漫談導數綜合題的解題策略

林敏燕+

導數綜合題在高考中一般是占著最后的位置，是考生望而生畏的試題.如何從這類題中得到自己滿意的分數，是學生在高考復習中最關心的問題.本文從２０１４年廣州一模理科數學第２１題談起，希望能對考生的復習能起一定的指導作用.

先看題目：

２１． 已知函數ｆ（ｘ）＝（ｘ２－２ｘ＋１）ｅｘ（其中ｅ為自然對數的底數）．

（１）求函數ｆ（ｘ）的單調區間；

（２）定義：若函數ｈ（ｘ）在區間［ｓ，ｔ］（ｓ＜ｔ）上的取值范圍為［ｓ，ｔ］，則稱區間［ｓ，ｔ］為函數ｈ（ｘ）的“域同區間”．試問函數ｆ（ｘ）在（１，＋∞）上是否存在“域同區間”？若存在，求出所有符合條件的“域同區間”；若不存在，請說明理由．

分析：第一問是最常規的求導問題，它考查了二個函數之積的導數公式.直接對函數求導，令導數大于零，小于零，即可得到單調區間.而要注意的是，一定要說出函數ｆ（ｘ）的單調遞增區間是什么，單調遞減區間是什么，不能說在哪個區間上單調遞增，哪個區間單調遞減，雖然意思差不多，但是題目問什么，你必須答什么，不然要被扣分.還有一點要注意，得到的不等式如何有二個或二個以上的區間，必須用逗號隔開，而不能并，如果寫成并的話，要被扣分.

第二問要先理解題意，要搞明白題目需要我們做什么事情.從第一問容易知道函數在（１，＋∞）上是單調遞增的，從而問題轉化為方程ｆ（ｘ）＝ｘ是否存在二個根.如果你無法判斷，也要把你的思路寫出來，把問題的轉化寫出來.如果做到這一點，你就可以得到６分了.很多同學就是看到這個超越方程根本沒有辦法求解，也就放棄了.

如果在考試中遇這一個自己根本沒有辦法解決的問題，就像這樣的超越方程不可能求解，就要從反面來考慮，是不是不存在這樣的二個根呢？可以在草稿紙上畫一畫ｙ＝ｆ（ｘ）和ｙ＝ｘ的圖像，看看它們的交點個數.從草圖中可以看出，當ｘ＝１時，ｙ＝ｘ的圖像在ｙ＝ｆ（ｘ）的圖像上方，當ｘ＝２時，ｙ＝ｘ的圖像在ｙ＝ｆ（ｘ）的圖像下方，從而預測方程ｆ（ｘ）＝ｘ只有一個大于１的實根.

大致方向走對了，得分一般會在８分以上.有同學考慮到如果函數ｙ＝ｆ（ｘ）－ｘ是單調遞增的就好了，這樣函數不可能有二個零點了.求導以后發現，導數并不是恒大于零，又放棄了.其實，如何堅持做下去，也是可以找到出路的.這樣可以得到解法一.

能不能通過變形，使一個函數為單調函數呢？試一試，你會發現收獲很大.如果把方程二邊同時除以ｘ，得到一個新函數：ｇ（ｘ）＝（ｘ＋■－２）ｅｘ－１（ｘ＞１），你會發現，這個函數是單調遞增的，得到解法二；兩邊除以ｅｘ得到ｇ（ｘ）＝（ｘ－１）２－ｘｅ－ｘ（ｘ＞１），你也會發現，這個函數是單調遞增的，得到解法三.還有很多變形，同學們還可以再試一試.

解法一：（１）∵ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）２ｅｘ，∴ｆ ′（ｘ）＝（ｘ２－１）ｅｘ，

∴ ｆ ′（ｘ）＞０?圳ｘ＞１或ｘ＜－１； ｆ ′（ｘ）＜０?圳－１＜ｘ＜１．

故函數ｆ（ｘ）單調遞增區間是（－∞，－１），（１，＋∞），ｆ（ｘ）單調遞減區間是（－１，１）．

（２）假設［ｓ，ｔ］?哿（１，＋∞）是“域同區間”，由于ｆ（ｘ）在（１，＋∞）是增函數，于是： ｆ（ｓ）＝ｓ， ｆ（ｔ）＝ｔ，即函數ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｘ在（１，＋∞）有兩個不同零點．

下面證明：ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｘ在（１，＋∞）至多有一個零點．

ｇ′（ｘ）＝（ｘ２－１）ｅｘ－１，ｇ″（ｘ）＝（ｘ２＋２ｘ－１）ｅｘ＞０，

因此ｇ′（ｘ）＝（ｘ２－１）ｅｘ－１在（１，＋∞）是增函數．

ｇ′（１）＝－１＜０，ｇ′（２）＝３ｅ２－１＞０，所以存在ｋ∈（１，２）滿足ｇ′（ｋ）＝０．

（ａ）當ｘ∈（１，ｋ）時，ｇ′（ｘ）＜０，ｇ（ｘ）為減函數．

因此當ｘ∈（１，ｋ］，ｇ（ｘ）＜ｇ（１）＝－１＜０，ｇ（ｘ）在（１，ｋ］內不存在零點；

（ｂ）當ｘ∈（ｋ，＋∞）時，ｇ′（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）為增函數，至多有一個零點，

綜合（ａ）（ｂ）可知，函數ｇ（ｘ）在（１，＋∞）至多有一個零點，因此假設不成立，ｆ（ｘ）在（１，＋∞）不存在“域同區間”．

解法二：（１）同上；

（２）假設ｆ（ｘ）在（１，＋∞）上存在“域同區間”，由（１）可知ｆ（ｘ）在（１，＋∞）上增函數，故有ｆ（ｓ）＝ｓ， ｆ（ｔ）＝ｔ，也就是說，方程（ｘ－１）２ｅｘ－ｘ＝０有兩個大于１的不同實根.

由（ｘ－１）２ｅｘ－ｘ＝０，得■－１＝０．設ｇ（ｘ）＝（ｘ＋■－２）ｅｘ－１（ｘ＞１），則有：ｇ′（ｘ）＝■ｅｘ＞０．

故ｇ（ｘ）在（１，＋∞）上單調遞增.所以ｇ（ｘ）在（１，＋∞）上至多有一個零點，與（ｘ－１）２ｅｘ－ｘ＝０有兩個大于１的不同實根矛盾，所以ｆ（ｘ）在（１，＋∞）上不存在“域同區間”.

解法三：（１）同上；

（２）假設ｆ（ｘ）在（１，＋∞）上存在“域同區間”，由（１）可知ｆ（ｘ）在（１，＋∞）上增函數，故有ｆ（ｓ）＝ｓ，ｆ（ｔ）＝ｔ，也就是說，方程（ｘ－１）２ｅｘ－ｘ＝０有兩個大于１的不同實根.

由（ｘ－１）２ｅｘ－ｘ＝０，得（ｘ－１）２＝ｘｅ－ｘ．

設ｇ（ｘ）＝（ｘ－１）２－ｘｅ－ｘ（ｘ＞１），則ｇ′（ｘ）＝（ｘ－１）（２＋ｅ－ｘ）＞０．

故ｇ（ｘ）在（１，＋∞）上單調遞增.所以ｇ（ｘ）在（１，＋∞）上至多有一個零點，與（ｘ－１）２ｅｘ－ｘ＝０有兩個大于１的不同實根矛盾，所以ｆ（ｘ）在（１，＋∞）上不存在“域同區間”.

從這次廣州一模的考試中，我們可以得到解導數綜合題的基本策略：（１）第一問必須做，導數要檢查一下，確保求導正確，并且要注意函數的定義域；（２）順著問題進行解答，把題意轉化為數學式子，高考給分是看式子給分，沒有式子，看不到你的解題過程到了哪里；（３）試著對原式進行等價變形，可能會有收獲.變形的基本原則是求導可以操作，最好容易判斷正負.（４）如果出現恒成立的參數問題，有二種思路：一是轉化為變量與參數分離；二是構造新函數，思路的基本原則是能求導，并且能求出原函數的單調區間.

下面給出二個高考預測題，請同學們試一下.

預測題１：已知函數ｆ（ｘ）＝ｅｘ－■ｘ２－ｘ，其導函數為ｆ ′（ｘ）．

（１）求ｆ ′（ｘ）的最小值；

（２）證明：對任意的ｘ１，ｘ２∈［０，＋∞）和實數?姿１≥０，?姿２≥０且?姿１＋?姿２＝１，總有ｆ（?姿１ｘ１＋?姿２ｘ２）≤?姿１ｆ（ｘ１）＋?姿２ｆ（ｘ２）；

（３） 若ｘ１，ｘ２，ｘ３滿足：ｘ１≥０，ｘ２≥０，ｘ３≥０且ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝３，求ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）＋ｆ（ｘ３）的最小值．

預測題２：已知函數ｆ（ｘ）＝■ｘ２＋ｌｎｘ，

（Ⅰ）當－２＜ａ＜２時，討論函數ｆ（ｘ）單調性；

（Ⅱ）當ａ＝１，且■＜ｔ＜■時，證明：曲線ｙ＝ｆ（ｘ）與其在點Ｐ（ｔ，ｆ（ｔ））處的切線至少有兩個不同的公共點．

參考答案：

預測題一：

解：（１）ｆ ′（ｘ）＝ｅｘ－ｘ－１，ｆ″（ｘ）＝ｅｘ－１．

當ｘ∈（－∞，０）時， ｆ″（ｘ）＜０， ｆ ′（ｘ）單調減：當ｘ∈（０，＋∞）時， ｆ″（ｘ）＞０，ｆ ′（ｘ）單調增．

所以ｆ ′（ｘ）的最小值是ｆ ′（０）＝１．

（２）設ｘ１≤ｘ２，構造函數ｇ（ｘ）＝?姿１ｆ（ｘ）＋?姿２ｆ（ｘ２）－ｆ（?姿１ｘ＋?姿２ｘ２），ｘ∈［０，ｘ２］．

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ｇ ′（ｘ）＝?姿１ｆ ′（ｘ）－?姿１ｆ ′（?姿１ｘ＋?姿２ｘ２）＝?姿１［ｆ ′（ｘ）－ｆ ′（?姿１ｘ＋?姿２ｘ２）］＝?姿１［ｆ ′（?姿１ｘ＋?姿２ｘ）－ｆ ′（?姿１ｘ＋?姿２ｘ２）］．

∵ｆ ′（ｘ）在［０，＋∞）遞增，且?姿１ｘ＋?姿２ｘ≤?姿１ｘ＋?姿２ｘ２，∴ｆ ′（?姿１ｘ＋?姿２ｘ）－ｆ ′（?姿１ｘ＋?姿２ｘ２）≤０．

即ｇ ′（ｘ）≤０，ｇ （ｘ）在［０，ｘ２］遞減．

∴ｇ （ｘ）≥ｇ （ｘ２）＝?姿１ｆ （ｘ２）＋?姿２ｆ （ｘ２）－ｆ （?姿１ｘ２＋?姿２ｘ２）＝０，

所以ｇ （ｘ１）＝?姿１ｆ （ｘ１）＋?姿２ｆ （ｘ２）－ｆ （?姿１ｘ１＋?姿２ｘ２）≥０，

即?姿１ｆ （ｘ１）＋?姿２ｆ （ｘ２）≥ｆ （?姿１ｘ１＋?姿２ｘ２），當且僅當ｘ１＝ｘ２時等號成立．

（３）■［ ｆ （ｘ１）＋ ｆ （ｘ２） ｆ （ｘ３）］＝■［■ ｆ （ｘ１）＋■ ｆ （ｘ２）］＋■ ｆ （ｘ３）≥■ｆ （■） ＋■ ｆ （ｘ３）≥ ｆ （■■＋■ｘ３）＝ｆ （■）＝ ｆ （１）＝ｅ－■，

即 ｆ （ｘ１）＋ ｆ （ｘ２） ＋ｆ （ｘ３）≥３ｅ－■，

所以當ｘ１＝ｘ２＝ｘ３時， ｆ （ｘ１）＋ ｆ （ｘ２）＋ ｆ （ｘ３）取得最小值３ｅ－■．

預測題二：

解：（１） ｆ （ｘ）的定義域是（０，＋∞），

ｆ ′（ｘ）＝■＋ｘ＝■．

當ａ≥０時，ｆ ′（ｘ）＞０， ｆ （ｘ）單調增．

當ａ＜０時，ｆ ′（ｘ）＜０?圳０＜ｘ＜■；ｆ ′（ｘ）＞０?圳ｘ＞■．

所以當ａ＜０時， ｆ （ｘ）在（０，■）遞減，在（■，＋∞）遞增．

（２）當ａ＝０時，ｆ （ｘ）＝■ｘ２＋ｌｎｘ，ｆ ′（ｘ）＝■＋ｘ．

設曲線ｙ＝ｆ（ｘ）在Ｐ（ｔ，ｆ（ｔ））處的切線方程為：ｙ－ｆ（ｔ）＝ｆ ′（ｔ）（ｘ－ｔ），

則Ｐ（ｔ，ｆ（ｔ））是曲線與該切線的公共點．

構造函數ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｔ）－ｆ ′（ｔ）（ｘ－ｔ），

ｇ（４ｔ）＝８ｔ２＋ｌｎ４ｔ－■ｔ２－ｌｎｔ－（ｔ＋■）３ｔ＝■ｔ２＋ｌｎ４－３＜■×■＋２－３＜０，

ｇ（４８ｔ）＝２４×４８ｔ２＋ｌｎ４８ｔ－■ｔ２－ｌｎｔ－（ｔ＋■）４７ｔ＞２４×４８×■＋

ｌｎ４８－１－４７×■－４７＝２４－４７×■＋ｌｎ４８＞０．

所以存在ｑ∈（４ｔ，４８ｔ），滿足ｇ（ｑ）＝０，

即ｆ（ｑ）＝ｆ（ｔ）－ｆ ′（ｔ）（ｑ－ｔ），

故（ｑ，ｆ（ｑ））是曲線與切線的另一個公共點．

（作者單位：華南師大附中汕尾學校）

責任編校徐國堅

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ｇ ′（ｘ）＝?姿１ｆ ′（ｘ）－?姿１ｆ ′（?姿１ｘ＋?姿２ｘ２）＝?姿１［ｆ ′（ｘ）－ｆ ′（?姿１ｘ＋?姿２ｘ２）］＝?姿１［ｆ ′（?姿１ｘ＋?姿２ｘ）－ｆ ′（?姿１ｘ＋?姿２ｘ２）］．

∵ｆ ′（ｘ）在［０，＋∞）遞增，且?姿１ｘ＋?姿２ｘ≤?姿１ｘ＋?姿２ｘ２，∴ｆ ′（?姿１ｘ＋?姿２ｘ）－ｆ ′（?姿１ｘ＋?姿２ｘ２）≤０．

即ｇ ′（ｘ）≤０，ｇ （ｘ）在［０，ｘ２］遞減．

∴ｇ （ｘ）≥ｇ （ｘ２）＝?姿１ｆ （ｘ２）＋?姿２ｆ （ｘ２）－ｆ （?姿１ｘ２＋?姿２ｘ２）＝０，

所以ｇ （ｘ１）＝?姿１ｆ （ｘ１）＋?姿２ｆ （ｘ２）－ｆ （?姿１ｘ１＋?姿２ｘ２）≥０，

即?姿１ｆ （ｘ１）＋?姿２ｆ （ｘ２）≥ｆ （?姿１ｘ１＋?姿２ｘ２），當且僅當ｘ１＝ｘ２時等號成立．

（３）■［ ｆ （ｘ１）＋ ｆ （ｘ２） ｆ （ｘ３）］＝■［■ ｆ （ｘ１）＋■ ｆ （ｘ２）］＋■ ｆ （ｘ３）≥■ｆ （■） ＋■ ｆ （ｘ３）≥ ｆ （■■＋■ｘ３）＝ｆ （■）＝ ｆ （１）＝ｅ－■，

即 ｆ （ｘ１）＋ ｆ （ｘ２） ＋ｆ （ｘ３）≥３ｅ－■，

所以當ｘ１＝ｘ２＝ｘ３時， ｆ （ｘ１）＋ ｆ （ｘ２）＋ ｆ （ｘ３）取得最小值３ｅ－■．

預測題二：

解：（１） ｆ （ｘ）的定義域是（０，＋∞），

ｆ ′（ｘ）＝■＋ｘ＝■．

當ａ≥０時，ｆ ′（ｘ）＞０， ｆ （ｘ）單調增．

當ａ＜０時，ｆ ′（ｘ）＜０?圳０＜ｘ＜■；ｆ ′（ｘ）＞０?圳ｘ＞■．

所以當ａ＜０時， ｆ （ｘ）在（０，■）遞減，在（■，＋∞）遞增．

（２）當ａ＝０時，ｆ （ｘ）＝■ｘ２＋ｌｎｘ，ｆ ′（ｘ）＝■＋ｘ．

設曲線ｙ＝ｆ（ｘ）在Ｐ（ｔ，ｆ（ｔ））處的切線方程為：ｙ－ｆ（ｔ）＝ｆ ′（ｔ）（ｘ－ｔ），

則Ｐ（ｔ，ｆ（ｔ））是曲線與該切線的公共點．

構造函數ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｔ）－ｆ ′（ｔ）（ｘ－ｔ），

ｇ（４ｔ）＝８ｔ２＋ｌｎ４ｔ－■ｔ２－ｌｎｔ－（ｔ＋■）３ｔ＝■ｔ２＋ｌｎ４－３＜■×■＋２－３＜０，

ｇ（４８ｔ）＝２４×４８ｔ２＋ｌｎ４８ｔ－■ｔ２－ｌｎｔ－（ｔ＋■）４７ｔ＞２４×４８×■＋

ｌｎ４８－１－４７×■－４７＝２４－４７×■＋ｌｎ４８＞０．

所以存在ｑ∈（４ｔ，４８ｔ），滿足ｇ（ｑ）＝０，

即ｆ（ｑ）＝ｆ（ｔ）－ｆ ′（ｔ）（ｑ－ｔ），

故（ｑ，ｆ（ｑ））是曲線與切線的另一個公共點．

（作者單位：華南師大附中汕尾學校）

責任編校徐國堅

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ｇ ′（ｘ）＝?姿１ｆ ′（ｘ）－?姿１ｆ ′（?姿１ｘ＋?姿２ｘ２）＝?姿１［ｆ ′（ｘ）－ｆ ′（?姿１ｘ＋?姿２ｘ２）］＝?姿１［ｆ ′（?姿１ｘ＋?姿２ｘ）－ｆ ′（?姿１ｘ＋?姿２ｘ２）］．

∵ｆ ′（ｘ）在［０，＋∞）遞增，且?姿１ｘ＋?姿２ｘ≤?姿１ｘ＋?姿２ｘ２，∴ｆ ′（?姿１ｘ＋?姿２ｘ）－ｆ ′（?姿１ｘ＋?姿２ｘ２）≤０．

即ｇ ′（ｘ）≤０，ｇ （ｘ）在［０，ｘ２］遞減．

∴ｇ （ｘ）≥ｇ （ｘ２）＝?姿１ｆ （ｘ２）＋?姿２ｆ （ｘ２）－ｆ （?姿１ｘ２＋?姿２ｘ２）＝０，

所以ｇ （ｘ１）＝?姿１ｆ （ｘ１）＋?姿２ｆ （ｘ２）－ｆ （?姿１ｘ１＋?姿２ｘ２）≥０，

即?姿１ｆ （ｘ１）＋?姿２ｆ （ｘ２）≥ｆ （?姿１ｘ１＋?姿２ｘ２），當且僅當ｘ１＝ｘ２時等號成立．

（３）■［ ｆ （ｘ１）＋ ｆ （ｘ２） ｆ （ｘ３）］＝■［■ ｆ （ｘ１）＋■ ｆ （ｘ２）］＋■ ｆ （ｘ３）≥■ｆ （■） ＋■ ｆ （ｘ３）≥ ｆ （■■＋■ｘ３）＝ｆ （■）＝ ｆ （１）＝ｅ－■，

即 ｆ （ｘ１）＋ ｆ （ｘ２） ＋ｆ （ｘ３）≥３ｅ－■，

所以當ｘ１＝ｘ２＝ｘ３時， ｆ （ｘ１）＋ ｆ （ｘ２）＋ ｆ （ｘ３）取得最小值３ｅ－■．

預測題二：

解：（１） ｆ （ｘ）的定義域是（０，＋∞），

ｆ ′（ｘ）＝■＋ｘ＝■．

當ａ≥０時，ｆ ′（ｘ）＞０， ｆ （ｘ）單調增．

當ａ＜０時，ｆ ′（ｘ）＜０?圳０＜ｘ＜■；ｆ ′（ｘ）＞０?圳ｘ＞■．

所以當ａ＜０時， ｆ （ｘ）在（０，■）遞減，在（■，＋∞）遞增．

（２）當ａ＝０時，ｆ （ｘ）＝■ｘ２＋ｌｎｘ，ｆ ′（ｘ）＝■＋ｘ．

設曲線ｙ＝ｆ（ｘ）在Ｐ（ｔ，ｆ（ｔ））處的切線方程為：ｙ－ｆ（ｔ）＝ｆ ′（ｔ）（ｘ－ｔ），

則Ｐ（ｔ，ｆ（ｔ））是曲線與該切線的公共點．

構造函數ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｔ）－ｆ ′（ｔ）（ｘ－ｔ），

ｇ（４ｔ）＝８ｔ２＋ｌｎ４ｔ－■ｔ２－ｌｎｔ－（ｔ＋■）３ｔ＝■ｔ２＋ｌｎ４－３＜■×■＋２－３＜０，

ｇ（４８ｔ）＝２４×４８ｔ２＋ｌｎ４８ｔ－■ｔ２－ｌｎｔ－（ｔ＋■）４７ｔ＞２４×４８×■＋

ｌｎ４８－１－４７×■－４７＝２４－４７×■＋ｌｎ４８＞０．

所以存在ｑ∈（４ｔ，４８ｔ），滿足ｇ（ｑ）＝０，

即ｆ（ｑ）＝ｆ（ｔ）－ｆ ′（ｔ）（ｑ－ｔ），

故（ｑ，ｆ（ｑ））是曲線與切線的另一個公共點．

（作者單位：華南師大附中汕尾學校）

責任編校徐國堅

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