何直觀”的能力.要培養(yǎng)學(xué)生的直觀洞察能力，要注意以下幾個(gè)方面：

1.要重視學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的訓(xùn)練

扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)是產(chǎn)生直覺(jué)的源泉，沒(méi)有深厚的功底，是不會(huì)迸發(fā)出直覺(jué)的思維，也就無(wú)法提高學(xué)生的直觀洞察力.因此，教學(xué)中要嚴(yán)格要求學(xué)生理解定義，熟練掌握?qǐng)D形的性質(zhì)和定理.

2.要注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理猜想

真正的科學(xué)探究應(yīng)是建立在思維的邏輯性和科學(xué)性基礎(chǔ)上的有效探究.而有效探究的實(shí)施前提是必須建立在提出符合邏輯性和科學(xué)性的合理猜想的基礎(chǔ)之上.正如牛頓所說(shuō)：“沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn).”猜想既是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的手段，又是發(fā)展學(xué)生直覺(jué)思維的有效途徑，還是學(xué)生掌握探求知識(shí)、方法的必要手段.在教學(xué)中，我們一方面要注意保護(hù)學(xué)生既有的猜想和直覺(jué)能力，另一方面要注意引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)合理猜想的方法，并不斷使他們的直觀洞察能力得到發(fā)展.在教學(xué)中，還要注意引導(dǎo)學(xué)生大膽設(shè)問(wèn)；引導(dǎo)學(xué)生敢于發(fā)表自己的見(jiàn)解；引導(dǎo)學(xué)生充分活動(dòng).讓學(xué)生通過(guò)猜想來(lái)“觸摸”相關(guān)的研究對(duì)象.

3.要注意觀察與思考并重

直觀洞察力的產(chǎn)生要依賴(lài)于對(duì)幾何圖形全面及本質(zhì)的把握.沒(méi)有觀察就沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，更不會(huì)有創(chuàng)造.但觀察必須與思考相結(jié)合，沒(méi)有思考的觀察就不是真正意義的觀察.在觀察之前，要給學(xué)生明確且具體的目的、任務(wù)和要求.觀察要細(xì)致，思考需用心，這樣才能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題.

（三）用“圖”說(shuō)話(huà)，培養(yǎng)學(xué)生用“圖形語(yǔ)言”來(lái)思考問(wèn)題的能力

希爾伯特在《直觀幾何》中曾談到：“圖形可以幫助刻畫(huà)和描述問(wèn)題，一旦用圖形把一個(gè)問(wèn)題描述清楚，就有可能使這個(gè)問(wèn)題變得直觀、簡(jiǎn)單.”用圖形“說(shuō)話(huà)”，用圖形描述問(wèn)題，用圖形討論問(wèn)題，這是一種基本的數(shù)學(xué)素質(zhì).那么，在教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生用“圖形語(yǔ)言”來(lái)思考問(wèn)題的能力呢？

1.重視圖感訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的讀圖、作圖能力

幾何直觀在本質(zhì)上是一種通過(guò)圖形所展開(kāi)想象的能力，它與許多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容緊密相連.因此，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)重視學(xué)生“圖感”的訓(xùn)練.在日常的教學(xué)中，要幫助學(xué)生從小養(yǎng)成良好的畫(huà)圖習(xí)慣.在教學(xué)中要通過(guò)多種途徑和方式使學(xué)生真正體會(huì)畫(huà)圖對(duì)理解概念、尋求解決思路帶來(lái)的益處.要求學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)能畫(huà)圖的盡量畫(huà)圖，將相對(duì)抽象的思考對(duì)象“圖形化”，盡量把數(shù)學(xué)的過(guò)程變得直觀，直觀了就容易展開(kāi)形象思維.作為教師要從思想上認(rèn)識(shí)到它的重要性，并把它當(dāng)作是最基本的能力去培養(yǎng)學(xué)生.

2.重視三種幾何語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生用圖形說(shuō)話(huà)的能力

幾何語(yǔ)言的基本形式有：圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言.這三種語(yǔ)言在幾何中是并存的，通常又是相互滲透和轉(zhuǎn)化的.由于這三種語(yǔ)言的特點(diǎn)不同，在幾何教學(xué)中所發(fā)揮的作用也不同.圖形語(yǔ)言形象、直觀，能幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題和理解問(wèn)題.因此，在例題、習(xí)題的講解中，要訓(xùn)練學(xué)生學(xué)會(huì)把文字語(yǔ)言符號(hào)化，已知條件圖形化，學(xué)會(huì)用圖形說(shuō)話(huà).為了讓學(xué)生能更好地將題和圖有機(jī)統(tǒng)一，教學(xué)中可以采用各種不同的符號(hào)將已知條件在圖形中表示出來(lái)，使條件更加直觀.

3.重視數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生用“圖形”思考問(wèn)題

數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要思維原則之一.幾何直觀與數(shù)學(xué)的內(nèi)容緊密相連.一些重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念，例如數(shù)軸、函數(shù)，高中的解析幾何，向量等，都具有“雙重性”，既有“數(shù)的特征”，也有“形的特征”.數(shù)形結(jié)合就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象、表象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀.

分析：這道題如果用代數(shù)方法解決相當(dāng)困難，但我們可以用幾何的方法將這道題直觀出來(lái).

解：如圖1，設(shè)P（x，0）、E（2，2）、F（3，1），則

圖1

所以y=PE+PF.

因此求y的最小值，實(shí)質(zhì)是求（PE+PF）的最小值.

點(diǎn)評(píng)：這樣我們就將數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的幾何圖形結(jié)合了起來(lái).在應(yīng)用轉(zhuǎn)化策略解決問(wèn)題的同時(shí)，巧妙借助幾何直觀，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題，可以培養(yǎng)學(xué)生初步的幾何直觀能力.

三、培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的誤區(qū)

培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力還要注意以下幾個(gè)容易被我們忽視的誤區(qū).

1.為了直觀而直觀

在課堂上引進(jìn)直觀手段的目的是為了使學(xué)生擺脫形象思維，最終形成抽象思維.當(dāng)運(yùn)用直觀手段在幫助學(xué)生形成對(duì)知識(shí)的信任，形成一定的感性經(jīng)驗(yàn)后，我們就要使學(xué)生擺脫它，而將學(xué)生的思維引導(dǎo)到抽象思維上去.然而，在實(shí)際教學(xué)中我們常常會(huì)遇到這樣兩種情況：一是直觀教具以其某一個(gè)細(xì)節(jié)束縛住了學(xué)生的注意力，二是直觀的結(jié)論學(xué)生已知，根本沒(méi)有探究的興趣.這兩種情形下幾何直觀不僅沒(méi)有幫助反而妨礙了學(xué)生去思考老師本來(lái)想引導(dǎo)他們?nèi)ニ伎嫉某橄笳胬?所以說(shuō)，幾何直觀應(yīng)當(dāng)使學(xué)生把注意力放在最主要、最本質(zhì)的東西上去.雖然直觀教學(xué)可以收到事半功倍之效，但是如果濫用直觀手段，也會(huì)阻礙學(xué)生思維的發(fā)展.因此，教師教學(xué)中需注意不要為了直觀而引進(jìn)直觀.

2.要注意誤差的干擾

在運(yùn)用幾何直觀的實(shí)際教學(xué)中，許多學(xué)生往往由于畫(huà)圖不準(zhǔn)確、討論不全面等原因?qū)е鲁鲥e(cuò)，或有一定的誤差干擾，失去數(shù)學(xué)問(wèn)題原有的科學(xué)性與嚴(yán)密性，甚至不能得出正確結(jié)論.比如，在講授黃金分割時(shí)，為了說(shuō)明課本的寬與長(zhǎng)滿(mǎn)足黃金比，教材設(shè)計(jì)了“量一量”這一環(huán)節(jié)，你若讓學(xué)生真的量一量，問(wèn)題就出來(lái)了，寬與長(zhǎng)的比各種答案都有，而且與0.618相差甚遠(yuǎn).其實(shí)，原因就在于誤差的干擾，由于學(xué)生測(cè)量工具或測(cè)量方法的精確度有限，導(dǎo)致產(chǎn)生了較大的誤差，使正確結(jié)論無(wú)法呈現(xiàn)，反而干擾了學(xué)生的思維.

3.要注意直觀背后的數(shù)學(xué)理性

直觀并不只是為了讓學(xué)生獲得直觀的感受，其最終目的是為了引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去進(jìn)行理性思考，通過(guò)抽象提升得出數(shù)學(xué)結(jié)論.美國(guó)魔術(shù)師保羅·卡瑞曾經(jīng)提出這樣的一個(gè)問(wèn)題：如圖2是這個(gè)正方形可以按圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)分割成五塊幾何圖形，剪開(kāi)后重新拼接成圖3，奇怪，怎么又多出了一個(gè)洞！這次斜線(xiàn)處并無(wú)疊合，少掉的一個(gè)單位面積哪里去了呢？［5］

圖2

圖3

從直觀來(lái)看，這個(gè)問(wèn)題中的圖2和圖3是矛盾的，但其背后隱藏著的數(shù)學(xué)理性卻告訴我們，其實(shí)左右兩塊深灰色色塊和淺灰色色塊并不全等，這就不是能直觀看出來(lái)的了，需要依據(jù)計(jì)算才能說(shuō)明.因此，我們?cè)谝胫庇^的時(shí)候要注意直觀背后的數(shù)學(xué)理性.

幾何直觀的培養(yǎng)不是一朝一夕的事，在教學(xué)中，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，采用多種教學(xué)手段，教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多種感官積極主動(dòng)地參與到教學(xué)中來(lái)，協(xié)調(diào)活動(dòng)，促使學(xué)生對(duì)幾何形體有深刻的認(rèn)識(shí)，使幾何形體在頭腦中從“簡(jiǎn)約”走向“豐盈”，這樣才能更有效地培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直觀.

1.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.秦德生，孔凡哲.關(guān)于幾何直觀的思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2005（10）.

3.徐利治.談?wù)勎业囊恍?shù)學(xué)治學(xué)經(jīng)驗(yàn)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2000（5）.

4.孔凡哲，史寧中.關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式［J］.課程教材教法，2012（7）.

5.欺騙眼睛的幾何問(wèn)題.http：//learning.sohu.com/20060208/n241706703.shtml.