建立零長彈簧傳熱等效模型

李德才，褚 寧，朱學毅

（天津航海儀器研究所，天津 300131）

建立零長彈簧傳熱等效模型

李德才，褚 寧，朱學毅

（天津航海儀器研究所，天津 300131）

零長彈簧作為高精度重力敏感器的核心元件，其溫度場分布直接影響重力敏感器的測量精度，由于彈簧結構特殊，為了研究其傳熱特性，提出建立零長彈簧傳熱的等效模型。首先通過實驗測得零長彈簧電阻溫度系數，再設計實驗測量零長彈簧的分段阻值變化來反求各段平均溫度變化，通過最優化方法計算求解零長彈簧的溫度分布曲線，結果表明，該曲線為冪函數曲線。為使零長彈簧可以用等長等直徑的圓柱體來代替，利用Ansys進行仿真并建立了一個適于工程應用的導熱系數隨溫度變化表格。仿真結果表明，該表格能夠達到用圓柱體代替零長彈簧來研究其傳熱特性的目的，最大相對誤差為2.8%。

零長彈簧；溫度場；導熱系數；傳熱等效模型

彈簧在結構設計中通常作為連接件起到支承、阻尼的作用，在溫度場要求不高的前提下，熱分析中可以用桿代替，甚至忽略。但在高精度重力敏感器中，零長彈簧作為核心敏感元件，受溫度場的影響極大，在這種情況下零長彈簧的換熱將不能忽視。

此外，利用Pro/E建立的零長彈簧實體模型在導入AWE（Ansys Workbench Environment）中時，破壞了原有的幾何拓樸，并且無法有效選出“接觸”（Contact），即考慮到零長彈簧自身結構的復雜性，還需要對其幾何模型進行適當的簡化。故本文提出建立零長彈簧的傳熱等效模型。

1 建立零長彈簧傳熱等效模型

為了獲得零長彈簧傳熱等效模型的導熱系數，需要知道其溫度分布。由于彈簧絲徑為0.5 mm，傳統的溫度傳感器都不能準確測量出彈簧表面的溫度，故本文提出一種新的測量零長彈簧溫度的方法，即通過測量零長彈簧的電阻值反求其溫度。

已知電阻公式：

整理后得：

若要測得零長彈簧的溫度分布，則應當測量不同區域的電阻值，即在彈簧中間選擇若干點，測量分段電阻值。由于整段零長彈簧電阻值大小約35Ω ，分段電阻值的大小與其長度成正比，分段越多理論上測量彈簧溫度分布的準確度越高，但實際上分段電阻值的絕對值變小，造成相對測量誤差增大。綜合考慮上述因素，既要滿足測量溫度分布的要求，又要滿足測量準確度的要求，則在整段彈簧OD上間隔均勻的選擇三個內點A、B、C分別測量OA（上段）、AB（中上段）、BC（中下段）、CD（下段）、OD（全段）的電阻值，進而得到相應區間的平均溫度。再利用數學方法求得零長彈簧的溫度分布曲線。

由熱力學第一定律可知，系統內能的增量ΔU包括兩部分，即外界對系統所作的功A，和外界傳遞給系統的熱量Q。對于固體來說，外界對系統所作的功可以忽略，則有：

內能是個態函數，即它的數值由系統的狀態唯一地確定，由分子動理論知道，溫度反映的是分子的動能的多少，即其平均值是溫度的函數；而分子間的勢能與體積有關，所以內能是由體積V和溫度T所決定，則內能可表示為U=U(V,T)。已知內能公式：

式中，c為物體的比熱容，單位為 J/(kg?℃)；m為物體質量，單位為kg；ΔT為物體初末狀態的溫度變化，單位為℃。式(4)還可寫成：

式中，N表示彈簧的圈數；表示第i圈數的平均溫度變化；mN表示平均每圈的質量，大小為m/N。

由此可知，待擬合的零長彈簧溫度分布曲線具有一個最基本的性質，即與實驗測量出的平均溫度曲線對應區間線下面積近似相等，判定標準可由最小二乘法求得。

2 設計實驗

2.1 實驗測量零長彈簧電阻溫度系數

將零長彈簧置于不同的恒溫環境中，對測得的電阻值和設定的溫度值進行線性回歸得到式(2)中的“斜率”和“截距”，二者相除即可得到電阻溫度系數，將多次實驗的計算結果繪于圖1中。

圖1 電阻溫度系數實驗值Fig.1 Experimental data of resistance’s temperature coefficient

由于在一定范圍內電阻溫度系數可以近似看作常數，故求其平均值得到電阻溫度系數為4.978 13×10-4/℃，標準差為 7.776 22×10-5。根據格羅布斯準則，將數據作為粗大誤差剔除。剩下的43個數據，平均值為0.000 493 209，標準差為4.403 98×10-5。則得到零長彈簧的電阻溫度系數為4.9×10-4/℃。

2.2 設計零長彈簧傳熱實驗

將零長彈簧與導熱率較高的銅塊相連，電加熱帶對其進行加熱，用鉑熱電阻測量銅塊與彈簧連接處的溫度。加熱功率為9.6 W，取溫度上升至穩定段的數據并進行濾波，結果如圖2。

將間接熱源的溫度，即彈簧頂部的溫度視為輸入，記作Tin；測量的彈簧電阻值視為輸出，則二者存在函數關系：

將式(6)進行多項式展開，則有：

圖2 零長彈簧傳熱實驗濾波后曲線Fig.2 Curves after filtering in heat transfer experiment of the zero-length spring

在滿足計算精度的前提下，為了盡可能簡化函數關系，僅保留上式常數項和一次項系數，則式(7)變為R與Tin的線性函數，即。

根據公式可知，當彈簧平均溫度發生變化時，則有：

整理后，可得：

在經過線性關系的顯著性檢驗后，可以判定忽略式(7)二次及以上高次項是可以滿足要求的。由線性回歸的值可以得到因Tin引起的阻值變化，分別為0.052Ω、0.010Ω、0.003Ω、0.001Ω和0.066Ω。再利用回歸方程的截距，由式（9）分別求得各段彈簧的平均溫度變化為 12.199℃、2.339℃、0.682℃、0.233℃和3.829℃。以彈簧圈數為x軸，溫度變化為y軸，畫出溫度曲線，如圖3所示。

圖3 彈簧分段及全段平均溫度曲線Fig.3 Average temperatures of the whole and each part

彈簧的內能變化可由上圖溫度曲線的線下面積作為度量。經計算，分段平均溫度曲線的線下面積分別為609.95、116.95、35.464、11.65，四段之和為774.014，全段平均溫度線下面積為773.458，二者相差0.556，可以認為測量結果是有效且準確的。需要說明的是，零長彈簧與銅塊接觸的部分不在此傳熱模型計算的有效范圍內，即有效圈數為10～212。

3 零長彈簧傳熱等效模型的建立

3.1 求解零長彈簧溫度分布函數

接下來的任務是要作出一條溫度曲線T(x)，能夠表示出彈簧的溫度分布。對于理想的待求曲線有以下幾個要求：

① 待求溫度曲線的線下面積與全段平均溫度曲線的線下面積相等。

② 與分段平均溫度曲線各段相對應的待求溫度曲線的線下面積分別與分段平均溫度曲線各段線下面積相等。

③ 在分段平均溫度曲線的溫度階躍點處，要求待求溫度曲線連續。

首先，先出寫圖中兩條曲線的數學表達式，全段溫度曲線：

分段溫度曲線：

由實際傳熱特性可知，溫度曲線必定是單調遞減的，所以根據分段溫度曲線，先對每一段分別用一條斜率為負的直線代替，使其滿足要求②和③，當T(212) =0℃時，則有：

分段直線逼近的溫度曲線如圖4所示。

由分段直線逼近曲線的圖像可知，與其相似的函數圖形有雙曲線、冪函數、指數函數、多項式等，由此提出待求曲線的另一個要求，即：

圖4 分段直線逼近曲線Fig.4 Approximate curve of each part

④ 當x∈[10,212]時，有，。

以雙曲線為例，其一般形式為：

式中，a、b為待求系數。定義：

根據要求②則有：

由于該方程組未知數個數少于方程個數，無解的可能性很大。根據實際情況改變求解方法，即對于要求②，采用最優化方法進行求解。

首先對原問題進行分析可知，待求曲線的特點是各段線下面積盡可能接近于實驗值，即令盡可能小，式中為實驗得到的分段積分值。然后利用最小二乘法，構造函數：

該問題的多維無約束最優化問題的數學形式可寫作：

通過求解可得：a=310.6917，b=0，此時F(a,b)=20297。

分別對冪函數、指數函數、二次多項式、三次多項式和四次多項式進行求解計算，F分別為37.900、39.475、35 874、11 433和85 300。所以當擬合函數為冪函數時，其最小二乘函數F的值最小，故得出結論：通過實驗測得的彈簧溫度場滿足冪函數分布。其回歸圖線如圖5所示。

圖5 冪函數擬合曲線Fig.5 Fitting curve of power function

3.2 建立彈簧傳熱的等效模型

利用Ansys Workbench進行仿真，已知加熱功率為9.6 W，熱載荷施加在銅塊的圓周面上，模型外表面傳熱系數設為，環境溫度 22℃。當設定彈簧的導熱系數分別為 1.4 W/(m· K)、4.5 W/(m· K)、20 W/(m· K)，得到的結果如圖6所示。

圖6 不同導熱系數的彈簧傳熱等效模型仿真結果Fig.6 Simulating results of the equivalent model of the spring with different thermal conductivities

為了得到和冪函數曲線更為接近的曲線，就要尋找合適的導熱系數，這里的導熱系數不是常數，而是隨溫度的改變而改變的函數，即λ=λ(T)。而精確求解導熱系數關于溫度的函數是復雜且計算量龐大的，這里只需通過改變某些溫度點的導熱系數，得到一個能夠滿足工程需求的近似解。

基于圖6中的規律，應在40℃～70℃范圍內使導熱系數降低，在22℃～30℃范圍內使導熱系數增大。經多次計算得到λ(T)，其值見表1。

表1 彈簧傳熱等效模型導熱系數表Tab.1 Thermal conductivity of equivalent model of the spring

利用此表中的導熱系數進行仿真，仿真結果云圖和與冪函數曲線的對比分別如圖7和圖8所示。

仿真結果曲線中各點與對應圈數的冪函數值比較結果如表2所示。由表2中數值可以看出，最大誤差絕對值不超過0.7℃，相對誤差絕對值不超過2.8%。綜合考慮各方面因素，該結果可以滿足工程需求。至此，彈簧傳熱等效模型建立完成。

圖7 仿真結果云圖Fig.7 Simulating results

圖8 仿真結果曲線對比圖Fig.8 Comparison between theory solution and simulation

表2 仿真結果與冪函數值對比表Tab.2 Comparison between power function and simulation

4 結 論

本文通過實驗驗證了零長彈簧電阻值與溫度的線性關系，利用其關系測出了零長彈簧在一端輸入熱流時的溫度分布，并通過最優化方法確定了零長彈簧的溫度分布函數，最后，利用Ansys進行有限元仿真，在將其幾何模型簡化為圓柱體的同時，確定了簡化模型的導熱系數和溫度的對應關系，為有限元分析中研究彈簧傳熱提供了新的方法，對進一步研究零長彈簧的傳熱特性提供了全新并且有效的方法，對研究零長彈簧其他與溫度有關的特性提供了基礎，具有一定的工程指導價值。

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Establishment of an equivalent model of heat transfer of zero-length spring

LI De-cai,CHU Ning,ZHU Xue-yi
(Tianjin Navigation Instruments Research Institute,Tianjin 300131,China)

The zero-length spring is the core element of the high-precision gravimeter.The temperature distribution of the spring directly affects the measuring accuracy of gravimeters.For the sake of studying the heat transfer characteristic of the spring,an equivalent model of heat transfer of the spring was studied by considering its particular structure.The temperature coefficient of resistance was obtained by the experiment,and an experiment was designed to measure the resistance of different parts of the spring,so the average temperature change of every part was obtained.Then the curve of the temperature distribution was obtained from calculation by the means of an optimization method,and it is shown that the curve satisfies the power function.In order that the zero-length spring could be replaced by a cylinder with equal length and diameter,a simulation was made by Ansys software,and a thermal-conductivity vs.temperature table suitable for engineering application was built.The simulation results show that the cylinder can be replaced by the spring in studying its heat transfer characteristic,and the maximum relative error is 2.8%.

zero-length spring; temperature distribution; thermal conductivity; equivalent heat transfer model

U666.1

：A

1005-6734(2014)02-0248-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2014.02.020

2011-11-14；

：2012-01-20

國防重點預研項目（51309040701）

李德才（1964—），男，研究員，碩士生導師。E-mail：LDC_mail@yahoo.com