數學歸納法的應用舉例

劉興

【摘要】數學歸納法作為由特殊概括出一般的一種思維方法，具有推理、研究兩種基本意義。本文主要給出了數學歸納法在各種數學問題中的應用舉例，旨在利用歸納法發現和提出數學猜想，發現問題的結論，找到解題途徑。

【關鍵詞】數學歸納法；完全歸納法；應用舉例

1引言

歸納法是從個別的論斷歸結出一般結論的推理方法，一般性結論的正確性依賴于各個個別論斷的正確性，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，數學歸納法屬于完全歸納法。數學歸納法是一種特殊的論證方法，是解決有關整數問題的一種工具，它使我們能夠在一些個別實例的基礎上，對某個普遍規律做出論斷。雖然說數學歸納法適用于有關整數的問題，但是它在很多數學問題中都有重大的作用，很多不等式問題、幾何問題、函數迭代問題、整除性問題用它來解決都能收到很好的效果。

2數學歸納法的應用舉例

2.1證明有關自然數的等式

例1：證明前n個自然數的立方和．

證明 1.．

2.假設，

則

命題證明完畢．

2.2證明有關自然數的不等式

例2：（貝奴利不等式）用數學歸納法證明：(1+?)n>1+n?，這里?>-1且不等于0，n 是大于1的自然數.

證明 1.對于n=2，因?2>0，故不等式正確．

2.假設不等式對于n=k成立，k∈N，即(1+?)k>1+k?.

當n=k+1時，(1+?)>0，從而有(1+?)k+1>(1+k?)(1+?)，則(1+?)k+1>1+(k+1)?+k?2，將不等式右邊舍去正項k?2，可知所求證不等式成立．

2.3在函數迭代中的應用

一些比較簡單的函數，它的n次迭代表達式，可以根據定義直接代入計算，歸納出一般規律后，再用數學歸納法予以證明。所以，直接求法的本質，就是數學歸納法。其中，關鍵是通過不完全歸納法，找出f[n](x)的一般表達式。

例3：f(x)=x2，求f[n](x)．

解 由定義，f(x)=x2，

f[2](x)=f[f(x)]=f(x2)=(x2)2=，

一般地，可猜得，．假定上式成立，則有．

由數學歸納法知，對所有自然數n都成立．

2.4在幾何中的應用

例4：空間被n個平面（這些平面每三個相交于一點，但每四個沒有交點，即各斜交平面）劃分成多少個部分？

解 1.一個平面將空間分成兩個部分．

2.假設空間被n個斜交平面劃分成F3(n)個部分，然后考慮n+1個斜交平面的情形．

原先的n個平面將空間劃分為F3(n)個部分，這n個平面與第n+1個平面π相交于n條斜交線，因此將它劃分為個部分．

因此.

用n-1,n-2,...,2,1代替n，

有：

…

，，

將這些等式相加，得：

．

命題證明完畢．

2.5在排列、組合中的應用

由于數學歸納法可以解決有關自然數的問題，而排列組合與自然數密切相關，所以，在排列組合的許多結論，都可以用數學歸納法來證明。比如排列數公式、組合數公式、自然數n的階乘公式，二項式定理等重要公式，都能用數學歸納法加以證明。

例5：證明n個元素的全排列的種數可以按下列公式求得：

Pn=1·2·3·...·n=n! （n是自然數）.

證明 1.對于n=1，上式顯然是正確的，P1=1=1!．

2.假設n=k時成立，即Pk=k!．

當n=k+1時，加入第k+1個元素，則第k+1個元素的放法有k+1種，由分步計數原理可得：k+1個元素的全排列數

．

從而，當n=k+1時上式也成立．命題證明完畢．

2.6在數列中的應用

數列是中學數學的一個重要內容，其中等差數列、等比數列尤為重要，它與高中數學中的很多知識都有聯系，作為解決整數問題的數學歸納法，同樣可以用來解決一些有關數列的知識。如等差數列、等比數列的通項公式以及前n項和公式的證明都需要用數學歸納法。

例6：證明等差數列的前n項為 .

證明 1.當n=1時，公式成立，S1=a1．

2.假設當n=k時公式正確，即 ，

當n=k+1 時，

因此，對一切自然數n的值，前n項和公式都是成立的．

2.7有關整除的問題

例7：求證：對于整數n≥0下面的式子能被133整除：11n+2+122n+1 .

證明1.當n=0時，上式等于133，顯然能被133整除．

2.假設當n=k時，11k+2+122k+1能被133整除．

當n=k+1時，

根據我們所作的假設，第一個加數能被133整除，第二個加數里面含有因數133，因此，他們的和，也就是原表達式在n=k+1的時候也能被133整除．

3結束語

數學歸納法是證明數學問題的一個重要方法，在數學中的應用十分廣泛，本文只是簡單地舉了幾個解決實際問題的應用例子。本文介紹了在數學解題過程中歸納發現的思考方法：利用歸納法發現和提出數學猜想，利用歸納法發現問題的結論，運用歸納法發現解題途徑等。

參考文獻：

[1]史久一，朱梧槚著．化歸與歸納·類比·猜想．[M]大連理工大學出版社，2008.

[2]華羅庚著．數學歸納法．[M]上海教育出版社，1964．

[3](蘇聯)索明斯基著．數學歸納法．[M]中國青年出版社，1954.

[4]吳之季，嚴鎮軍，杜錫錄等著．歸納·遞歸·迭代.[M]人民教育出版社，1990.

[5](蘇聯)伊·亞·杰樸著.數學歸納法.[M]人民教育出版社，1958.