從幾何證法到向量解法

文/李哲

問題：如圖1,在Rt△ABC中，∠C=90°,點M在BC上，且BM=AC,N在AC上，且AN=MC，AM與BN相交于P.

求證：∠BPM=45°.（2006年杭州市“求是杯”競賽題）

證法一：如圖2，過M點作MH平行于AN，且等于AN；

則四邊形AMHN是平行四邊形，AM平行且等于HN，

∠MHN=∠MAN；

又∵BM=AC，MH=AN=MC，

∴Rt△BMH≌Rt△ACM，

∴∠MHB=∠AMC，BH=AM；

又∵∠MAN+∠AMC=90°，

∴∠MHN+∠MHB=90°,

又∵BH=AM=HN；∴△BHN是等腰直角三角形.

∴∠HNB=45°；又∵AM//NH，∴∠BPM=∠BNH=45°.

證法二：建立坐標用向量方法來解此題，更顯得方便快捷：

如圖3，把C點放在坐標原點，則

A（0，b），B（a，0），

∵MB=A，C=b，CM=A，N=a-b，

CN=A，C-A，N=b-（a-b）=2b-a，

∴M（a-b，0），N（0，2b-a）

■=（b-a，b），■=（-a，2b-a）

∴根據兩個向量的夾角計算公式：

cos∠MPB=■

=■

=■

∴∠MPB=45°.

由此可見，初中階段不宜挖得太難，注重對學生數學思維方法的培養才是重中之重，隨著認知水平的不斷提高，復雜的問題也就變得容易多了.

編輯 魯翠紅

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問題：如圖1,在Rt△ABC中，∠C=90°,點M在BC上，且BM=AC,N在AC上，且AN=MC，AM與BN相交于P.

求證：∠BPM=45°.（2006年杭州市“求是杯”競賽題）

證法一：如圖2，過M點作MH平行于AN，且等于AN；

則四邊形AMHN是平行四邊形，AM平行且等于HN，

∠MHN=∠MAN；

又∵BM=AC，MH=AN=MC，

∴Rt△BMH≌Rt△ACM，

∴∠MHB=∠AMC，BH=AM；

又∵∠MAN+∠AMC=90°，

∴∠MHN+∠MHB=90°,

又∵BH=AM=HN；∴△BHN是等腰直角三角形.

∴∠HNB=45°；又∵AM//NH，∴∠BPM=∠BNH=45°.

證法二：建立坐標用向量方法來解此題，更顯得方便快捷：

如圖3，把C點放在坐標原點，則

A（0，b），B（a，0），

∵MB=A，C=b，CM=A，N=a-b，

CN=A，C-A，N=b-（a-b）=2b-a，

∴M（a-b，0），N（0，2b-a）

■=（b-a，b），■=（-a，2b-a）

∴根據兩個向量的夾角計算公式：

cos∠MPB=■

=■

=■

∴∠MPB=45°.

由此可見，初中階段不宜挖得太難，注重對學生數學思維方法的培養才是重中之重，隨著認知水平的不斷提高，復雜的問題也就變得容易多了.

編輯 魯翠紅

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問題：如圖1,在Rt△ABC中，∠C=90°,點M在BC上，且BM=AC,N在AC上，且AN=MC，AM與BN相交于P.

求證：∠BPM=45°.（2006年杭州市“求是杯”競賽題）

證法一：如圖2，過M點作MH平行于AN，且等于AN；

則四邊形AMHN是平行四邊形，AM平行且等于HN，

∠MHN=∠MAN；

又∵BM=AC，MH=AN=MC，

∴Rt△BMH≌Rt△ACM，

∴∠MHB=∠AMC，BH=AM；

又∵∠MAN+∠AMC=90°，

∴∠MHN+∠MHB=90°,

又∵BH=AM=HN；∴△BHN是等腰直角三角形.

∴∠HNB=45°；又∵AM//NH，∴∠BPM=∠BNH=45°.

證法二：建立坐標用向量方法來解此題，更顯得方便快捷：

如圖3，把C點放在坐標原點，則

A（0，b），B（a，0），

∵MB=A，C=b，CM=A，N=a-b，

CN=A，C-A，N=b-（a-b）=2b-a，

∴M（a-b，0），N（0，2b-a）

■=（b-a，b），■=（-a，2b-a）

∴根據兩個向量的夾角計算公式：

cos∠MPB=■

=■

=■

∴∠MPB=45°.

由此可見，初中階段不宜挖得太難，注重對學生數學思維方法的培養才是重中之重，隨著認知水平的不斷提高，復雜的問題也就變得容易多了.

編輯 魯翠紅

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