強調數學思維 完善數學教學

羅仁娜

【摘要】“幫助學生學會基本的數學思想方法”是新一輪數學課程改革所設定的一個基本目標。以國際上的相關研究為背景，對小學數學教學中如何突出數學思維進行具體分析表明，即使是十分初等的數學內容也同樣體現了一些十分重要的數學思維形式及其特征性質。

【關鍵詞】數學思維；小學數學教學；強調；完善

1數學化：數學思維的基本形式

眾所周知，強調與現實生活的聯系正是新一輪數學課程改革的一個重要特征。“數學課程的內容一定要充分考慮數學發展進程中人類的活動軌跡，貼近學生熟悉的現實生活，不斷溝通生活中的數學與教科書上數學的聯系，使生活和數學融為一體。”就努力改變傳統數學教育嚴重脫離實際的弊病而言，這一做法是完全正確的；但是，從更為深入的角度去分析，我們在此則又面臨著這樣一個問題，即應當如何去處理“日常數學”與“學校數學”之間的關系。事實上，即使就最為初等的數學內容而言，我們也可清楚地看到數學的抽象特點，而這就已包括了由“日常數學”向“學校數學”的重要過渡。例如，就加減法運算而言，由于其中涉及三個不同的量（兩個加數與它們的和，或被減數、減數與它們的差），因此，從純數學的角度去分析，我們完全可以提出這樣的問題，即如何依據其中的任意兩個量去求取第三個量。例如，就“量的比較”而言，除去兩個已知數的直接比較以外，我們顯然也可提出：“兩個數的差是3，其中較小的數是4，問另一個數是幾？”或者“兩個數的差是3，其中較大的數是4，問另一個數是幾？”我們在此事實上已由“具有明顯現實意義的量化模式”過渡到了“可能的量化模式”。從理論的角度看，即應當如何去認識所說的純數學研究的意義。特別是，我們是否應當明確肯定由“日常數學”過渡到“學校數學”的必要性，或是應當唯一地堅持立足于現實生活。

2凝聚：算術思維的基本形式

思維的分析相對于具體知識內容的教學而言并非某種外加的成分，而是有著重要的指導意義。例如，加減法在最初都是作為一種過程得到引進的，即代表了這樣的“輸入—輸出”過程：由兩個加數（被減數與減數）我們就可求得相應的和（差）；然而，隨著學習的深入，這些運算又逐漸獲得了新的意義：它們已不再僅僅被看成一個過程，而且也被認為是一個特定的數學對象，我們可具體地去指明它們所具有的各種性質，如交換律、結合律等，從而，就其心理表征而言，就已經歷了一個“凝聚”的過程，即由一個包含多個步驟的運作過程凝聚成了單一的數學對象。再如，有很多教師認為，分數應當定義為“兩個整數相除的值”而不是“兩個整數的比”，這事實上也可被看成包括了由過程向對象的轉變，這就是說，就分數的掌握而言我們不應停留于整數的除法這樣一種運算，而應將其直接看成一種數，我們可以此為對象去實施加減乘除等運算。

3互補與整合：數學思維的一個重要特征

3.1 應注意同一概念的不同解釋間的互補與整合

例如，在教學中人們往往唯一地強調應從“部分與整體的關系”這一角度去理解有理數，特別是，分數常常被想象成“圓的一個部分”。然而，實踐表明，局限于這一心理圖像必然會造成一定的學習困難、甚至是嚴重的概念錯誤。例如，如果局限于上述的解釋，就很難對以下算法的合理性做出解釋：

（5/7）÷（3/4）=（5/7）×（4/3）=…

3.2 應注意不同表述形式之間的相互補充與相互作用

即突出強調學生的動手實踐、主動探索與合作交流：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式……教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。”由于實踐活動（包括感性經驗）構成了數學認識活動的重要基礎，合作交流顯然應被看成學習活動社會性質的直接體現和必然要求，因此，從這樣的角度去分析，上述的主張就是完全合理的；然而，需要強調的是，除去對于各種學習方式與表述形式的直接肯定以外，我們應更加重視在不同學習方式或表述形式之間所存在的重要聯系與必要互補。

3.3 我們應清楚地看到解題方法的多樣性及其互補關系

眾所周知，大力提倡解題策略的多樣化也是新一輪數學課程改革的一個重要特征：“由于學生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的，教師應當尊重學生的想法，鼓勵學生獨立思考，提倡計算方法的多樣化。”我們不應停留于對于不同方法在數量上的片面追求，而應通過多種方法的比較幫助學生學會鑒別什么是較好的方法，包括如何依據不同的情況靈活地去應用各種不同的方法。顯然，后者事實上也就從另一個角度更為清楚地表明了“互補與整合”確應被看成數學思維的一個重要特點。

3.4 應注意形式和直覺之間所存在的重要的互補關系

由“日常數學”向“學校數學”的過渡而言，不應被看成對于學生已發展起來的素樸直覺的徹底否定；在此所需要的就是如何通過學校的數學學習使之“精致化”，以及隨著認識的深化不斷發展起新的數學直覺。在筆者看來，我們應當從這樣的角度去理解《課程標準》中有關“數感”的論述，這就是，課程內容的學習應當努力“發展學生的數感”，而后者又并非僅僅是指各種相關的能力，如計算能力等，還包含“直覺”的含義，即對于客觀事物和現象數量方面的某種敏感性，包括能對數的相對大小做出迅速、直接的判斷，以及能夠根據需要做出迅速的估算。當然，作為問題的另一方面，我們又應明確地肯定幫助學生牢固地掌握相應的數學基本知識與基本技能的重要性，特別是，在需要的時候能對客觀事物和現象的數量方面做出準確的刻畫和計算，并能對運算的合理性做出適當的說明──顯然，后者事實上已超出了“直覺”的范圍，即主要代表了一種自覺的努力。

值得指出的是，除去“形式”和“直覺”以外，著名數學教育家費施拜因曾突出地強調了“算法”的掌握對于數學的特殊重要性。事實上，即使就初等數學而言我們也可清楚地看出“算法化”的意義。這正如吳文俊先生所指出的：“四則難題制造了許許多多的奇招怪招。但是你跑不遠、走不遠，更不能騰飛……可是你要引進代數方法，這些東西就都變成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了，而且每個人都可以做，用不著天才人物想出許多招來才能做，而且他可以騰飛，非但可以跑得很遠而且可以騰飛。”這正是數學歷史發展的一個基本事實，即一種重要算法的形成往往就標志著數學的重要進步。也正因為此，費施拜因將形式、直覺與算法統稱為“數學的三個基本成分”，并專門撰文對這三者之間的交互作用進行了分析。顯然，就我們目前的論題而言，這也就更為清楚地表明了“互補與整合”確應被看成數學思維的一個重要特點。

4結束語

總之，即使是小學數學的教學內容也同樣體現了一些十分重要的數學思維形式及其特征性質，因此，在教學中我們應做出切實的努力以很好地落實“幫助學生學會基本的數學思想方法”這一重要目標。

參考文獻：

[1]馬云鵬．小學數學教學論[M]．北京：人民教育出版社．2003．

[2]中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[S].北京：北京師范大學出版社，2001.