廣義猶豫模糊信息集成及其多屬性群決策

胡冠中，周志剛

天津大學管理與經濟學部，天津 300072

廣義猶豫模糊信息集成及其多屬性群決策

胡冠中，周志剛

天津大學管理與經濟學部，天津 300072

1 引言

多屬性群決策[1]是管理科學與決策科學相交叉的研究方向，其基本理論和決策方法已廣泛應用于經濟管理、模式識別、醫療診斷、投資風險等領域，因此，對多屬性群決策問題的研究有著重要的理論意義和實用價值。由于客觀事物的復雜性、不確定性以及人類思維的模糊性，采用確定的信息來刻畫復雜問題在很多情況下并不現實，也不符合實際，因此Zadeh首先提出了模糊集（FS）[2]的概念，自此之后，模糊集理論就廣泛地應用于各個領域。之后，人們提出了模糊集的幾種廣義形式，包括：區間模糊集[3]、直覺模糊集[4]、區間直覺模糊集[5]以及猶豫模糊集[6]等等。

算子理論是模糊理論中的一個重要組成部分。基于算術集成方法[7-10]，徐澤水和Yager提出了幾種新的直覺模糊算數集成算子和直覺模糊幾何集成算子[11-13]。文獻[14]提出了區間直覺模糊算數平均算子，并且將其應用于區間直覺模糊環境下的多屬性決策過程中。基于猶豫模糊集和直覺模糊集間的關系，夏梅梅和徐澤水[15]提出了猶豫模糊信息集成算子。Wang和Liu[16]基于Einstein運算，提出了（區間）直覺模糊Einstein加權平均算子、（區間）直覺模糊Einstein加權幾何算子、（區間）直覺模糊Einstein有序加權平均算子、（區間）直覺模糊Einstein有序加權幾何算子等，同時研究了這些算子間的關系與各種性質。

上述的模糊信息集成算子都是基于阿基米德T-范數和S-范數[17]的某種特殊運算提出的。基于此，本文將阿基米德T-范數和S-范數理論運用到猶豫模糊多屬性群決策問題中，提出了廣義的猶豫模糊有序加權平均算子，并詳細討論了它的性質，同時研究了這類算子的幾類特殊形式，最后基于提出的廣義信息集成算子構建了一種新的猶豫模糊多屬性群決策方法，并將其應用于區域經濟協調發展研究過程中。

2 相關概念

定義2.1[6]令X={x1,x2,…,xn}為一個給定的集合。形如

的二元組稱為X上的猶豫模糊集（HFS）。其中(xj)是由區間[0,1]上若干個不同的數構成的集合，表示集合X中元素xj屬于集合A的若干種可能隸屬度。

定義2.5[17]如果一個T-范數T(x,y)在定義域內連續，且滿足對?x∈(0,1)，有T(x,x)＜x，則稱T(x,y)是一個阿基米德T-范數。如果一個S-范數S(x,y)在定義域內連續，且滿足對?x∈(0,1)，有S(x,x)＞x，則稱S(x,y)是一個阿基米德S-范數。

由文獻[17]可知，阿基米德T-范數T(x,y)可用加性算子g(x)表示為如下形式：

類似的，阿基米德S-范數S(x,y)可以表示為：

這里h(t)=g(1-t)。由于加性算子g(x)是一個嚴格單調遞減函數，且滿足g(1)=0[17]，則h(x)是一個嚴格單調遞增函數，且h(0)=0,h(1)=1。

基于上述的阿基米德S-范和T-范數，定義如下的廣義猶豫模糊運算法則。

3 廣義猶豫模糊有序加權平均算子及其性質

本章將基于上文中定義的猶豫模糊運算法則，提出廣義猶豫模糊信息集成算子，并研究其優良性質。

為了得到廣義猶豫模糊有序加權平均算子的具體表達形式，并且證明其集成結果仍是一個猶豫模糊元，則有以下定理。

即當n=k+1時，等式（5）成立。因此，對于所有的n，等式（5）成立。

（2）接下來，將證明通過廣義猶豫模糊有序加權平均算子得到的集成結果仍是一個猶豫模糊元。

即通過廣義猶豫模糊有序加權平均算子得到的集成結果仍是一個猶豫模糊元。

綜上，定理得證。

G-HFOWA算子具有單調性、冪等性、有界性以及置換不變性等性質。

4 廣義猶豫模糊有序加權平均算子的幾類特殊形式

如果對加性算子g賦予某些特定形式的函數，則可以得到一些常用的T-范數和S-范數，進而可以得到幾類常見的猶豫模糊信息集成算子。

特別地，當λ→1時，HFFOWA算子就轉化為HFOWA算子。

5 基于廣義猶豫模糊有序加權平均算子的多屬性群決策方法及其在區域經濟協調發展研究中的應用

步驟5基于綜合屬性值(i=1,2,…,m)的序關系選擇最優備選方案。越大，對應的備選方案Yi越優。

例：區域經濟是在一定區域內經濟發展的內部因素與外部條件相互作用而產生的生產綜合體，每一個區域的經濟發展都受到地方教育資源C1、社會經濟條件C2、技術條件C3及人文環境C4等因素的制約。某一區域的經濟發展和改革委員會欲研究本地區所屬的五個轄區Yi(i=1,2,3,4,5)在上述屬性指標集C={C1,C2,C3,C4}下的經濟發展狀況。已知屬性指標集中各個因素指標的權重向量為w=(0.3,0.2,0.4,0.2)T。該區域的經濟發展和改革委員會聘請若干專家對所屬的五個轄區Yi(i=1,2,3,4,5)分別在上述四種屬性因素下的表現進行評價，并給出了表1中的猶豫模糊決策矩陣=(j)5×4，其中(i=1,2,3,4,5;j=1,2,3,4)為猶豫模糊元。為了選出所屬的五個轄區中經濟能力最強勁、表現最優的轄區，將運用本文提出的多屬性群決策方法，具體步驟如下：

步驟1由于所有的屬性因素Cj(j=1,2,3,4)都為效益型，則決策矩陣不需要進行標準化。

步驟2基于表1中的猶豫模糊決策矩陣～=()5×4，為了簡化起見，運用HFHOWA算子（即公式（23）（不失一般性，令λ=1）將五個轄區Yi(i=1,2,3,4,5)的所有屬性值j(j=1,2,3,4)集結為綜合屬性值(i=1,2,3,4,5)，集成結果如表2所示。

表1 猶豫模糊決策矩陣D＝5×4

表1 猶豫模糊決策矩陣D＝5×4

C1C2C3C4 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 {0.5} {0.3，0.8} {0.4，0.7} {0.4，0.5，0.6} {0.6，0.9} {0.3，0.5} {0.4，0.7} {0.5} {0.7} {0.6} {0.6，0.8} {0.8} {0.8，0.9} {0.5，0.8} {0.7，0.9} {0.5} {0.4，0.6} {0.7} {0.9} {0.8}

表2 利用HFHOWA算子集結得到的各轄區綜合屬性值

步驟3計算五個轄區綜合屬性值(i=1,2,3,4,5)的得分函數s()(i=1,2,3,4,5)，結果見表3。

表3 各所屬轄區綜合屬性值的得分函數

步驟4依據定義2.2，將綜合屬性值(i=1,2,3,4,5)進行大小排序，如表4所示。

表4 各綜合屬性值的排序結果

步驟5根據綜合屬性值(i=1,2,3,4,5)的序關系對所屬五個轄區Yi(i=1,2,3,4,5)進行優劣排序，見表5。從表5可知，利用HFHOWA算子集成得到的經濟能力最強勁、表現最優的轄區為Y5，其結果與應用文獻[15]中的決策方法所得到的結果一致。

表5 備選方案的排序結果

6 結論

目前，猶豫模糊環境下的信息集成算子已出現在很多文獻中，但是都沒有將這些算子進行推廣統一。本文基于阿基米德T-范數和S-范數，首先定義了廣義猶豫模糊運算法則，接著提出了廣義猶豫模糊有序加權平均算子，并研究了其性質，包括：單調性、冪等性、有界性以及置換不變性；接著探討了廣義猶豫模糊有序加權平均算子的幾類常見的形式，如：猶豫模糊有序加權平均算子、猶豫模糊Einstein有序加權平均算子等等；在猶豫模糊環境下，基于廣義猶豫模糊有序加權平均算子構建了一種新的多屬性群決策方法，并將其運用于區域經濟協調發展研究過程中。

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HU Guanzhong,ZHOU Zhigang

College of Management and Economics,Tianjin University,Tianjin 300072,China

Based on the Archimedean t-norm and s-norm,the generalized hesitant fuzzy information aggregation operator is proposed under hesitant fuzzy environment,and a new method for multi-attribute group decision making is developed. The generalized hesitant fuzzy operational laws are defined,which is based on the Archimedean t-norm and s-norm.The generalized hesitant fuzzy ordered weighted averaging operator is proposed,and then discusses some of its desirable properties in detail.Discuss in some special circumstances,the generalized hesitant fuzzy ordered weighted averaging operator will be convert into some common hesitant fuzzy information aggregation operators,such as hesitant fuzzy ordered weighted averaging operator,hesitant fuzzy Einstein ordered weighted averaging operator,hesitant fuzzy Hamacher ordered weighted averaging operator and hesitant fuzzy Frank ordered weighted averaging operator.A new approach to hesitant fuzzy multi-attribute group decision making is presented based on the proposed operator,and then apply the developed approach to research on the coordinated development of regional economy,and illustrate the behavior of the proposed approach.

hesitant fuzzy set;multi-attribute group decision making;Archimedean t-norm and s-norm;aggregation operator

在猶豫模糊環境下，主要研究了基于阿基米德范數的廣義信息集成算法，并提出了一種新的多屬性群決策方法。基于阿基米德T-范數和S-范數，定義了廣義猶豫模糊運算法則；運用新定義的廣義猶豫模糊運算法則，提出了廣義猶豫模糊有序加權平均（G-HFOWA）算子，研究了其優良性質；探討了在某些特殊情況下，廣義猶豫模糊有序加權平均算子將轉化為一些常見的猶豫模糊信息集成算子，包括猶豫模糊有序加權平均算子、猶豫模糊Einstein有序加權平均算子、猶豫模糊Hamacher有序加權平均算子以及猶豫模糊Frank有序加權平均算子；基于廣義信息集成算子，構建了一種新的猶豫模糊多屬性群決策方法，并將其應用于區域經濟協調發展研究過程中，以驗證提出的決策方法是可行的與有效的。

猶豫模糊集；多屬性群決策；阿基米德T-范數和S-范數；集成算子

A

O22

10.3778/j.issn.1002-8331.1407-0370

HU Guanzhong,ZHOU Zhigang.Generalized hesitant fuzzy information aggregation and applications to multi-attribute group decision making.Computer Engineering and Applications,2014,50（22）：38-42.

教育部科學研究重大課題攻關項目（No.11JZD038）。

胡冠中（1985—），男，博士研究生，研究方向：管理科學，區域經濟；周志剛（1950—），男，博士，博士生導師，教授，研究方向：管理科學，人力資源開發與管理。E-mail：shexian19880129@163.com

2014-07-23

2014-09-09

1002-8331（2014）22-0038-05

CNKI網絡優先出版：2014-10-21,http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1407-0370.html

◎理論研究、研發設計◎