基于FRFT與Keystone變換的運動目標參數估計算法

田瑞琦 鮑慶龍 王丁禾 陳曾平

(國防科技大學自動目標識別重點實驗室 長沙 410073)

基于FRFT與Keystone變換的運動目標參數估計算法

田瑞琦*鮑慶龍 王丁禾 陳曾平

(國防科技大學自動目標識別重點實驗室 長沙 410073)

目標運動參數估計精度是衡量雷達探測系統性能的重要指標。該文為解決目標運動參數的估計問題，建立了運動目標回波模型，在利用分數階傅里葉變換(FRFT)估計加速度的過程中采用數據融合提高估計精度，在估計出加速度的基礎上通過Keystone變換和速度模糊通道解決距離走動(RCM)和多普勒模糊問題。仿真實驗表明算法在估計精度和計算量上具有優勢，并且對白噪聲具有較好的魯棒性。

分數階傅里葉變換(FRFT)；Keystone變換；參數估計；多普勒模糊

1 引言

在雷達探測系統中，回波相位特性[1]取決于目標相對雷達的運動關系。恒定的速度產生恒定的頻移，恒定的加速度產生恒定的線性調頻項。當目標相對于雷達做勻加速直線運動時目標回波為 LFM (Liner Frequency Modulation)信號，并且 LFM信號的參數與目標運動參數密切相關，因此可將目標運動參數估計問題轉化為 LFM 信號的參數估計問題。

近些年來出現了多種利用時頻分析對LFM信號參數進行估計的算法。例如，Wigner-Vile變換將原本的1維信號在2維時頻平面上顯示出來，文獻[2]中指出LFM信號的Wigner-Vile分布為沿直線分布的沖激線譜，具有很好的時頻凝聚性，但在處理多信號分量時，會出現分量間的交叉項問題，雖然通過核函數能夠將其抑制，但LFM信號的時頻凝聚性大大降低，嚴重影響參數估計精度。文獻[3,4]聯合Wigner-Vile分布和Hough變換對LFM信號的Wigner-Vile時頻分布平面做直線積分，該算法雖然解決了交叉項問題，但因為Hough變換的引入使得算法的運算速度變慢，并且在計算過程中丟掉了信號的初始相位。文獻[5]利用 FRFT (FRactional Fourier Transform)來估計目標運動參數，其實質為信號的時頻分布在 FRFT域上的投影，該算法運算量遠小于文獻[3,4]的運算量，但FRFT無法估計目標初始距離，并且對于高速運動目標還存在著多普勒模糊問題。文獻[6]采用Radon變換與 FRFT變換相結合的方法，避免了多普勒模糊問題的出現，并且在低信噪比的條件下能夠很好地實現多個運動目標的檢測與參數估計，但算法在實現過程中計算量較大，難以滿足工程實現的實時性的要求。

本文提出一種聯合FRFT與Keystone變換的方法估計目標運動參數。首先對目標回波做FRFT估計加速度，并在此過程中利用數據融合增強目標信號的能量凝聚性以提高估計精度。在加速度補償之后的距離多普勒平面內分析了距離走動和多普勒模糊問題，通過 Keystone變換矯正距離走動，并對設定的多個模糊通道進行搜索解除多普勒模糊，從而估計出目標初始速度和初始距離，最后通過仿真實驗驗證算法的有效性。

2 基本原理

2.1 回波信號建模

假設目標相對雷達做勻加速直線運動，初始位移為R0，初始速度為v0，加速度為a，則接收到的基帶回波信號為：

式中t代表快時間， tm=mTr代表慢時間，發射信號的表達式為 p(t)=rect(t/Tp),Tr為脈沖重復間隔，目標時延

可見，當雷達發射Chirp脈沖信號時，慢時間域目標回波為LFM信號，并且調頻率為(2a)/λ，中心頻率為(2v0)/λ。因此對目標運動參數的估計可以轉化為對該LFM信號參數的估計。

2.2 分數階傅里葉變換原理

信號x(t)的FRFT的定義為：

圖1顯示了LFM信號時頻分布與FRFT變換的關系。在時頻平面上，時間軸沿逆時針方向旋轉π/2后便是頻率軸。當p等于0時FRFT就是原信號，也就是信號在時間軸上的表示。p等于 1時FRFT則是原信號的傅里葉變換，也是信號在頻率軸上的表示。當p從0變化到1時，信號平滑地從原始信號變化到傅里葉變換，因此信號的p階FRFT可以認為是該信號在p階分數階傅里葉變換域中的表示，而p階分數階傅里葉變換域正是時頻平面內時間軸逆時針方向旋轉 α= (π/2)p 角度后得到的，見圖1中的u軸。

2.3 Keystone變換原理

Keystone變換[7]能夠較好地解決徑向勻速直線運動目標在長時間積累過程中出現的跨距離單元走動問題，使得不同回波的能量在同一個距離單元內得到積累。

對式(1)在快時間域做傅里葉變換得到

Keystone變換通過設定虛擬時間解快時間頻域與慢時間域的耦合關系，虛擬時間τm= ((f+fc)/fc)tm，將其代入式(6)后乘以脈沖壓縮函數得到

其中 fd=(2v0)/λ表示目標的多普勒頻率，對式(7)做快時間域逆傅里葉變換得到

圖1 LFM信號時頻分布與FRFT變換的關系Fig. 1 Relationship of time frequency distribution and FRFT of LFM signal

由式(8)可見，Keystone變換后脈沖壓縮結果中不同回波的峰值對應時刻均為 tpeak=R0/c，這表明不同回波的能量集中在同一個距離單元內，因此距離走動得到補償。

3 聯合FRFT和Keystone變換的雷達信號處理方法

3.1 基于FRFT的目標加速度估計算法

LFM信號在時頻平面上表現為背鰭形直線，如圖1所示，直線與頻率軸的交點表示初始頻率f0，斜率為LFM信號的調頻率u0。在某一特定的FRFT域上信號能量凝聚性最佳，又由于噪聲的能量均勻分布于時頻平面，不會出現能量凝聚現象。因此以旋轉角度α為變量，以某一步長遍歷一個角度周期后得到信號在不同u域上的表示，形成變量為α和u的2維參數空間，該參數空間內LFM信號的能量會在某一點處形成峰值，當峰值超過某一閾值證明回波中存在目標，設峰值點坐標為(α0,u0)。由圖1中幾何關系可知

由式(2)和式(9)可知目標的加速度與LFM信號調頻率的關系式為：

利用式(10)求解目標加速度時還應考慮信號處理過程中數據離散化問題。離散分數階傅里葉變換的實現算法有很多，其中Ozaktas提出的分解型快速算法[8]被廣為應用，該算法將FRFT分解為卷積的形式，其輸出與連續FRFT的輸出比較接近。在算法起初需要對離散數據進行量綱歸一化處理，歸一化處理分尺度變換方法和數據補零/截取法兩種。本文選用尺度變化法來實現量綱歸一化，這使得變換前后數據發生了畸變，因此在求得調頻率和初始頻率之后還需要利用尺度因子進行反變換才能得到真實的LFM信號參數。由尺度因子為S=，則目標真實加速度表達式為：

3.2 基于FRFT的數據融合與檢測

當信噪比較低時即使回波中存在目標，單組慢時間域回波信號做 FRFT后其能量凝聚效果也達不到檢測概率的要求，因此需要利用多組慢時間域信號進行數據融合，增強能量凝聚性，以提高檢測概率。本文針對兩種數據融合準則[9]，根據本文特定的應用背景選擇有效的數據融合方法。

單元選大準則是對多組FRFT 2維參數空間中每個單元進行選大處理，其表達式為：

選大操作使得采樣幅度損失小，但對噪聲也做了選大處理，當回波信噪比較低時參數空間內沒有明顯的能量積累峰值，因此單元選大準則不適合本文的應用條件。

單元求和準則是對多個參數空間結果的疊加，其表達式為：

單元求和準則將各組數據中目標和噪聲都疊加，但目標的相關性遠大于噪聲的相關性，噪聲均勻分布于時頻平面，目標則表現出凝聚性，因此疊加后信噪比較大。在本文應用背景下，各組數據中局部信噪比差異較小，因此選取單元求和準則來對多組慢時間域信號做數據融合處理。

3.3 基于Keystone變換的目標初始速度和初始距離估計算法

依照前兩小節算法利用 FRFT估計目標加速度后對基帶回波做2次相位補償，補償后的回波中只有1次相位，可將其看做勻速直線運動目標的回波。通過 Keystone變換補償距離走動后在慢時間域做多普勒處理，由距離多普勒平面峰值便可求得目標初始速度和初始距離。當存在多普勒模糊時，同樣可以實現距離補償。假設模糊多普勒頻率為fda，則目標真實的多普勒頻率為：

k表示多普勒模糊數，最大模糊數根據目標的速度范圍來設定。將式(14)代入式(7)中的多普勒指數項得

而式(7)中的fd實際上是模糊后的多普勒頻率fda，因此對(7)需要乘以補償因子exp(j2πkfrτm)后再分別對各模糊通道做慢時間域傅里葉變換，目標的多普勒模糊數與所有通道中最大峰值所在的多普勒通道號相對應，這樣便可解除欠采樣帶來的多普勒模糊，并求得目標真實的多普勒頻率。

根據第3節的描述可將本文運動目標參數估計算法的步驟概括如下：

(1) 提取N組慢時間域回波信號做FRFT得到N個2維參數空間，利用單元疊加融合準則對N個FRFT的2維參數空間做數據融合，增大目標回波的能量凝聚性。

(2) 若數據融合后2維參數空間中的峰值超過某一經驗閾值T1便證明回波中存在目標，利用峰值處的坐標和式(11)便可以估計出目標的加速度a?。

(3) 利用估計出的加速度a?將原始基帶回波中的2次相位項補償掉，此時補償后的回波可以看成是勻速直線運動目標的回波，對其做匹配濾波同時利用Keystone變換補償距離走動。為解除多普勒模糊，在Keystone變換之前設定K個模糊通道，分別對每個通道的數據平面做匹配濾波和 Keystone變換。

(4) 將K個多普勒模糊通道分別做上述處理，再對慢時間維做FFT得到K個2次相位補償后不同模糊通道的距離多普勒平面。K個平面中峰值最大處對應的多普勒通道號便是目標的多普勒模糊數，再根據該峰值坐標便可估計出目標的初始速度和初始距離。

本文算法信號處理流程圖如圖2所示。

4 仿真實驗

4.1 數據融合與加速度估計實驗

圖2 本文算法信號處理流程圖Fig. 2 Flow chart of proposed algorithm

系統參數設置如表1所示。數據融合前單組慢時間域回波的FRFT 2維參數空間如圖3所示，30組回波數據融合后的參數空間如圖 4。對比兩幅圖可以看出信噪比為-20 dB時，單組回波做 FRFT后目標能量凝聚性還不足以達到檢測要求，但從多組回波數據融合的結果來看目標被突顯出來，證明數據融合能增強目標回波的能量凝聚性。

表1 系統參數設置Tab. 1 Set of system parameters

在不同信噪比條件下，經過1000次 Monte Carlo仿真實驗，目標加速度估計的平均相對誤差如表2所示。由表中數據可知，誤差隨信噪比的增大呈遞減趨勢，當信噪比高于-15 dB時，平均相對誤差基本低于0.03，估計精度已達到較高水平，當信噪比高于5 dB時，加速度平均相對誤差在一個很小的范圍之內波動。可見FRFT在能量凝聚性方面具有突出優勢，適用于低信噪比條件下的運動目標檢測與參數估計。

4.2 初始速度和初始距離估計實驗

按照表1中的目標參數設置，目標速度已超過無模糊速度v=(λfr)/4=136.3 m/s ，因此存在速度模糊。若在加速度補償后不矯正距離走動直接做動目標檢測(MTD)處理，其結果如圖5所示。圖6為加速度補償之后利用 Keystone變換矯正距離走動并解除速度模糊后得到的最佳積累結果。圖5中目標能量分散，并且由于速度模糊沒有解除，無法根據多普勒頻率估計出目標運動速度。圖6中目標能量在某一個距離單元中得到積累，距離單元走動得以矯正，并且由于多普勒通道的設置解除了速度模糊，由此可準確估計出目標的真實初始速度。

4.3 不同參數估計算法的對比實驗

文獻[10]根據先驗信息在一定范圍內搜索加速度和速度，通過2次相位和1次相位補償的方法估計目標參數。文獻[11,12]利用Hough變換的思想將目標的直線航跡與參數空間中的點對應起來，從參數空間中點累加峰值反推目標運動參數。本節通過不同信噪比下的仿真實驗來比較各算法參數估計精度。

圖3 數據融合前的FRFT 2維參數空間Fig. 3 Parameter space of FRFT before data fusion

圖4 數據融合后的FRFT 2維參數空間Fig. 4 Parameter space of FRFT after data fusion

表2 信噪比對參數估計精度的影響Tab. 2 Influence of SNB on parameter estimation

圖5 加速度補償后直接MTD積累結果Fig. 5 Accumulation result of MTD after acceleration compensation

圖6 本文算法積累結果Fig. 6 Accumulation result of the proposed method

圖7 加速度誤差曲線Fig. 7 Error curve of acceleration

圖8 速度誤差曲線Fig. 8 Error curve of velocity

圖9 距離誤差曲線Fig. 9 Error curve of range

圖7-圖9為參數最小分辨單元相同的情況下，信噪比對參數估計精度的影響曲線。從圖7和圖8可見當信噪比高于-21 dB時，本文算法對加速度、初始速度的估計結果都優于文獻[10]和文獻[11]算法，并且本文算法和文獻[10]算法的相對誤差隨信噪比的增大呈下降趨勢，而文獻[11]算法由于二元化處理使得算法本身對噪聲不敏感，在信噪比觀察區間內相對誤差的波動很小。從圖9可以看出3種算法對距離的估計誤差都維持在一個相對較低的水平，信噪比的變化對距離估計誤差的影響很小，并且本文算法誤差最小。

從運算量上來分析，文獻[10]算法需要在加速度和速度2維參數空間中搜索最佳補償參數，在參數最小分辨單元相同的條件下，其運算量隨搜索范圍的增大而增大。在目標運動信息先驗未知的情況下搜索參數范圍較大，算法的運算量較大。同樣，文獻[11]算法在本文勻加速直線運動情況下搜索空間為3維，加上目標運動信息先驗未知，使得算法運算復雜度顯著增加。而本文算法只存在分數階傅里葉變換中階次p的1維搜索以及少數多普勒模糊通道的搜索，其運算量遠小于上述兩者。

5 結束語

本文為解決徑向勻加速直線運動目標的參數估計問題，通過分數階傅里葉變換估計目標的加速度，然后對 2次相位補償后的回波數據利用 Keystone變換矯正距離走動，并設定多個模糊通道解除速度模糊，最終估計目標初始速度和距離。通過仿真實驗，證明了本文算法在估計精度和運算量上的優勢，并且對噪聲具有較好的魯棒性。

[1]陶然, 齊林, 王躍. 分數階 Fourier的原理與應用[M]. 北京:清華大學出版社, 2004: 60-90.

Tao Ran, Qi Lin, and Wang Yue. Theory and Applications of the Fractional Fourier Transform[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2004: 60-90.

[2] Peleg S and Porat B. Linear FM signal parameter estimation from discrete-time observations[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronics System, 1991, 27(4): 607-616.

[3]關欣, 仲利華, 胡東輝, 等. 一種基于RSPWVD-Hough變換的無源雷達多普勒展寬補償方法[J]. 雷達學報, 2013, 2(4): 430-438.

Guan Xin, Zhong Li-hua, Hu Dong-hui, et al.. A compensation algorithm based on a RSPWVD-Hough Transform for Doppler expansion in passive radar[J]. Journal of Radars, 2013, 2(4): 430-438.

[4] Geroleo F G and Brandt-Pearce M. Detection and estimation of LFMCW radar signals[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2012, 48(1): 405-418.

[5] Guan Jian, Chen Xiao-long, Huang Yong, et al.. Adaptive fractional Fourier transform-based detection algorithm for moving target in heavy sea clutter[J]. IET Radar, Sonar & Navigation, 2012, 6(5): 389-401.

[6] Chen Xiao-long, Guan Jian, Liu Ning-bo, et al.. Maneuvering target detection via radon-fractional Fourier transformbased long-time coherent integration[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2014, 62(4): 939-953.

[7] Kirkland D. Imaging moving targets using the second-order keystone transform[J]. IET Radar, Sonar & Navigation, 2011, 5(8): 902-910.

[8] Ozaktas H M, Arikan O, Kutay M A, et al.. Digital computation of the fractional Fourier transform[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1996, 44(9): 2141-2150.

[9] Nassar M O, Kanaan G, and Awad H A H. Framework for analysis and improvement of data-fusion algorithms[C]. IEEE International Conference on Management and Engineering, Chengdu, 2010: 379-382.

[10]Liu Xiao-bei, Fan Fang-fang, Cao Bao-long, et al.. Parameter estimation of LFM signal based on CAPON and Onedimensional Dechirp[C]. IEEE Conference on TENCON, Xi’an, 2013: 1-4.

[11]Moqiseh A and Nayebi M M. Combinational Hough transform for surveillance radar target detection in a 3-D data map[C]. IEEE Radar Conference, Rome, 2008: 9-12.

[12]Carlson B, Evans E, and Wilson S L. Search radar detection and track with the Hough transform, Part Ⅲ: detection performance with binary integration[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1994, 30(1): 116-125.

田瑞琦(1990-)，女，湖南常德人，現為國防科學技術大學電子科學與工程學院碩士生，主要從事雷達信號處理等方面的研究。

E-mail: tianruiqi050804@126.com

鮑慶龍(1981-)，男，吉林梅河口人，國防科學技術大學電子科學與工程學院講師，主要從事雷達信號處理方面的研究。

E-mail: cbpest@163.com

王丁禾(1989-)，男，山東棗莊人，國防科學技術大學電子科學與工程學院博士生，主要從事雷達信號處理方面的研究。

E-mail: wdhtsh81@163.com

陳曾平(1967-)，男，福建福清人，教授，博士，博士生導師，國家 863專家組專家，國防科技大學電子科學與工程學院 ATR國防科技重點實驗室副主任，主要從事雷達信號處理、自動目標識別等方面的研究。

E-mail: atrchen@sina.com

An Algorithm for Target Parameter Estimation Based on Fractional Fourier and Keystone Transforms

Tian Rui-qi Bao Qing-long Wang Ding-he Chen Zeng-ping
(ATR Key Laboratory National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

An important standard to measure the effectiveness of radar acquisition systems is the accuracy of target parameter estimation. To solve the estimation problem, the echo model of moving targets is established and the FRactional Fourier Transform (FRFT) is subsequently used to estimate the acceleration; further, data fusion is used to raise estimation accuracy. Finally, Range Cell Migration (RCM) and Doppler ambiguity are solved by using the Keystone transform and the ambiguity channels based on the estimated acceleration. The simulation results show high accuracy, complexity, and noise robustness.

FRactional Fourier Transform (FRFT); Keystone transform; Parameter estimation; Doppler ambiguity

TN957

A

2095-283X(2014)05-0511-07

10.3724/SP.J.1300.2014.14058

2014-03-27收到，2014-07-10改回；2014-09-05網絡優先出版國家自然科學基金青年科學基金項目(81401489)資助課題

*通信作者： 田瑞琦 tianruiqi050804@126.com