基于貝葉斯理論的逐次迭代非線性AVA反演方法

代榮獲，張繁昌，劉漢卿，李燦燦

中國石油大學(華東)地球科學與技術學院，山東 青島 266580

基于貝葉斯理論的逐次迭代非線性AVA反演方法

代榮獲，張繁昌，劉漢卿，李燦燦

中國石油大學(華東)地球科學與技術學院，山東 青島 266580

常規AVA三參數反演方法均基于橫波速度與縱波速度之比γ為常數這一假設條件，且常被近似地取為0.5。然而在許多情況下γ并不為常數，而是在橫向與縱向都漸變。若一概假定γ等于0.5，反演出的巖性參數勢必要偏離真實值，因此有必要合理地選擇γ。筆者基于貝葉斯理論，提出逐次迭代非線性AVA的反演方法。該方法把γ看成橫向與縱向都漸變的反演初始背景，通過給定初始模型計算初始背景γ，并采用逐次迭代的策略求解該反演問題,解決了關于γ的選取問題以及由于引入變γ值而帶來的非線性問題，提高了AVA三參數反演結果的精確度。

AVA反演；非線性；變縱橫波速度比；逐次迭代；貝葉斯理論

0 引言

基于疊前地震道集的反演技術在油田勘探和開發中起著越來越重要的作用，其理論基礎是描述平面波在水平界面上反射與透射的Zoeppritz方程[1]?；赯oeppritz方程近似公式，常用的疊前地震反演分為兩種，一種是彈性阻抗反演[2-3]，另一種是AVA(amplitude variation with incident angle)三參數反演[4-5]。楊培杰等[6]利用Fatti近似式[7]，發展了AVA三參數反演技術，反演出比較穩定的縱波阻抗、橫波阻抗和密度巖性參數。由于泊松比是疊前地震反演的重要參數,桂金詠等[8]提出直接用縱波速度、泊松比和密度表示的反射系數近似式。利用該公式可以直接提取泊松比，因此筆者在反演中采用該近似式。

上述疊前反演方法均基于γ(橫波速度與縱波速度之比，vS/vP)為常數這一假設條件，把非線性的AVA反演問題線性化，從而提高反演的穩定性與可操作性。然而在實際中，很多情況下γ并不為常數，而是在橫向與縱向都逐漸變化。李愛山[9]詳細討論了彈性阻抗方程中γ的選取問題，指出不同的AVA模型具有不同的最優γ值；Alemie[10]詳細討論了γ對AVA反演的影響，指出錯誤的γ值會導致反演結果偏離真實值，特別是在上下地層巖性參數變化比較大時，會出現較大誤差。文中從四類基本AVA模型出發，討論不同AVA類型在假設γ取0.50時，縱波反射系數的變化情況，并與Zoeppritz方程計算出的反射系數比較，說明若一概假定γ為0.50，反演出的巖性參數勢必要偏離真實值，有必要合理地選擇γ。為此，筆者提出逐次迭代非線性AVA反演方法:該方法將γ看作隨橫向與縱向變化的反演初始背景，通過給定初始模型計算初始γ，得到初始背景下的巖性參數；然后采用逐次迭代的反演策略，即將上次迭代的結果作為下次迭代反演的初始模型，重新構建背景γ；如此逐次迭代下去，直到滿足停止迭代條件為止，從而使得反演結果充分逼近真實值，并將最后一次迭代結果作為最終反演結果。

1 方法原理

1.1 線性AVA反演

AVA反演大多基于Aki和Richards[11]給出的縱波反射系數近似方程，桂金詠等[8]對該公式重新進行了整理，推導出能夠直接反演泊松比的反射系數近似式，可寫成如下形式:

(1)

其中：

b(γ,θ)=2(γ2-1)sin2θ；

由式(1)可知，γ、RP、Rσ、Rρ都是待求的未知目標參數。由于γ的存在，式(1)是典型的非線性方程。解這類方程的基本思想是采用非線性反演方法，即給定初始模型，通過不斷迭代修正模型參數達到最終反演巖性參數的目的；但這種方法在求解過程中需要求解雅克比矩陣和漢森矩陣，在實際應用中很不方便。因此，最常見的AVA反演是采用線性方法，其基本思想是對γ做出某種近似假設，比如通常取為0.50，這樣式(1)所描述的非線性問題被線性化，然后采用最小二乘算法進行反演，達到最終反演巖性參數的目的。

1.2 線性AVA反演的不足

由上節討論可知，當今應用最廣泛的AVA反演方法是線性反演法，其基本假設條件是γ取0.50。然而在實際中，許多情況下γ并不為常數，而是在橫向與縱向都漸變。本節從四類典型AVA模型出發，討論不同模型在假設γ取常數時的縱波反射系數變化情況。

Rutherford和Williams[12]把含氣砂巖的AVA異常分為3類。1997年Castagna和Swan[13]在此基礎上擴展為4類AVA異常，各類模型的介質參數見表1。對每類AVA模型分別用Zoeppritz方程、γ由真實模型得到、假定γ取0.50和假定γ取0.58(即介質是泊松體)4種方法計算出縱波反射系數曲線，結果如圖1所示。從圖1中可以看出：對于第一類與第二類AVA模型，γ為常數時計算出的縱波反射系數與用Zoeppritz方程計算出的縱波反射系數之間誤差較??；但是對于第三類與第四類AVA模型，γ為常數計算出的反射系數與用Zoeppritz方程計算出的反射系數之間的誤差比較明顯，在入射角大于20°之后越來越大，特別是在25°之后，誤差已不可忽略。在這種情況下，γ取為0.50這一假設條件已不再成立，反演出的巖性參數勢必會出現較大誤差。

1.3 逐次迭代非線性AVA反演法

由貝葉斯反演理論可知，在給定數據空間d與反射系數模型空間r的似然函數及先驗信息時，反射系數的后驗概率分布函數為[14]

式中：p(r|d)表示反射系數的后驗概率；p(r)表示反射系數先驗信息；p(d|r)表示似然函數。

表1 四類AVA界面模型

假設地震數據噪聲的均值與均方差分別為0和σS，且服從高斯分布，并采用柯西先驗準則[15]，基于貝葉斯理論并以反射系數近似式(1)為正演算子，可建立AVA反演的目標泛函：

(3)

在疊前地震反演中，為合理地選取γ，通常把γ作為一個待反演的未知參數加到反演中，采用非線性方法求解。但這種方法在求解過程中需要求解雅克比矩陣和漢森矩陣，反演結果很不穩定。為此，筆者提出逐次迭代的非線性AVA反演方法，以合理解決該問題，具體方法如下。

把γ看作在橫向與縱向都漸變的反演初始背景，而待反演的巖性參數則是背景上的擾動。步驟如下：1)結合基于模型反演方法的思想，通過給定初始模型計算初始γ，并代入到似然函數中，從而把非線性的AVA反演目標函數線性化；2)利用最小二乘算法，獲得初始背景下的巖性參數；3)把上次迭代得到的結果作為下次迭代的初始背景模型，重新構建γ，并重新加入到似然函數中，然后利用最小二乘算法得到新背景下的反演結果；4)如此逐次迭代下去，直到第n次迭代的結果與第n+1次的結果充分相關，則停止迭代。反演結果充分逼近真實值，并將最后一次迭代結果作為最終反演結果，這種反演策略稱為逐次迭代方法。

2 應用效果分析

2.1 逐次迭代反演與常規反演結果對比

a.第一類；b.第二類；c.第三類；d.第四類。圖1 四類AVA模型反射系數曲線Fig.1 Reflection coefficient curves for four classes AVA model

a.縱波速度；b.泊松比；c.密度。圖2 二維地層模型Fig.2 2D geological model

a.5°；b.15°；c.25°。圖3 不同入射角地震剖面Fig. 3 Seismic sections of different incident angles

為了說明逐次迭代非線性AVA反演的可行性以及相對于常規AVA反演的優勢，采用如圖2所示的二維模型進行驗證。由Zoeppritz方程正演生成該模型的疊前AVA地震剖面，不同入射角的剖面如圖3所示。首先利用圖3的地震數據進行常規AVA三參數反演；然后以真實模型平滑100次后的平滑模型作為初始值，利用圖3的地震數據進行逐次迭代非線性AVA反演。為分析逐次迭代非線性反演的優勢，抽取如模型(圖2)中白色線所示的單道進行對比分析，結果如圖4所示。對比兩種反演結果可以看出，逐次迭代非線性AVA反演結果與真實模型吻合程度更高，特別是在上下地層巖性參數變化比較劇烈的情況時，有著更加明顯的優勢。分別計算兩種反演結果與真實模型的相關系數，結果如表2所示?？梢钥闯?，不論是縱波速度還是泊松比與密度，逐次迭代非線性反演結果都具有更高的相關性。以上對比可以說明，逐次迭代AVA反演能夠得到與真實模型更加匹配的反演結果。

2.2 逐次迭代反演抗噪性分析

為說明逐次迭代非線性AVA反演的穩定性和優良抗噪性，采用一維單井模型進行測試。由Zoeppritz方程正演生成模型的疊前地震記錄，結果如圖5a所示；然后對無噪聲的合成地震數據加入不同程度的高斯隨機噪聲，結果如圖5b--d所示。

表2 常規反演結果和逐次迭代反演結果與真實模型的相關系數

Table 2 Correlations comparison of conventional inversion with new method

vP相關系數σ相關系數ρ相關系數常規反演結果0.9060450.8892340.839998逐次迭代反演結果0.9863770.9582760.931101

a.縱波速度；b.泊松比；c.密度。圖4 常規反演結果與逐次迭代反演結果對比Fig.4 Inversion results comparison of conventional method with the proposed method

a.無噪聲；b.信噪比為10∶1；c.信噪比為5∶1；d.信噪比為1∶1。圖5 不同信噪比的一維單井模型合成地震道集Fig.5 Synthetic seismic gathers with different S/N for 1D well-log model

以圖6中的綠色曲線作為初始值，分別對圖5a所示的地震數據進行逐次迭代反演和常規反演，反演結果如圖6中的紅色曲線和黑色曲線所示。從圖6中可以看出：在初始模型非常平滑的條件下，兩種反演方法得到的縱波速度、泊松比和密度與真實模型(圖6中的藍色曲線)都基本吻合；但在上下地層巖性參數變化較大時，逐次迭代反演的吻合程度更高。

為進一步驗證逐次迭代反演方法的抗噪性，對含噪聲的地震數據進行逐次迭代反演與常規反演，反演結果如圖7、圖8與圖9所示。從圖7--9中可以看出：當上下地層巖性參數變化比較劇烈時，逐次迭代反演結果與真實模型匹配度更高(如0.15～0.20 s的反演結果)；隨著地震數據噪音的加大，在信噪比為1∶1時，兩種反演結果都難以得到合理的密度反演結果，但是逐次迭代反演結果仍比常規反演結果更接近真實模型。

a.縱波速度；b.泊松比；c.密度。圖6 無噪聲時一維模型反演結果Fig.6 Inversion results with free noise for 1D model

a.縱波速度; b.泊松比; c.密度。圖7 信噪比為10∶1時一維模型反演結果Fig.7 Inversion results with S/N equal to 10∶1 for 1D model

a.縱波速度; b.泊松比; c.密度。圖8 信噪比為5∶1時一維模型反演結果Fig.8 Inversion results with S/N equal to 5∶1 for 1D model

a.縱波速度; b.泊松比; c.密度。圖9 信噪比為1∶1時一維模型反演結果Fig.9 Inversion results with S/N equal to 1∶1 for 1D model

3 結論

1)常規的疊前地震反演，隨著入射角的增大，常數背景γ假設條件不再成立，依賴于該假設反演求得的巖性參數勢必會出現較大的誤差。

2)在常規AVA三參數同步反演的基礎上，基于貝葉斯理論，提出了逐次迭代非線性AVA反演方法，克服了常規反演的不足，使得反演結果更充分地逼近真實值。

3)從應用效果及抗噪性能測試結果來看，逐次迭代非線性AVA反演方法突破了常規AVA反演基于常γ值這一假設條件的限制，提高了疊前AVA三參數反演結果的精確度；同時，該方法還具有良好的穩定性和抗噪性。

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吉林大學學報(地球科學版)

榮獲 “第五屆中國高校精品科技期刊”稱號

由教育部科技司主辦、中國高校科技期刊研究會承辦的“第五屆中國高校精品·優秀·特色科技期刊”評比活動結果日前公布，我刊榮獲“第五屆中國高校精品科技期刊”稱號。這是我刊首次獲此殊榮，標志著我刊在提升學術影響力和競爭力，加強期刊的整體實力方面取得了一定的進展。

據了解，全國800多家高校科技期刊參與了此次評比，經專家評審，共評出中國高校精品科技期刊49種，優秀科技期刊108種，特色科技期刊30種。

本刊編輯部

2014-11-20

Non-Linear Pre-Stack Seismic AVA Inversion Based on Bayesian Theory Using Successive Iteration Method

Dai Ronghuo，Zhang Fanchang，Liu Hanqing，Li Cancan

School of Geosciences and Technology, China University of Petroleum, Qingdao 266580, Shandong,China

Conventional three-term AVA inversion methods are based on the assumption thatγ(the ratio of S-wave velocity to P-wave velocity) is a constant value usually considered to be 0.5, whileγis horizontally and vertically varied gradually in many cases. The estimated parameters of the inversion is bound to deviate from its true values withγinvariably being 0.5. and the selectionγneeds to be reasonably. Based on Bayesian theory, we presents a nonlinear pre-stack seismic AVA inversion using successive iterative method, which considered the ratio’s initial background varying horizontally and vertically and being calculated by the-given initial model, and the nonlinear inversion problem was solved by successive iteration. The proposed method gived a reasonable solution for the selection ofγand solved the nonlinear problem caused by variable ratioγ. And the accuracy and stability of the three-term AVA inversion were improved.

AVA inversion; nonlinear problem; variable ratio of S-velocity to P-velocity; successive iteration; Bayesian theory

10.13278/j.cnki.jjuese.201406302.

2014-04-10

國家自然科學基金項目(41374123)；國家“973”計劃項目(2013CB228604)

代榮獲(1990--)，男，研究生，主要從事地球物理反演的研究，E-mail:daironghuo@yeah.net。

10.13278/j.cnki.jjuese.201406302

P631.4

A

代榮獲，張繁昌，劉漢卿，等. 基于貝葉斯理論的逐次迭代非線性AVA反演方法.吉林大學學報:地球科學版,2014,44(6):2026-2033.

Dai Ronghuo，Zhang Fanchang，Liu Hanqing, et al. Non-Linear Pre-Stack Seismic AVA Inversion Based on Bayesian Theory Using Successive Iteration Method.Journal of Jilin University:Earth Science Edition,2014,44(6):2026-2033.doi:10.13278/j.cnki.jjuese.201406302.