巖土材料強度理論發展現狀

武 燕 樹學峰

(1．中化二建集團有限公司，山西太原 030021; 2．太原理工大學研究生院，山西 太原 030024)

1 概述

強度理論是固體中某點在復雜應力狀態下由彈性狀態轉變到塑性狀態時各應力分量組合應滿足的條件，而這一條件在應力空間下為一曲面。強度理論描述了材料在復雜應力狀態下的屈服和破壞規律，既是固體力學領域的核心研究范疇之一，又是工程中結構、材料強度計算和設計必要的基礎理論［1-3］。對材料強度的認識是工業中結構件設計的最基本要求，而機械、航天航空、水利、土木等工程領域中材料或結構的工況多處于復雜應力狀態下，因此強度理論得到廣泛的研究和應用。巖土材料是自然界和工程結構中存在和應用最廣泛的固體材料，人類對巖土材料的使用可以追溯到新石器時代。對巖土材料強度的認知伴隨著人類自身的發展歷史，開山修路、建造房屋、挖溝筑堤、開鑿河渠首先涉及的都是對相關土質的強度失效問題。巖土材料強度理論對于學術界和工程界是一個經典問題，其具有廣泛的應用性、基礎性強［4］。近兩個世紀以來，針對巖土材料已經提出上百種強度理論(屈服準則)，這充分說明了這一問題的普遍性和重要性［1］。巖土材料強度理論研究既有完善巖土工程基礎理論的科學意義，又有解決建筑工程中設計、施工、維護等工程技術問題的應用價值［5］。但由于巖土材料自身結構及服役工況的復雜性，不能用一種強度理論來描述所有巖土材料在復雜應力狀態下的破壞(失效)特征［6］。針對不同土質材料的強度理論研究吸引了材料工程、固體力學、應用數學以及巖土工程等各個領域研究者及其工程師的廣泛興趣，因此其研究、討論和應用仍然在不斷得到發展和創新［7］。以2007年第6期《巖石力學與工程學報》的論文進行分析，可以看到關于強度理論方面的研究、討論和應用的論文有10篇之多:其中有關于Mohr-Coulomb準則的論文6篇，Drucker-Prager準則的論文2篇，統一強度理論的論文1篇。

本文在經典連續介質彈塑性理論框架下，結合巖土工程的應用背景，總結以及論述了巖土材料在復雜應力狀態下強度理論的發展。

2 巖土材料強度理論研究現狀

巖土的強度是指其屈服或破壞時的應力狀態，定義屈服與破壞的方法即為強度理論(屈服準則)。由于應力狀態的復雜性，強度理論通常是由6個獨立應力分量的組合表示:

其中，σij為二階應力張量;ki為強度參數。更多時候強度理論是用主應力或應力不變量形式來進行表示:

其中，I1為應力第一不變量;J2和J3分別為應力偏量第二、第三不變量;p為平均應力(與I1相關);q為廣義剪應力(與J2相關);θ為洛德角(與J3相關)。現有針對巖土材料的強度理論雖然較多，但以其物理實質可以分為三大類(基于強度理論中剪切參數的個數分成三類，而每一類中基于不同的剪切參數和靜水壓力等因素又分成三類):

1)單剪切參數強度理論。

a．單剪應力強度理論(屈雷斯卡準則);

b．廣義單剪應力強度理論(廣義屈雷斯卡準則);

從傳統的文學教學模式和文學分析手段來看，這是一份非常詳備的教學資料，老師教學和學生的備考都可從中受益。但是，如果所有的文學作品都是這樣的“套餐模式”，學生“吃”的次數多了，就不免會有些厭煩。這樣的教學內容太過局限于《藥》的文本，不僅學生的閱讀范圍局促，而且限制了學生的思維視界，容易讓學生形成小說賞析的定式和惰性，造成思維方式上的墨守陳規，使學生少有開放性的視野和發散性的思考，也很少有可能讀出小說的新意來。

c．單剪切角強度理論(摩爾—庫侖準則)。

2)雙剪切參數強度理論。

a．雙剪應力強度理論(俞茂宏準則);

b．廣義雙剪應力強度理論;

c．雙剪切角強度理論。

3)三剪切參數強度理論。

a．三剪應力強度理論(米塞斯準則);

c．三剪切角強度理論(松岡元—中井照夫準則)。

圖1 主應力空間下廣義米塞斯準則和廣義屈雷斯卡準則

2．1 單剪切參數強度理論

屈雷斯卡基于實驗結果提出了一個最大剪應力屈服條件(屈雷斯卡準則)即工業領域中針對金屬材料廣泛應用的第三強度理論:材料最大剪應力達到某一數值時就發生屈服。此屈服準則經過大量的金屬實驗驗證其可靠性，但由于沒有考慮等壓體變屈服的影響不適用于巖土材料，在巖土工程領域采用其修正的廣義形式(廣義屈雷斯卡準則):

其中，θσ為應力洛德角，且有 －30°≤θσ≤30°，當 θσ=0 時屈服函數退化成廣義米塞斯屈服準則。廣義屈雷斯卡條件在偏平面上(π平面)的屈服軌跡為一內接于米塞斯圓屈服軌跡的正六邊形，并且屈服軌跡在任意60°(應力洛德角θσ)內不同，而在主應力空間下屈服面為一內接于米塞斯圓錐的正六角錐體(如圖1所示)。

早在1776年，庫侖基于大量的試驗結果提出了著名的庫侖公式(式5)，即巖土任意一個受力平面上剪切強度與作用于該平面上的正應力相關，關聯系數為土體的粘聚力c和內摩擦角φ。

摩爾(1900)提出一個描述土體強度的公式τf=f(σ)，它表明土體的破壞面不一定發生在最大剪應力作用面上，而是發生在正剪應力的危險組合面上。且土體的摩爾強度包絡線在一定范圍內可以近似成直線(內摩擦角φ為常數)，這就與庫侖線性公式完全一致。摩爾—庫侖準則雖為最早提出的巖土強度理論，但仍然是現代巖土工程領域應用最廣泛的強度理論之一。一方面它形式簡單只包含兩個易試驗測得的參數，另一方面它考慮到了巖土屬于顆粒摩擦體這一基本特體。但是它也存在如下兩個方面的不足:1)未考慮中主應力對土體破壞的影響，這與大量的土工試驗結果不符。2)其強度包絡線在σ—τ平面下為一直線，即內摩擦角φ不隨平均主應力P(或圍壓σ3)變化，大量的實驗證明了抗剪強度與法向應力之間一般是非線性關系。例如:對于正常或超固結粘土在較大圍壓下由于土顆粒間隙的壓密造成了顆粒重排布，內摩擦角會有很大的變化。考慮到上述局限，一些學者基于實驗結果提出了不同的修正型摩爾—庫侖準則。

2．2 雙剪切參數強度理論

或:

雙剪應力屈服準則實際上是將物體之間的干摩擦定理推廣到物體內部的強度研究。雙剪應力條件在主應力空間下是一個以靜水壓力軸為母線的等邊六角柱面，在偏平面上設的軌跡其六個定點分別在三個主應力軸投影的負半軸上的六邊形，且為米塞斯準則和屈雷斯卡準則的外包絡線。雙剪切準則既考慮了兩個大主剪應力對屈服和破壞行為的影響，又反映了中主應力和應力洛德角的影響。但是上述準則也存在不足:其三個主剪應力和為零的假設，是基于主剪應力與主應力的代數關系而來，并沒有嚴格的證明。

雙剪應力屈服準則的建立是基于材料壓縮和拉伸屈服強度相等的假設，靜水應力對材料屈服沒有影響。材料拉壓強度對稱假設對于金屬材料屈服行為基本上是適合的，但對于摩擦顆粒材料(巖土材料等)拉伸和壓縮的強度偏差效應，雙剪應力屈服準則明顯是不適用的。因此俞茂宏提出了一個考慮靜水應力和SD效應的廣義強度理論，進一步把雙剪應力屈服準則推廣至巖土領域。廣義雙剪應力屈服準則類似于建立廣義米塞斯準則的做法，把靜水壓力項(I1)引入了雙剪切準則，且增加與內摩擦角相關的材料參數，這里就不再做重復描述了。

2．3 三剪切參數強度理論

對于金屬材料在單軸和復雜應力狀態下其體積變形較小，且認為塑性體變εpv=0。材料屈服主要受剪切變形(畸變)的主導，其屈服準則在應力空間下為三個主剪應力的函數。經典的米賽斯(Mises)屈服準則與屈瑞斯卡(Tresca)屈服準則均是基于上述數學表述，且經過大量的金屬實驗結果驗證了兩個屈服準則的可靠性，在現代工業領域仍然是應用最廣泛的兩個金屬強度理論。而巖土材料屬于顆粒摩擦材料，在等壓體變條件下(靜水壓力條件下)亦能產生塑性屈服，這就決定了在巖土材料的屈服準則中必須要考慮靜水壓力的影響。習慣上把巖土材料的屈服分成體積屈服(相關于平均應力I1)與剪切屈服(相關于廣義剪應力J2)兩部分。德魯克和普拉格(1958)在米賽斯屈服準則中引入靜水壓力項(平均應力I1)，提出了一個考慮了體變和畸變對巖土屈服影響的廣義米賽斯屈服準則即德魯克—普拉格準則(Drucker-Prager準則):

上述準則是在平面應變條件下采用關聯流動法則與摩爾—庫侖準則對比推導出的，兩個材料參數a，k均為粘聚力c和內摩擦角φ的函數。

德魯克—普拉格準則在主應力空間下為一包含原點的圓錐(如圖2所示)，其母線為靜水壓力軸(σ1=σ2=σ3)，在π平面上屈服軌跡為一組同心圓，其半徑由靜水壓力項aI1確定。

圖2 主應力空間下德魯克—普拉格準則

上述準則在考慮到靜水壓力對屈服行為的影響以外，還充分考慮到了巖土材料的單軸拉壓強度不對稱性(圓錐的頂點不在原點而在第七卦限靜水壓力軸上)，且仍然以粘聚力c和內摩擦角φ作為材料參數，實驗確定簡單。但屈服準則中未包含洛德角參數(相關于應力偏量第三不變量J3)。而大量的巖土材料試驗結果表明其極限面在π平面上屈服軌跡并不是一個圓形，這就說明德魯克—普拉格準則不能考慮到應力角效應，而廣義的屈雷斯卡準則能夠反映出π平面上應力洛德角在－30°≤θσ≤30°范圍內的屈服軌跡的變化。

松岡元和中井照夫(1981)等人引入了空間滑動面的概念(SMP)，并充分考慮到了主應力空間下三個摩爾應力圓對土的強度影響(如圖3所示)，建立其包含三個剪切角的屈服準則，其主應力表述形式為:

其中，kf為材料常數，可以通過單軸測試獲得。當σ2=σ3時，空間滑動面的傾斜角為，函數退化成摩爾—庫侖準則。松岡元—中井照夫準則在主應力空間下為一正三角形棱柱，其在π平面上的軌跡與萊特—鄧肯準則相似，其極限軌跡(破壞面)對應kf=∞。

圖3 考慮三個應力摩爾圓對強度的影響

2．4 其他強度理論

萊特和鄧肯(1975)采用不相關聯的流動法則，提出了一個適用于無粘性砂土的彈塑性本構模型，其中塑性位勢函數、初始屈服函數、破壞函數(極限屈服函數)一致，其應力不變量表述形式為:

經過大量砂土的實驗結果驗證表明，萊特和鄧肯屈服準則能較好的預計無粘性土的初始屈服面及其破壞面。為了進一步考慮圍壓對初始屈服軌跡的影響，萊特修正了原模型。修正型萊特—鄧肯屈服準則在主應力空間下是一個以彎曲子午線為邊界的棱錐體表面。對于正常固結粘土和砂土，修正的萊特—鄧肯屈服準則應用較廣，其實驗參數少，表達式簡單，并充分全面考慮了復雜應力路徑下影響土體強度的主要因素。

3 結語

材料和結構在復雜應力狀態下的強度是一個普遍問題。而在自然界和工程環境中巖土材料廣泛存在于復雜應力狀態下，其強度理論是巖土工程設計、施工、運營、維護的重要基礎。在20世紀針對巖土材料已提出了上百個強度理論模型，包括從單參數模型到多參數模型。這些模型可以歸類為三大系列巖土材料強度理論:單、雙、三剪切參數強度理論系列。在基礎研究和工程設計中針對具體巖土材料正確、合理地選擇強度理論是至關重要的。正如西安交通大學俞茂宏教授所指出的:強度理論的正確選擇遠比計算更重要。巖土工程中地基和構筑物的實際承載力、數值模擬計算的變形尺度、塑性區尺寸、剪切帶方向以及塑性流動局部化均受強度理論選擇的影響。在未來巖土工程的研究和應用中，需要有更多的復雜應力狀態下巖土材料的強度實驗結果以及合理的強度理論選擇。

［1］Yu Mao-Hong．Advances in strength theories for materials under complex stress state in the 20th Century［J］．Applied Mechanics Reviews，ASME，2002，55(3):169-218．

［2］鄭穎人，沈珠江，龔曉南．巖土塑性力學原理［M］．北京:中國建筑工業出版社，2002．

［3］俞茂宏．工程強度理論［M］．北京:高等教育出版社，1999．

［4］俞茂宏．強度理論新體系［M］．西安:西安交通大學出版社，1992．

［5］俞茂宏．雙剪理論及其應用［M］．北京:科學出版社，1998．

［6］沈珠江．理論土力學［M］．北京:中國水利水電出版社，2000．

［7］張學言．巖土塑性力學［M］．北京:人民交通出版社，1993．

［8］高 紅，鄭穎人，馮夏庭．材料屈服與破壞的探索［J］．巖石力學與工程學報，2006，25(12):2514-2522．