不同權矢量下水聲低頻相控垂直陣遠程探測性能的研究

李海峰馬 力 曾 娟 劉海軍 彭大勇 趙文耀

(中國科學院水聲環境特性重點實驗室 北京 100190)

1 引言

水聲低頻相控線陣是“單模(單號簡正波)”激發的關健硬件設備之一，是伴隨這一新概念性技術而生的新工具。通過開環或閉環算法控制相控陣單元的幅度及延遲，經聲波相互疊加，可形成穩定的單模聲場或有一定指向的多模聲場，實現較高能效比的遠程目標探測。現有的相控陣研究多集中在雷達方面，已經非常成熟;在醫療超聲領域也有近三十年的研究歷史;在淺海水聲學方面，利用相控陣[1，2]進行單模激發的理論、實驗與應用研究才剛起步。

自從上世紀70年代Bucker和Williams把簡正波理論(normalmode)[3]引入水聲傳播聲場計算以來，水聲傳播理論得到了飛速的發展，特別是淺海聲傳播的簡正波理論是非常重要的，加之現在聲納主要向低頻發展，更顯簡正波理論的重要性。八十年代美國的水聲專家 Clay和 Huang[4]以及Gazanhes和Garnier[5]分別在實驗室水槽里進行了相控陣激發單號簡正波(單模)的試驗，采用高頻聲源，反饋陣于近場，得到了很好的試驗結果。2008 年，2010 年俄羅斯學者[6，7]利用小孔徑垂直陣，結合空間濾波技術仿真研究垂直陣激發低號簡正波。在國內，中國科學院聲學研究所首先解決了相控陣寬帶匹配[8]和一致性差問題，研制了用于淺海低頻的相控垂直陣，并進行激發單號簡正波的實驗，取得了非常好的效果。經過近十年的理論與試驗研究，在近距離上，單號模(簡正波1號，2號，3號)閉環激發能量比達到95%以上，開環激發能量比達到90%以上，形成了一系列相控陣權矢量近場(反饋距離＜3倍海深)控制算法。然而，利用相控陣進行遠程探測時，如何選擇所需的發射權矢量還缺乏深入的研究;對如何與常規主動聲納進行性能比較以及應用什么樣的評估準則還有待研究。

前期的理論研究與試驗工作同時表明，只要不超過單個相控陣陣元的發射極限，通過權矢量能夠將相控線陣聲納與傳統主動聲納統一起來。結合簡正波理論與信號估計檢測理論，本文將給出低頻相控陣的淺海遠程傳播模型和性能評估方法。評價相控陣參數估計性能理論上有許多這樣的限，本文采用參數估計方差下限即 Cramer－Rao界(即CRB)。在國外，文獻[9－11]報導了已完成的相似工作。2001 年，Aleksandar[9]基于雷達(聲納)目標模型，從純數學角度推導有源陣參數估計方差下限。1996年，Swingler[10]利用 CRB 評估兩緊鄰目標到達波方位估計性能。2011年，Saurav[11]研究利用最大信息矩陣設計方位估計最優陣形。在本文，首先推導相控陣為聲源的聲納目標模型，其次，利用信息矩陣，建立參數估計CRB與權矢量關系式，最后，在輸入相同能量條件下，仿真比較不同權矢量遠場控制效果。首先依據簡正波理論推導相控垂直陣聲源遠程傳播模型，建立包含垂直陣權矢量的聲納目標模型;結合經典估計理論，推導復包絡數據的回波時延和多普勒的Fisher矩陣，然后計算參數估計Cramer－Rao界;得到相控陣權矢量與目標參數估計CRB之間的關系，在此基礎上，結合相控陣總能量一定條件，仿真對比分析相控陣三種工作模式下常規聲納(單個陣元發射)、全1(陣等幅度發射)、單號模相控(1，2，3號模加權發射)的遠程探測參數估計性能。

2 理論推導

本節從簡正波理論推導相控垂直陣遠程傳播模型，獲得簡諧點聲源回波信號的頻域表示后反付立葉變換(FT)，推導包含發射權矢量的聲納目標模型。結合經典復數據估計理論，借助Fisher信息矩陣，推導統一在權矢量下相控陣距離估計與多普勒頻移估計方差理論下限。由于采取的是相控陣不同加權矢量發射和垂直水聽器陣接收，本文僅限于討論目標距離與多普勒頻移估計問題。

2.1 相控陣簡正波傳播模型

在水平分層的海洋環境中，以 e－iωt形式作振動的簡諧點聲源所激發的聲場被表示為(忽略時間因子 e－iωt)

式中z為場點的深度，r聲源的水平距離，z0為聲源深度，ψm是簡正波本征函數，H(1)0(·)是第一類零階Hankel函數，km為本征值。如果水平距離遠大于海深h，那么p(r，z)表示成有限個簡正波的和，如下式:

其中PR是式中可忽略的部分。

簡正波方程的解是一個復雜的特征值問題，KRAKEN方法采用有限差分方法求解方程，可以得到快速精確的離散解。已知海洋環境參數(聲速剖面、海底海面聲學參數)和點源的位置，聲源的頻率ω0，利用KRAKEN聲場計算程序可以計算出單頻點水聲信道簡正波本征函數ψm和本征值km。

對于一條沿深度分布N元低頻相控垂直線陣，其所激發的單頻聲場被表示為:

式中wn為相控陣各陣元發射系數，將式(3)中各項寫成矩陣形式，得到距低頻相控線陣水平距離r，接收深度zl的聲場表示為

其中 Q=[q1q2… qN]，W=[w1w2… wN]T，運算符T為轉置運算符，Q 里面元素 qn=。這樣，相控陣激發頻率為ω0的單頻信號，在聲場中點(r，zl)的頻率響應值為

上式中考慮的是簡諧點聲源 S(ω)=δ(ω－ω0)。假設在(r，zl)處有目標，則在接收信號處(0，zk)收到目標回波信號，假設目標反射對信號頻譜特性沒有發生改變，回波經過接收信道響應p(r，zk，zl)，反射波在接收點zk的信號頻譜為

需要指出，陣聲納的發射信號，可以通過權矢量W的幅度和延遲來控制相干疊加或消穩，形成穩定的同向相加聲場，減少在正向信道中衰減嚴重的能量激發，并使照射到目標上能量盡可能大(即提高探測目標入射波強度)，這對遠程目標探測是非常有意義的。通過權矢量W的不同取值，還可以討論常規主動聲納，陣元全1發射和單模發射之間的能效，評估其優劣。選擇相控陣聲納能效最優的發射權矢量Wopt也是需要研究的問題，本文暫不討論。

2.2 參數估計的CRB

對相控陣聲納遠程探測距離的無偏估計量的方差確定一個下限，這種性能評估方法提醒我們不可能求得方差小于下限的無偏估計量，這在信號處理的可行性研究中是常用的。存在許多的這樣的限(McAulay and Hofstetter 1971，Kendall and Stuart 1979，Seidman 1970，Ziv and Zakai 1969)，其中Cramer－Rao限(CRB)最容易確定。利用參數估計方差下限(CRB)，評估相控陣不同權矢量遠程探測參數估計方差特性，首先要建立CRB與權矢量關系式，具體推導見附錄。開始推導前，對式(6)反FT變換轉化為時域信號，提取時域信號復包絡，并考慮加性噪聲，得到經目標反射接收到復基帶信號為:

其中x=Q(r，zl)W·TS·qk為接收信號復包絡幅度，τ為接收信號時延，ωD為接收信號多普勒頻移，e(t)為加性噪聲，式(7)為聲納(雷達)目標模型。從附錄式(A7)得相控陣權矢量與時延估計與多普勒估計CRB關系式如下:

由式(A7)可知，CRB(υ)可以簡單分成兩部分:(1)為回波信號幅度部分和噪聲;逆矩陣為信號形式相關得成反比，這樣就確立了相控垂直陣權矢量W與參數估計方差下限之間的理論關系。

由上面分析可知，通過提高入射聲強，理論上能夠使目標參數估計的方差下限降低。然而對于主動聲納來說，最大聲源級是受限的，也就是說，主部分，隱含模糊度函數概念。對于如何選擇發射信號的形式的第二部分，這里暫不討論。由式(A7)可動聲納發射功率的增加并非無止境的(聲空化、低頻單換能器熱極限以及匹配網絡效率等限制)。多個陣元空間成陣最大功率發射能解決這個問題，但本文并不討論。本文討論的是在不超過單個換能器聲源極限條件下，消耗相同能量條件下，實現最優的參數估計。用參數表示為WWH=C≤Ps下相控陣的參數估計性能。

3 仿真結果

仿真環境為:水深32.5 m，水中聲速1520 m/s。海底密度 1.8g/cm3，聲速 1680 m/s，縱波衰減1 dB/λ，信號為單頻脈沖信號。間距為1.5 m的21元相控陣，第一個換能器布于水下1.5 m，最后一個位于水下31.5 m。就近布放間距1.0 m的32元垂直水聽器陣，第一個距水面1 m，最后一個在水下32 m。在距離相控陣10 km處放置水聲應答器模擬目標反射，應答器增益為0 dB。中心頻率為600 Hz時，簡正波號數為17，頻率900 Hz時，簡正波號數為25，模擬環境噪聲為高斯白噪聲，環境參數示意圖如圖1所示。

圖1 仿真聲場環境示意圖Fig.1 Schematic diagram of sound field simulating environment

仿真過程中，先根據KRAKEN聲場計算程序計算出簡正波本征函數ψm和本征值km，然后利用式(8)計算不同目標深度，垂直水聽陣接收信號形式，比較相控陣相同輸入能量條件下，權矢量為單模(1，2，3號模)，全1和單個陣元模式下接收回波的強度。選取相控陣發射系統總能量C為1，相控陣陣元間一致性完好，此時全1發射權矢量為為N×1列1矩陣;對于單模發射，ψ(z)為本征函數沿深度采i樣，i=1，2，3;對于單個換能器權矢量為單個 1，并選取深度分別為上(9 m)、中(18 m)、下(27 m)三個位置相控陣陣元加權系數為1，其它陣元為0，權矢量記為W4、W5、W6進行仿真比較。

相控陣各種權矢量發射模式具有相同的目標回波特性，所以在利用簡正波分解時，只分析了反射目標處虛擬垂直水聽器陣接收的入射聲場特性，討論不同權矢量發射下接收聲場強度。分別選擇目標位置為10 km、20 km、30 km，兩種頻率 600 Hz、900 Hz仿真計算接陣得到的幅度歸一化聲能分布(以不同接收聲能中，最大值作歸一，仿真中沒有指明具體信噪比，只指出在相同噪聲級條件下，相控陣不同權矢量發射下，接收的信號分布)如圖2－7所示，圖中圖例為W0:權矢量為W0的全1模式;W1:權矢量為W1的1號模模式;W2:權矢量為W2的2號模模式;W3:權矢量為W3的3號模模式;W4:位于9 m深度單陣元模式，W5:位于18 m深度單陣元模式;W6:位于27 m深度單陣元模式。對W0相控陣發射模式的權矢量進行簡正波分解，得到600 Hz、900 Hz，1－5 號模的能量系數如表1所示，總能量為1。

圖2 接收陣10 km處，600 Hz歸一化聲能Fig.2 Receiving normalized acoustical energy distribution of 600Hz at 10km

表1 全1發射權矢量簡正波分解1號-5號模能量Table 1 The normalmode decom position of W0

圖3 接收陣20 km處，600 Hz歸一化聲能Fig.3 Receiving normalized acoustical energy distribution of600 Hz at20 km

圖4 接收陣30 km處，600 Hz歸一化聲能Fig.4 Receiving normalized acoustical energy distribution of600 Hz at30 km

圖5 接收陣10 km處，900 Hz歸一化聲能Fig.5 Receiving normalized acoustical energy distribution of900 Hz at10 km

圖6 接收陣20 km處，900 Hz歸一化聲能Fig.6 Receiving normalized acoustical energy distribution of900 Hz at20 km

圖7 接收陣30 km處，900 Hz歸一化聲能Fig.7 Receiving normalized acoustical energy distribution of900 Hz at30 km

直觀上入射目標的聲能越強，目標參數估計的方差越小，同樣的，理論推導也證明了CRB也越小。由圖2－7可知，相同發射能量下，利用單個換能器實行遠程目標探測，其效果是非常差的，這里就不再討論了。W2、W3模式由于本征值km虛部較W1模式本征值值大(掠射角大)，具有較大衰減。遠程探測時10 km處，600 Hz、900 Hz的2號模基本上衰減到1號模能量的50%，3號模衰減到1號模能量20%－30%。更遠程探測時，由表1－表3可知，高號模基本上衰減掉了。由表1可知，W0模式權矢量簡正波分解1號模占86%左右，遠程傳播后，表2－表3所示，基本上只剩下1號模了(95%以上)。

表2 600 Hz，相控陣全1權矢量發射，距離10 km，20 km，30 km簡正波分解Table 2 Phased array em itting 600 Hz signal，the normalmode decomposition results of receiver array at 10 km，20 km，30 km

表3 900 Hz，相控陣全1權矢量發射，距離10 km，20 km，30 km簡正波分解Tab le 3 Phased array em itting 900 Hz signal，the normalmode decomposition results of receiver array at 10 km，20 km，30 km

4 結論

基于簡正波理論推導了水聲低頻相控垂直線陣遠程探測的聲傳播理論模型，將遠程探測聲場統一成相控陣權矢量函數的形式。利用經典估計與檢測理論，導出了目標距離和多普勒頻移估計方差的理論下限表達式。理論和仿真分析結果表明，遠程探測的相控陣模式相比于常規單陣元模式有較高的能效比，是相對高效的探測聲源。淺海水下波導中，相控陣單模加權發送，特別是1號模加權具有更遠的探測距離和參數估計方差下限。

目前，本文僅仿真比較七種權矢量下相控陣發射結果，1號模權矢量發射下具有較好的遠程探測性能，但是否是最優的權矢量，還有待進一步理論研究。

致謝本文工作內容得到了聲學所高天賦研究員的指導，特此表示感謝。

[1]BUCK J R.Single Mode Excitation in the ShallowWater Acoustic Channel Using Feedback Control[D].Doctoral Dissertation of the Massachusetts Institute of Technology and the Woods Hole Oceanographic Institution.MIT/WHOI 97－07，1997.

[2]GINGRAS D F. Single mode excitation，attenuation，and backscatter in shallowwater[J].J.Acoust.Soc.Am.，1998，103(1):195－204.

[3]WILLIAMS A.O. Normal－mode methods in propagation of underwater sound[M].in Underwater Acoustics.NewYork:STEPHENSRWB(Wiley－Interscience)，1970.23－56.

[4]CLAY C S，HUANG K.Single mode transmission and acoustic backscatteringmeasurements in a laboratory waveguide[J].J.Acoust.Soc.Am.，1980，67(3):792－794.

[5]GAZANHES C，GARNIER J L.Experiments on single mode excitation in shallowwater propagation[J].J.Acoust.Soc.Am.，1981，69(4):963－969.

[6]GOLUBEVA E V，ELISEEVNIN V A.Generation of a single normal wave by a vertical linear array in the water layer[J].Acoustical Physics，2008，54(1):52－57.

[7]GOLUBEVA E V，ELISEEVNIN V A.Emission of a single normal wave by a vertical discrete linear array in the pekeris waveguide[J].Acoustical Physics，2010，56(1):66－71.

[8]高天賦，曾娟.壓電陶瓷發射換能器的Butterworth匹配定理[J].聲學學報，2006，31(4):297－304.GAO Tianfu，ZENG Juan.A theorem on Butterworth matching for piezoelectric ceramic emission transducer[J].ACTA ACUSTICA，2006，31(4):297－304.

[9]ALEKSANDAR D.Cramer－Rao bounds for estimating Range，velocity and direction with an active array[J].IEEE Trans on Signal processing，2001.6，49(6):1122－1137.

[10]SWINGLER D N，GREGORY S.A generalized approximation for the Cramer－Rao lower bound on direction－of—arrival estimates for a pair of closely spaced sources[J].J.Acoust.Soc.Am.，1996.8，100(2).Pt.1:918－924.

[11]SAURAV R，TULADHAR，JOHN R BUCK.Optimum array design to maximize Fisher information for bearing estimation[J].J.Acoust.Soc.Am.，2011.11，130(5):2797－2806.

附錄 CRB與相控陣權矢量關系式

從式(7)的聲納目標模型出發推導相控陣時延估計和多普勒頻移估計方差的理論下限與相控陣發射權矢量關系式。為了方便數值分析，離散式(7)前，有如下信號噪聲模型和有效的基本假設:

假設一個水聽器接收到已知復帶通信號(s(t)exp(jΩct)，Ωc調制角頻率)的擴展的、多普勒頻移和時延的回波信號。并已知時延和多普勒頻移ΩD(假定目標徑向定速移動)，目標距離r和徑向速度vr有，c為聲速。定義連續信號s(t)的采樣信號s(n)=s(nΔt)，Δt是采樣間距。定義離散時延和多普勒頻移為nr=τ/Δt，ωD=ΩD·Δt。將回波信號采樣，變為離散時間為

這里，n=1，…，N包括整個相關處理間隔(CPI:Coherent processing interval)，TCPI=NΔt，x 是復包絡幅度(窄帶內不變)，未知確定常數，e(n)是加性噪聲。式(A1)需滿足條件v/c?1，復包絡滿足WdT?c/2v(Wd帶寬，T脈寬，也就是說條件滿足后，則徑向速度對復幅度x的影響可忽略，歸結為窄帶信號假設)。

式(A1)被稱為離散聲納(雷達)目標模型，這里假定x是確定的，然而，x亦是可以建模為零均值高斯隨機變量的。因為在一個CPI內無需對x做過多的假設，所以不考慮多個CPI內x的分布。根據式(A1)模型，從Fisher信息矩陣入手推導目標時延估計，多普勒頻移估計的CRB表達式。將式(A1)寫成矢量形式如式(A2):

這里，υ=[ωDnτ]T，γ=[Re{x}Imag{x} υT]T，μ[n，γ]=x·exp(jωDn)s[n － nτ]，y=[y[1]T，y[2]T…y[N]T]T，e=[e[1]T，e[2]T…e[N]T]T，μ(γ)=[μ[1，γ]Τ，μ[2，γ]Τ…μ[N，γ]Τ]Τ，φ(υ)=μ(γ)/x，上角標T是轉置運算符。加性噪聲項e假定是零均值復高斯，方差為:E(ee*)=C，E(y)=μ(γ)，Cy=E(yy*)，上角標*為共軛運算符。根據復數據的經典估計理論，復數據的復高斯概率分布函(PDF)數為

因Cy(υ)=C，可得Fisher信息矩陣:

式(A4)中各項偏導有如下表達式:

此時Fisher信息矩陣轉化為分塊矩陣為

從式(A5)可得，CRB(γ)=I(γ)－1，所以

這里只關心多普勒頻移ωD和時延項nτ，所以

上式逆矩陣中各元素為 Γij，i=1，2;j=1，2，具體如下:

由此可得

到此為止，本文推導了相控陣發射權矢量與參數估計方面差下限關系式。通過距離時間關系r=cτ/2，可以得到目標距離估計的CRBrr與時延估計的CRBττ為