Monte Carlo法與Rosenblueth 法對邊坡可靠度分析的應用與比較

李 珂 姜夢林

(1．西安公路研究院，陜西 西安 710054; 2．機械工業勘察設計研究院，陜西 西安 710043)

安全系數是由確定的方法得到的一個定值，它沒有考慮設計參數可能發生的內在的變異性，所以其大小并不能完全代表一個邊坡的安全程度。因此，邊坡工程的可靠度分析被引入巖土工程領域，經過多年的發展，邊坡工程可靠性研究已經有了許多研究成果，并逐步用于設計實踐［1］。目前常用的可靠度分析計算方法有蒙特卡羅法(Monte Carlo法)、一次二階矩法(FOSM法)、點估計法。蒙特卡羅法適用于隨機變量的概率密度分布形式已知或符合假定的情況，在目前可靠度計算中，是一種相對精確的方法。隨著計算機技術的不斷發展，蒙特卡羅法在工程中廣為流行。點估計法中應用最廣的為Rosenblueth法，當各狀態變量的概率分布為未知時，利用其均值和方差，便可以求得狀態函數(安全系數或安全儲備)的一階矩(均值)、二階矩(方差)及三、四階矩，從而求得邊坡的可靠指標，因而應用廣泛。蒙特卡羅模擬法是理論比較成熟、精度比較高的一種數值計算方法，由于其模型和程序簡單，且不受狀態變量分布類型以及變量間關系的限制，所以在多個狀態變量概率分布已知時，對于陜縣1號點，臨猗縣北景鄉2號點、臨猗縣北景鄉3號點、萬榮縣4號點，借助GeoStudio軟件可以較快實現計算結果。而在狀態變量概率分布數據缺乏時，為了保證可靠度的精度，優先選用Rosenblueth法進行計算。

1 蒙特卡羅法計算原理

一般情況下，我們把邊坡安全系數定義為一個狀態函數:

其中，F為穩定系數;X1，X2，…，Xm為m個有一定分布規律、統計獨立的隨機變量。可以是容重、內摩擦角、粘聚力等隨機變量。隨機地從樣本Xi中抽取n個同分布變量 x1，x2，…，xn，將每一個變量代入式(1)，便能得到一個隨機的安全系數 Fi，經過N次重復計算后達到預期的精度要求，可得到N個安全系數樣本觀測值F1，F2，…，Fn，其計算結果相互獨立。因邊坡失穩的極限狀態為F=1，所以設在N次抽樣計算過程中F≤1的次數為N，則

李萍等［2］對黃土地區公路路塹高邊坡進行了大量研究，本文參考其調查結果，選取4個邊坡進行可靠度分析計算。本次所研究的4個邊坡工點位于黃土地區的三門峽—河津亞區，其上覆土層主要為馬蘭黃土Q3，下層屬于離石黃土Q2，其中Q3黃土厚度在10 m左右，根據已有數據建立地質模型(見表1)。

表1 黃土邊坡地質模型

根據實測數據，結合三門峽—河津亞區的黃土特性(見表2)［2］，建立概率模型。用GeoStudio軟件中的Slope計算模塊，采用蒙特卡羅法對每一個工點進行10 000次的抽樣計算，得到每一處邊坡的可靠度和失效概率(見表3)，以及安全系數的概率分布圖(見圖1)。

表2 三門峽—河津亞區黃土物理特性

表3 蒙特卡羅法對邊坡的計算結果

圖1 四個邊坡的安全系數概率分布圖

2 Rosenblueth法

Rosenblueth法是由Rosenblueth于1975年提出的一種矩估計的近似方法，其原理簡單，可快速地對邊坡可靠度進行分析。它要求在某幾個點上估計功能函數的值，根據這些數據即可通過簡單的計算公式確定可靠度指標［3］。

在缺少狀態變量x1，x2，…，xn的分布函數的情況下，不需要考慮它們變化形態，僅需在(xmin，xmax)區間內對稱地選擇2個取值點，一般取均值μx的正負一個標準差σx，即:

對于n個狀態變量，可得到2n個取值點，全部取值點組合后可以得到2n個。在2n個狀態變量組合下，可根據狀態方程得到2n個狀態函數Z，即2n個安全系數。若n個狀態變量相互獨立，各個組合的出現概率相等，則Z的均值為:

在黃土邊坡可靠度分析中，粘聚力c和內摩擦角φ是影響邊坡穩定性的重要指標，利用式(8)，式(9)對邊坡進行可靠度計算。

當黃土邊坡只有一種土層時，粘聚力c和內摩擦角φ有4種組合，進而可以得到4個不同的穩定系數，如式(10):

此次所選用的4個工點為涇陽地區黃土邊坡，屬于三門峽—河津亞區［2］黃土，上部覆蓋有大約10 m厚的Q3馬蘭黃土，下部為Q2離石黃土。根據表2可知，上下土層的粘聚力c、內摩擦角φ和標準差，可以得到16種組合(見表4)，其計算結果見表5。

表4 上下土層組合后得到的穩定系數F

表5 Rosenblueth法對邊坡的計算結果

3 計算比較

Rosenblueth法是基于隨機變量在有限的對稱點處取值的點估計，所以計算精度沒有蒙特卡羅法方法高［4］。以蒙特卡羅法的計算結果作為參照值，將Rosenblueth法的結果代入式(11)計算其相對誤差。

其中，X為相對誤差;YM為蒙特卡羅法計算值;YR為Rosenblueth法計算值。其計算結果見表6。由表6可以看出，較蒙特卡羅法，Rosenblueth法計算得到的穩定系數偏高，但相對誤差均不超過1%，可靠度相對誤差約為5%，標準差相對誤差約為2%，與蒙特卡羅法結果非常接近，能夠滿足工程精度要求，但是失效概率的相對誤差達到了25%，且普遍偏低。

表6 相對誤差計算值

4 結語

1)Rosenblueth法計算次數少、效率高，不需要了解各種狀態變量的概率分布，只要利用它的均值和方差，就可以求出狀態函數的一階、二階矩。在邊坡工程需要應用數值計算的情況下可以方便地進行可靠度分析，但其可靠性需要得到進一步驗證。2)蒙特卡羅法原理簡單，計算量大，但借助Geoslope軟件可以快速實現，計算結果精度高，誤差與樣本容量有關，所以在條件允許的情況下盡可能地進行多次計算，對于給定的誤差限，可求出所需模擬的次數。3)考慮受現場條件的限制，在無相關軟件進行現場自動分析而計算樣本不是很多的情況下，可以優先考慮選用Rosenblueth法進行初步計算，蒙特卡羅模擬法可作為一種校驗方法，對其計算結果進行校驗和對比。4)在一般情況下，土體邊坡受力情況較為復雜，尤其在土質為非均質土質邊坡中，選取大量的狀態變量發現其變化差值很大，由此得出的極限狀態方程大多是非線性的。

蒙特卡羅模擬法不受分析條件的限制，可以忽略其極限狀態方程的線性關系，是否屬正態分布，通過大量的模擬結果對此類土質邊坡進行精確的可靠度分析。Rosenblueth法則不宜應用于此類非均質邊坡中，由于其選取的狀態變量較少，土體的復雜分布會導致分析結果與實際差異較大，不能對土質邊坡進行準確地判斷。

［1］祝玉學．邊坡可靠性分析［M］．北京:冶金工業出版社，1993．

［2］李 萍，王秉綱，李同錄，等．陜西地區黃土路塹高邊坡可靠度研究［J］．中國公路學報，2009，22(6):18-25．

［3］王劉洋．Rosenblueth法在土坡穩定可靠度分析中的應用［J］．巖土工程技術，2005，19(2):72-74．

［4］唐亞明．基于可靠度的黃土斜坡穩定性分析［J］．地質通報，2008，27(8):1217-1222．