淺談“初中三角函數(shù)概念”的教學設計
2014-07-25 22:22:45文/賈躍華
新課程·中旬 2014年5期
文/賈躍華
在初中，函數(shù)的概念是指：在某個變化過程中，有兩個變量x、y，如果對x取的每一個值，y都有唯一確定的值和它對應，則稱y是x的函數(shù)，其中x為自變量。但很多學生學完三角函數(shù)后，只知道在直角三角形中，某一銳角A的正弦sinA=■，余弦cosA=■，正切tanA=■，但如果問學生為什么稱為三角函數(shù)，其自變量是哪個，因變量是哪個，可能說不清楚，因此，教學中有必要從函數(shù)的角度，從以下幾方面加以引導，去認識三角函數(shù)的本質(zhì)。
一、從實際生活出發(fā)，初步感受“角與比值”的關(guān)系
活動1：右圖中哪個坡
更陡？它跟什么有關(guān)？
結(jié)論：跟傾斜角的大小
有關(guān)。
活動2：下列哪組坡更陡？它跟什么有關(guān)？
結(jié)論：跟比值■與■的大小有關(guān)。
初步感受：（1）比值越大，傾斜角就越大，坡就越陡。
（2）隱約感受到比值與角存在某種關(guān)系。
二、探究1：當角一定時，比值有無變化
問題1：如何確定右圖的傾斜程度？
生1：可通過測量BC與AC的長度，再算出它們的比，來說明臺階的傾斜程度。
生2：可通過測量B1C1與AC1的長度，再算出它們的比，來說明臺階的傾斜程度。
問：你同意她們的看法嗎？為什么？
（可以通過三角形相似，證明它們是等的）
（推廣）
問題2：一般地，如果銳角A的大小確定，我們可以作出無數(shù)個以A為一個頂點的直角三角形（如圖），那么圖中：
■=■=■=···成立嗎？為什么？
結(jié)論：如果一個直角三角形的一個銳角的大小確定，那么這個銳角的對邊與這個角的鄰邊的比值也確定。
（說明：比值與直角三角形的大小無關(guān)）
三、探究2：當角變化時，比值有無變化
問題：如右下圖，當角由∠CAB變?yōu)椤螩AD時，比值有變化嗎？
結(jié)論：比值隨角變大而變大，比值隨角變小而變小。
四、歸納發(fā)現(xiàn)
（1）比值隨角的變化而變化；
（2）當角確定時，比值也隨之確定。
問1：這點像什么？
（函數(shù)）
問2：哪個是自變量？哪個是因變量？
（角是自變量，比值是因變量）
五、引出：正切函數(shù)概念
在直角三角形中，我們將∠A的對邊與它的鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA
即tanA=■=■
其中，∠A是自變量，比值是因變量，是∠A的函數(shù)。
類似：可得出正弦、余弦的概念。
編輯 馬燕萍
endprint
在初中，函數(shù)的概念是指：在某個變化過程中，有兩個變量x、y，如果對x取的每一個值，y都有唯一確定的值和它對應，則稱y是x的函數(shù)，其中x為自變量。但很多學生學完三角函數(shù)后，只知道在直角三角形中，某一銳角A的正弦sinA=■，余弦cosA=■，正切tanA=■，但如果問學生為什么稱為三角函數(shù)，其自變量是哪個，因變量是哪個，可能說不清楚，因此，教學中有必要從函數(shù)的角度，從以下幾方面加以引導，去認識三角函數(shù)的本質(zhì)。
一、從實際生活出發(fā)，初步感受“角與比值”的關(guān)系
活動1：右圖中哪個坡
更陡？它跟什么有關(guān)？
結(jié)論：跟傾斜角的大小
有關(guān)。
活動2：下列哪組坡更陡？它跟什么有關(guān)？
結(jié)論：跟比值■與■的大小有關(guān)。
初步感受：（1）比值越大，傾斜角就越大，坡就越陡。
（2）隱約感受到比值與角存在某種關(guān)系。
二、探究1：當角一定時，比值有無變化
問題1：如何確定右圖的傾斜程度？
生1：可通過測量BC與AC的長度，再算出它們的比，來說明臺階的傾斜程度。
生2：可通過測量B1C1與AC1的長度，再算出它們的比，來說明臺階的傾斜程度。
問：你同意她們的看法嗎？為什么？
（可以通過三角形相似，證明它們是等的）
（推廣）
問題2：一般地，如果銳角A的大小確定，我們可以作出無數(shù)個以A為一個頂點的直角三角形（如圖），那么圖中：
■=■=■=···成立嗎？為什么？
結(jié)論：如果一個直角三角形的一個銳角的大小確定，那么這個銳角的對邊與這個角的鄰邊的比值也確定。
（說明：比值與直角三角形的大小無關(guān)）
三、探究2：當角變化時，比值有無變化
問題：如右下圖，當角由∠CAB變?yōu)椤螩AD時，比值有變化嗎？
結(jié)論：比值隨角變大而變大，比值隨角變小而變小。
四、歸納發(fā)現(xiàn)
（1）比值隨角的變化而變化；
（2）當角確定時，比值也隨之確定。
問1：這點像什么？
（函數(shù)）
問2：哪個是自變量？哪個是因變量？
（角是自變量，比值是因變量）
五、引出：正切函數(shù)概念
在直角三角形中，我們將∠A的對邊與它的鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA
即tanA=■=■
其中，∠A是自變量，比值是因變量，是∠A的函數(shù)。
類似：可得出正弦、余弦的概念。
編輯 馬燕萍
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在初中，函數(shù)的概念是指：在某個變化過程中，有兩個變量x、y，如果對x取的每一個值，y都有唯一確定的值和它對應，則稱y是x的函數(shù)，其中x為自變量。但很多學生學完三角函數(shù)后，只知道在直角三角形中，某一銳角A的正弦sinA=■，余弦cosA=■，正切tanA=■，但如果問學生為什么稱為三角函數(shù)，其自變量是哪個，因變量是哪個，可能說不清楚，因此，教學中有必要從函數(shù)的角度，從以下幾方面加以引導，去認識三角函數(shù)的本質(zhì)。
一、從實際生活出發(fā)，初步感受“角與比值”的關(guān)系
活動1：右圖中哪個坡
更陡？它跟什么有關(guān)？
結(jié)論：跟傾斜角的大小
有關(guān)。
活動2：下列哪組坡更陡？它跟什么有關(guān)？
結(jié)論：跟比值■與■的大小有關(guān)。
初步感受：（1）比值越大，傾斜角就越大，坡就越陡。
（2）隱約感受到比值與角存在某種關(guān)系。
二、探究1：當角一定時，比值有無變化
問題1：如何確定右圖的傾斜程度？
生1：可通過測量BC與AC的長度，再算出它們的比，來說明臺階的傾斜程度。
生2：可通過測量B1C1與AC1的長度，再算出它們的比，來說明臺階的傾斜程度。
問：你同意她們的看法嗎？為什么？
（可以通過三角形相似，證明它們是等的）
（推廣）
問題2：一般地，如果銳角A的大小確定，我們可以作出無數(shù)個以A為一個頂點的直角三角形（如圖），那么圖中：
■=■=■=···成立嗎？為什么？
結(jié)論：如果一個直角三角形的一個銳角的大小確定，那么這個銳角的對邊與這個角的鄰邊的比值也確定。
（說明：比值與直角三角形的大小無關(guān)）
三、探究2：當角變化時，比值有無變化
問題：如右下圖，當角由∠CAB變?yōu)椤螩AD時，比值有變化嗎？
結(jié)論：比值隨角變大而變大，比值隨角變小而變小。
四、歸納發(fā)現(xiàn)
（1）比值隨角的變化而變化；
（2）當角確定時，比值也隨之確定。
問1：這點像什么？
（函數(shù)）
問2：哪個是自變量？哪個是因變量？
（角是自變量，比值是因變量）
五、引出：正切函數(shù)概念
在直角三角形中，我們將∠A的對邊與它的鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA
即tanA=■=■
其中，∠A是自變量，比值是因變量，是∠A的函數(shù)。
類似：可得出正弦、余弦的概念。
編輯 馬燕萍
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