六角形格林函數節塊法

安 萍，姚 棟

(中國核動力研究設計院 核反應堆系統設計技術重點實驗室，四川 成都 610041)

近二十多年來，求解多維中子擴散方程的粗網格計算方法得到廣泛發展，其中矩形先進節塊方法的發展和應用尤為成功。Lawrence等[1-2]成功發展了矩形節塊格林函數方法(NGFM)，并通過大量例題驗證了理論及程序的正確性和高效性。隨著采用六角形幾何的快堆的發展和俄羅斯VVER型壓水堆的應用，六角形節塊法的研究也日益得到重視，將先進矩形節塊法推廣到六角形節塊有非常重要的意義。

Chao等[3]研制的六角形節塊擴散程序ANC-H是目前公認的國際上精度最高的六角形節塊程序。程序采用保角變換思想將六角形幾何變換為矩形幾何。本文采用該保角變換將六角形節塊變換為矩形節塊，對變換后的矩形節塊擴散方程進行橫向積分。并應用第二類邊界條件的格林函數法，建立六角形節塊各表面凈中子流為未知量的空間耦合方程，采用剩余權重源迭代方法進行求解。研制三維多群六角形格林函數堆芯程序NACK，采用大量基準題對其進行驗證，并與國際上相應程序的計算結果進行比較。

1 保角變換

保角變換是一種特殊映射，它保持任一點鄰域內變換前后的伸縮性和旋轉角不變，并保持角的定向。存在六角形到矩形的保角變換因子f[3]。圖1示出變換前后對應點的關系，其中a和b為矩形長和寬。拉普拉斯算子在保角變換下形式不變，即：

(1)

圖1 六角形節塊到矩形節塊的保角變換

三維六角形節塊擴散方程(式(2))經保角變換為矩形節塊擴散方程(式(3))。

(x,y,z)+

(2)

(3)

±

(4)

(5)

2 六角形格林函數程序模型

對式(3)沿v、z兩個方向積分，得到橫向積分方程：

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

采用剩余權重法求解上式，將偏中子通量密度和橫向泄漏項在節塊內用二階Legendre正交多項式Pn-1(u)(n=1,2,3)展開，有：

(14)

(15)

則中子源項為：

(16)

3 數值驗證

3.1 不帶反射層的二維VVER-1000基準題

不帶反射層的二維VVER-1000基準題[4]的堆芯有8圈燃料組件，全堆芯共插25束控制棒，堆芯1/6旋轉對稱，組件的對邊距為23.6 cm，燃料組件外的反射層未參與計算。采用兩種反照率β=0.6和0模擬“真實邊界”和“真空邊界”。

圖2分別示出在β=0.6和0兩種情況下，NACK程序計算所得的有效增殖因數和堆芯歸一化功率分布(參考值由細網差分程序DIF3D-FD[4]計算得到)。表1為各程序對該基準題計算結果的比較。其中，AFEN程序由Cho等[5]研制，采用解析基函數節塊展開法；HEXNOD23程序由Grundmann[6]開發，也采用解析節塊法，將中子通量密度展開成三角函數和貝塞爾函數乘積；SIXTUS-2程序是Arkuszewski[7]基于對稱性原理開發的六角形解析節塊程序。計算結果顯示，NACK計算結果良好，與ANC-H精度相當。

圖2 NACK計算的不帶反射層VVER-1000基準題的堆芯功率分布

表1 不帶反射層VVER-1000基準題各程序計算結果的比較

3.2 三維VVER-440基準題

三維VVER-440基準題[8]是二維VVER-440基準題的擴展。堆芯高度為250 cm，在堆芯的頂部和底部分別加25 cm厚的反射層。另外，堆芯內的所有控制棒均上提到堆芯中部。堆芯外邊界全部為真空邊界。

圖3為NACK程序計算所得的有效增殖因數和堆芯歸一化組件功率分布(參考值由細網差分程序DIF3D-FD[4]計算得到)。表2為針對該基準題各程序計算結果的比較，可看出，NACK程序與這些程序的計算精度相當。其中，GTDIF-H是張少泓[8]利用六角形幾何對稱性和群論方法研制的節塊法程序，GTDIF-H數據來自文獻[8]，ANC-H和AFEN的數據來自文獻[9]。

圖3 NACK計算的三維VVER-440基準題的堆芯功率分布

3.3 帶不連續因子的二維基準題

帶不連續因子的二維基準題[10]有151個燃料組件，帶水反射層，組件對邊距22.4 cm。燃料組件含有UO2和MOX燃料。該堆芯的布置為1/12反射對稱，采用零通量密度邊界條件。

圖4為程序NACK計算所得的keff和堆芯功率分布(陰影部分為MOX燃料)。其中，參考值是細網差分程序VENTURE的計算結果，是將每個六角形節塊剖分成1 352個子節塊計算得到的。表3列出各程序計算結果的比較(表中AFEN、HEXMED數據取自文獻[11])。HANDF[10]為帶不連續因子的解析節塊法。

表2 三維VVER-1000基準題各程序計算結果的比較

圖4 NACK計算的含不連續因子的基準題的堆芯功率分布

表3 帶不連續因子的基準題各程序計算結果的比較

4 結論

本文根據保角變換思想和格林函數法，提出了新型帶不連續因子的三維多群六角形節塊方法模型，將格林函數節塊法成功應用于六角形幾何，并根據理論模型編制了三維多群穩態中子擴散程序NACK，通過基準題的計算，驗證了理論模型和程序的正確性。下一步將實現NACK程序的加速計算和功率重構功能，并編制相應的時空動力學瞬態程序。

感謝上海交通大學趙榮安教授在程序模型研究中提供的幫助和指導。

參考文獻：

[1] LAWRENCE R D. A nodal Green’s function method for multidimensional neutron diffusion calculations[D]. US: University of Illinois, 1979.

[2] 胡永明，趙險峰. 第二類邊界條件先進格林函數節塊法[J]. 清華大學學報：自然科學版，1998，38(4)：17-21.

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[3] CHAO Y A, TSOULFANIDIS N. Conformal mapping and hexagonal nodal methods, Ⅰ: Mathematical foundation[J]. Nucl Sci Eng, 1995, 121(2): 202-211.

[4] CHAO Y A, SHATILLA Y A. Conformal mapping and hexagonal nodal methods, Ⅱ: Implementation in the ANC-H code[J]. Nucl Sci Eng, 1995, 121(2): 212-225.

[5] CHO N Z, KIM Y H. Extension of analytic function expansion nodal method to multi-group problems in hexagonal-Zgeometry[J]. Nucl Sci Eng, 1997, 126(3): 35-47.

[6] GRUNDMANN U. HEXNOD23: A two and three dimensional nodal code for neutron flux calculation of thermal reactors with hexagonal geometry, ZFK-557[R]. [S. l.]: [s. n.], 1985.

[7] ARKUSZEWSKI J J. SIXTUS-2: A two-dimensional multi-group diffusion code in hexagonal geometry[J]. Progress in Nuclear Energy, 1986, 18(2): 123-130.

[8] 張少泓. 六角形節塊三維多群時-空中子動力學方程組的數值解法及群論在六角形節塊方法中的應用研究[D]. 西安：西安交通大學，1997.

[9] CHO J Y, KIM C H. Polynomial expansion nodal method for hexagonal core analysis[J]. Tran Am Nucl Soc, 1995, 73(1): 179-185.

[10] 倪東洋，咸春宇. 應用不連續因子修正的六角形解析節塊方法[J]. 核動力工程，2010，31(2)：1-5.

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[11] CHO N Z, NOH J M. Analytic function expansion nodal method for hexagonal geometry[J]. Nucl Sci Eng, 1995, 121(3): 245-253.