中考數學圓知識的熱點題型分析

吳金有

縱觀近幾年全國各地中考題，圓的有關概念以及性質等一般以填空題，選擇題的形式考查并占有一定的分值；一般在10分－15分左右，圓的有關性質，如垂徑定理，圓周角，切線的判定與性質等綜合性問題的運用一般以計算證明的形式考查；利用圓的知識與其他知識點如代數函數，方程等相結合作為中考壓軸題將會占有非常重要的地位，另外與圓有關的實際應用題，閱讀理解題，探索存在性問題仍是熱門考題，應引起讀者的注意。下面究近年來圓的有關熱點題型，舉例解析如下，以拋磚引玉。

一、圓的性質的考查

基礎知識鏈接：

例1：如圖，已知點E是圓O上的點，B、C分別是劣弧AD的三等分點， ∠BOC＝46°，則∠AED的度數為 。

【分析】由B、C分別是劣弧ＡＤ的三等分點知，圓心角∠AOB=∠BOC=∠COD,又∠BOC＝46°，所以∠AOD=138°。

根據同弧所對的圓周角等于圓心角的一半。從而有∠AED＝69°。

【點評】本題根據同圓或等圓中的圓心角、圓周角的關系。

二、直線與圓的位置關系的考查

基礎知識鏈接：①直線與圓的位置關系有三種；②直線與圓的位置關系的判定；③圓的切線的性質與判定。

例2：如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD， 垂足為E，DA平分∠BDE。

（1）求證： AE是⊙O的切線；

（2）若∠DBC=30°,

DE=1cm，求BD的長．

【分析】（1）證明：連接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA.

∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD.

∴∠OAD=∠EDA.∴OA∥CE.

∵AE⊥DE，

∴∠AED=90°,∠OAE=∠DEA=90°.

∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切線．

（2）∵BD是直徑，

∴∠BCD=∠BAD

=90°.

∵∠DBC=30°,

∠BDC=60°，

∴∠BDE=120°．

∵DA平分∠BDE，

∴∠BDA=∠EDA=60°．

∴∠ABD=∠EAD=30°．

在Rt△AED中，∠AED=90°,

∠EAD=30°∴AD=2DE．

在Rt△ABD中，∠BAD=90°,

∠ABD=30°∴BD=2AD=4DE．

∵DE的長是1cm，∴BD的長是4cm．

【點評】證明圓的切線，過切點的這條半徑為必作輔助線.即經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

三、圓與圓的位置關系的考查

基礎知識鏈接：如果兩個圓沒有公共點,那么就說這兩個圓相離,如圖（1）、（2）、（3）所示，其中（1）又叫做外離，（2）、（3）又叫做內含，（3）中兩圓的圓心相同,這兩個圓還可以叫做同心圓。

如果兩個圓只有一個公共點,那么就說這兩個圓相切,如圖（4）、（5）所示．其中（4）又叫做外切,（5）又叫做內切。

如果兩個圓只有兩個公共點,那么就說這兩個圓相交,如圖（6）所示。

四、圓與多邊形的計算考查

基礎知識鏈接：①圓與正多邊形的關系的計算；②弧長、扇形面積、圓錐側面積全面積的計算.

例3：小芳隨機地向如圖所示的圓形簸箕內撒了幾把豆子，則豆子落到圓內接正方形（陰影部分）區域的概率是

【分析】設圓的半徑為1，則圓的面積為π，易算得正方形的邊長為，正方形面積為2，則豆子落到圓內接正方形（陰影部分）區域的概率是。

【點評】本題考查的是幾何概率，解題的關鍵是圓與圓內接正方形的面積，根據古典概型，可轉化為面積之比。

例4：兩同心圓，大圓半徑為３，小圓半徑為１，

則陰影部分面積為

【分析】根據大、小圓的半徑，可求得圓環的面積為8π，圖中的陰影面積為圓環面積的一半4π。

【點評】有關面積計算問題，不難發現，一些不規則的圖形可轉化為規則的圖形計算，本題就較好的體現了轉化方法和整體思想。

綜合上述例子，我們不難看出，圓知識在中考里的考察面越來越廣，這也為我們日常教學起到一定的導向作用。若能將圓知識與其它已學過的數學知識有機地結合起來，即知新，又溫故，培養學生綜合應用的能力，這對數學思維的訓練是大有裨益的?！稊祵W課程標準》指出：“數學學習內容應當的現實的、有意義、富有挑戰性的”，放在圓知識學習上，就是找到一個引發學生學習興趣的“跳一跳，夠得著”的認知蘋果，挖掘更多新題型、新考法、拓寬知識應用，提升分析問題、解決問題的能力，豐富練習素材，優化整個教與學的過程。