數學高考選擇題考前預測

李昭平

一、命題趨勢

縱觀近幾年的數學高考題，無論是全國卷還是省市自主命題卷，選擇題在高考卷中都占有很大的比例． 除上海外，其他高考卷中選擇題的個數均在１０—１２題之內，占總分的３３．３３％－４０％這些選擇題主要有以下幾個特點：

（１）以基礎題和中檔題為主，著重考查數學基本知識與基本思想方法；（２）加大對新增內容的考查力度，如“三視圖、定積分、函數的零點、線性相關性、條件概率、極坐標與參數方程、證明不等式的基本方法、回歸分析、２×２列聯表”；（３）突出“能力立意”和“創新思想”．為了激發學生的創新思維，挖掘學生在數學方面的潛能，使優秀學生脫穎而出，滿足不同的大學錄取新生的層次要求， 選擇題題型也在嘗試創新， 在“形成適當梯度”“用學過的知識解決沒有見過的問題”“活用方法和應變能力”“知識的交匯”等四個維度上不斷出現新穎題，這些新穎試題成為高考試卷中一道亮麗的風景線；（４） 立體幾何類選擇題的位置逐漸后移，并常常作為選擇題的壓軸題、以創新題的面貌出現在試卷之中．

二、考點透視

考點１：即時定義型問題

例１． 給出定義：設ｆ′（ｘ）是函數ｙ＝ｆ（ｘ）的導函數，ｆ″（ｘ）是函數ｆ′（ｘ）的導函數，若方程ｆ″（ｘ）＝０有實數解ｘ０，則稱點（ｘ０，ｆ（ｘ０））為函數ｙ＝ｆ（ｘ）的“拐點”．已知函數ｆ（ｘ）＝２ｘ－ｓｉｎｘ－４ｃｏｓｘ的拐點是Ａ（ｘ０，ｆ（ｘ０）），則ｔａｎｘ０＝（）

Ａ． －■Ｂ． ■Ｃ． －４Ｄ． ４

解析： ｆ′（ｘ）＝２－ｃｏｓｘ＋４ｓｉｎｘ，ｆ″（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋４ｃｏｓｘ＝０，ｓｉｎｘ０＋４ｃｏｓｘ０＝０，所以ｔａｎｘ０＝－４．

點評：本題主要考查基本函數的導數運算和閱讀、理解、運用新定義的能力，運用直接法按步驟“弄懂新定義、按定義運算、構建方程求ｔａｎｘ０”進行．

例２． 一般地，我們把三條側棱兩兩垂直的三棱錐稱為“直角三棱錐”．在長方體的８個頂點中任取四點構成三棱錐，組成“直角三棱錐”的概率是（）

Ａ． ■ Ｂ．■ Ｃ． ■ Ｄ． ■

解析：基本事件總數是Ｃ ４８－６－６＝５８，“直角三棱錐”有８個，所以概率為■． 選Ｄ．

點評：本題主要考查三棱錐中的線線關系和古典概型，屬難度較大題．理解“直角三棱錐”的意義，根據長方體中的線線特征尋求三棱錐個數和直角三棱錐的個數．注意易犯基本事件總數是Ｃ ４８或Ｃ ４８－６的錯誤．

說明： 在高等數學與高中數學的知識交匯處命題是近幾年高考命題的一種新趨勢， 其中以函數、導數和立體幾何為載體的即時定義型試題是高頻考點． 此類問題往往具有背景新、結構新、覆蓋面廣、交匯性大、綜合性強的特點，成為高考試卷的亮點．

考點２：嵌套型函數問題

例３． 設定義域為Ｒ的函數ｆ（ｘ）＝５ｘ－１－１，ｘ≥０ｘ２＋４ｘ＋４，ｘ＜０ 若關于ｘ的方程ｆ ２（ｘ）－（２ｍ＋１）ｆ（ｘ）＋ｍ２＝０有７個不同的實數解，則實數ｍ的值為（）

Ａ． ２Ｂ． ０Ｃ． －１Ｄ． ０或２

解析：當ｍ＝２時，ｆ ２（ｘ）－５ｆ（ｘ）＋４＝０，ｆ（ｘ）＝１或ｆ（ｘ）＝４．觀察圖像可知，ｆ（ｘ）＝１有四個解，ｆ（ｘ）＝４

有三個解，ｍ＝２適合．

當ｍ＝０時，ｆ ２（ｘ）－ｆ（ｘ）＝０，ｆ（ｘ）＝０或

ｆ（ｘ）＝１．

觀察圖像可知，

ｆ（ｘ）＝１有四個解，ｆ（ｘ）＝０有三個解，ｍ＝０適合．當ｍ＝－１時，ｆ ２（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋１＝０，無實數解，不合． 選Ｄ．

點評：本題主要考查分段函數的圖像、對嵌套型函數的理解和數形結合的能力．直接求解比較困難， 逐個代入驗證， 結合圖像特征，排除錯誤選擇支， 得到正確答案．

例４． 若函數ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ有極值點ｘ１，ｘ２，且ｆ（ｘ１）＝ｘ１，則關于ｘ的方程３（ｆ（ｘ））２＋２ａｆ（ｘ）＋ｂ＝０的不同實根個數是（ ）

Ａ． ３Ｂ． ４Ｃ． ５Ｄ． ６

解析：ｆ′（ｘ）＝３ｘ２＋２ａｘ＋ｂ，則ｘ１，ｘ２是方程３ｘ２＋２ａｘ＋ｂ＝０的兩根，即嵌套型函數方程３（ｆ（ｘ））２＋２ａｆ（ｘ）＋ｂ＝０中有兩個ｆ（ｘ）使得等式成立，ｘ１＝ｆ（ｘ１），ｘ２＞ｘ１＝ｆ（ｘ１）．如圖知有３個交點，即ｆ（ｘ１）＝

ｘ１＝ｆ（ｘ３），ｘ２＝ｆ（ｘ４）．故選Ａ．

點評：本題主要考查函數極值的導數式條件、函數零點的概念、對嵌套型函數的理解，以及數形結合的能力．利用函數極值點ｘ１，ｘ２的導數式條件得到系數與嵌套型函數方程３（ｆ（ｘ））２＋２ａｆ（ｘ）＋ｂ＝０系數相同的方程是解題的關鍵．通過觀察三次函數ｆ（ｘ）的圖像與直線ｙ＝ｆ（ｘ１）、直線ｙ＝ｘ２的交點個數使問題解決．

說明： 嵌套型函數是近幾年悄然升溫的高考熱點． 這種問題往往與復合函數、抽象函數、方程實根以及相關知識融為一體，有較高的難度和很好的區分度，能有效考查考生的思維水平和綜合能力，復習中要引起重視．

考點３：一般情況特殊化問題

例５． 設坐標原點為Ｏ，拋物線ｙ２＝２ｘ與過焦點的直線交于Ａ、Ｂ兩點，則■與■的數量積為（ ）

Ａ． ■ Ｂ．－■ Ｃ． ３ Ｄ． －３

解析：對動直線ＡＢ，取其垂直于ｘ軸的特殊位置，即線段ＡＢ為拋物線的通徑（如圖）． 由于焦點Ｆ的坐標為（■，０），則Ａ（■，－１）、Ｂ．（■，１）．

于是■·■ ＝（■，－１）·（■，１）＝■－１＝－■．排除Ａ ，Ｃ， Ｄ， 答案Ｂ正確．

點評：本題若直接求解，必須設動弦ＡＢ的一般式方程，并經歷解方程組和相關變形的過程， 費時較多． 而運用“特殊化思想”，通過取直線ＡＢ的特殊位置，解題過程十分簡捷、明快．

例６ ．一般地，我們把各項的倒數成等差數列的數列叫做調和數列．若ｘ，ｙ，ｚ是調和數列，且有ａｘ＝ｂｘ＝ｃｘ（ａ，ｂ，ｃ為正數），則 ａ，ｂ，ｃ （）

Ａ． 成等差數列Ｂ． 成等比數列

Ｃ． 成調和數列Ｄ． 各項平方成等差數列

解析：取特殊數列１，■，■，顯然其倒數１，２，３成等差數列，１，■，■是調和數列．于是ａ１＝■＝■，所以ｂ＝ａ２，ｃ＝ａ３，ａ，ａ２，ａ３成等比數列． 排除Ａ ，Ｃ， Ｄ，選答案Ｂ．

點評：這里根據調和數列的定義，取一個特殊數列１，■，■，ａ，ｂ，ｃ的關系立即明朗化，避免了復雜的推理．

說明：有許多高考選擇題涉及到一般圖形、一般數列、一般函數、一般位置（動點、動線、動圖）等等，直接求解比較復雜、比較困難，有的甚至無法處理． 這時若能將一般問題特殊化，通過取特殊值、特殊位置、特殊圖形、特殊函數、特殊數列等等，根據“命題在特殊情況下為假，則在一般情況下也為假” 迅速排出錯誤答案，快速選出正確答案． 大大縮短了思維流程，節約了時間．

考點４：函數圖像問題

例７． 函數ｙ＝■，ｘ∈（－?仔，０）∪（０，?仔）的圖像可能是下列中的（）

解析：∵函數ｙ＝■，ｘ∈（－?仔，０）∪（０，?仔）為偶函數，∴Ａ選項錯誤．又∵當ｘ＝■時，ｙ＝■＝■＞１，排除Ｂ，Ｄ，∴正確選項為Ｃ．

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點評：本題是超越復合型函數，其圖像畫法超出了中學范圍．但可以根據函數式的結構特征得到函數的奇偶性和特殊函數值，進而排除謬誤Ａ， Ｂ，Ｄ，得到正確答案Ｃ．

說明：比較復雜或非常規的函數圖像問題也是近年來高考常考常新的熱點． 排謬法通常是指根據題干獲得相關信息，通過這些信息迅速排除錯誤選擇支，從而得出正確答案的一種方法．在某些圖像或曲線問題中，此法往往十分有效．

點５：類比猜想問題

例８． 設ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，則下列不等式中，一定成立的是（）

①（■）３≤■；②（■）２≤■；

③（■）４≤■．

Ａ． ①②Ｂ． ①③Ｃ． ②③Ｄ． ①②③

解析：我們知道：若ａ，ｂ∈Ｒ＋，則有不等式（■）２≤■成立． 類比這個不等式發現①②正確，選答案Ａ．事實上

（１）（■）３－■＝■－■

＝■＝－■≤０．

（２）（■）２－■＝■＝－■≤０．

點評：這里從熟知的不等式（■）２≤■類比， 在指數和元數上進行推廣，立即發現①②符合這種變化特征．其實此不等式中的指數和元數還可以不斷升級，得到更多的推廣， 大家可以試一試、寫一寫．

例９． 下列命題中，不正確的是（）

Ａ． 正四面體內任意一點到各個面的距離之和是定值

Ｂ．四面體的中軸線（頂點到對面重心的連線）相交于一點

Ｃ． 若ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ，則 ■＋■＋■＞■

Ｄ． 如果■·■＝■·■，且■≠■，那么■＝■

解析：對Ａ，與“正三角形內任意一點到各個邊的距離之和是定值”類比，通過面積法立即獲證，Ａ正確．對Ｂ，與“三角形三條中線相交于一點”類比，利用三角形重心定理立即獲證，Ｂ正確．對Ｃ，與“ａ＞ｂ＞ｃ，則■＋■＞■”類比，通過拆項法立即獲證，Ｃ正確．對Ｄ， 與“如果ａ·ｂ＝ａ·ｃ，且ａ≠０，則ｂ＝ｃ”類比似乎是正確的，但如果取■＝１，■＝■，■與■的夾角為４５°，■＝■，■與■的夾角為００，顯然■·■＝■·■＝■，且■≠■，但■≠■．選答案Ｄ．

點評：這里將待證的命題與熟知的結論作類比， 探求類比的正確性．

說明：“從某類事物的特征類比出另類事物的類似特征”，稱之為“類比猜想”型開放題． 這種開放題往往以已有事物的性質及其證法為基礎，融探索、猜想、證明于一體，能有效考查學生的想象能力、類比聯想能力、合情推理能力以及創新能力，也是近幾年高考中的高頻考點， 要引起關注．一般有結構類比、方法類比、概念類比、性質類比、平面向空間類比等等，但類比不一定都正確．類比正確需要邏輯證明，類比錯誤只要舉一個反例．

以上介紹了高考選擇題的五大考點． 這些例題都很好地體現了解選擇題減少過程、提高速度的思想． 解題的關鍵是根據試題的特點，靈活選擇相應的方法，有時還需要多種方法融為一體，共同發揮作用．

三、復習建議

數學高考不僅是能力之戰、心理之戰，還是速度之戰． 在數學高考中，若能正確、快速地處理好第一部分的選擇題， 既有助于增強考試信心、保持積極良好的考試心態，又能為后面的主觀性試題的解決贏得時間． 有人說，正確、快速地解決了前面的選擇題，你的數學高考就成功了一半，這話很有道理． 為此，提出以下建議：

第一，重視課本，立足基礎．選擇題旨在考查中學數學的基礎知識、基本技能和基本方法，所以回歸“三基” 仍然是第二輪、第三輪復習的第一要務．

第二， 限時訓練， 提高速度． 在第二輪、第三輪復習階段， 要加大對選擇題的訓練力度，可以根據自己的實際， 每隔２－－３天完成一份高考模擬卷中的選擇題， 時間控制在３０分鐘之內，自測自改． 堅持下去， 就會明顯提高解題速度和正確率． 值得注意的是，對于選擇題中的壓軸題往往新穎、非常規且難度較大， 如果自己的基礎較差，就不要過分追求， 學會大膽猜測和合情推理，不留空白．

第三， 及時總結，領會方法． 選擇題往往有四個選擇支和唯一正確答案的特點， 決定我們常常可以運用直接法、數形結合法、特殊化法、代入驗證法、排謬法、整體思考法、估算法、類比猜想法等等，盡量縮短思維流程，快速解決問題．

（作者單位：安徽省太湖中學）

責任編校徐國堅

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點評：本題是超越復合型函數，其圖像畫法超出了中學范圍．但可以根據函數式的結構特征得到函數的奇偶性和特殊函數值，進而排除謬誤Ａ， Ｂ，Ｄ，得到正確答案Ｃ．

說明：比較復雜或非常規的函數圖像問題也是近年來高考常考常新的熱點． 排謬法通常是指根據題干獲得相關信息，通過這些信息迅速排除錯誤選擇支，從而得出正確答案的一種方法．在某些圖像或曲線問題中，此法往往十分有效．

點５：類比猜想問題

例８． 設ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，則下列不等式中，一定成立的是（）

①（■）３≤■；②（■）２≤■；

③（■）４≤■．

Ａ． ①②Ｂ． ①③Ｃ． ②③Ｄ． ①②③

解析：我們知道：若ａ，ｂ∈Ｒ＋，則有不等式（■）２≤■成立． 類比這個不等式發現①②正確，選答案Ａ．事實上

（１）（■）３－■＝■－■

＝■＝－■≤０．

（２）（■）２－■＝■＝－■≤０．

點評：這里從熟知的不等式（■）２≤■類比， 在指數和元數上進行推廣，立即發現①②符合這種變化特征．其實此不等式中的指數和元數還可以不斷升級，得到更多的推廣， 大家可以試一試、寫一寫．

例９． 下列命題中，不正確的是（）

Ａ． 正四面體內任意一點到各個面的距離之和是定值

Ｂ．四面體的中軸線（頂點到對面重心的連線）相交于一點

Ｃ． 若ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ，則 ■＋■＋■＞■

Ｄ． 如果■·■＝■·■，且■≠■，那么■＝■

解析：對Ａ，與“正三角形內任意一點到各個邊的距離之和是定值”類比，通過面積法立即獲證，Ａ正確．對Ｂ，與“三角形三條中線相交于一點”類比，利用三角形重心定理立即獲證，Ｂ正確．對Ｃ，與“ａ＞ｂ＞ｃ，則■＋■＞■”類比，通過拆項法立即獲證，Ｃ正確．對Ｄ， 與“如果ａ·ｂ＝ａ·ｃ，且ａ≠０，則ｂ＝ｃ”類比似乎是正確的，但如果取■＝１，■＝■，■與■的夾角為４５°，■＝■，■與■的夾角為００，顯然■·■＝■·■＝■，且■≠■，但■≠■．選答案Ｄ．

點評：這里將待證的命題與熟知的結論作類比， 探求類比的正確性．

說明：“從某類事物的特征類比出另類事物的類似特征”，稱之為“類比猜想”型開放題． 這種開放題往往以已有事物的性質及其證法為基礎，融探索、猜想、證明于一體，能有效考查學生的想象能力、類比聯想能力、合情推理能力以及創新能力，也是近幾年高考中的高頻考點， 要引起關注．一般有結構類比、方法類比、概念類比、性質類比、平面向空間類比等等，但類比不一定都正確．類比正確需要邏輯證明，類比錯誤只要舉一個反例．

以上介紹了高考選擇題的五大考點． 這些例題都很好地體現了解選擇題減少過程、提高速度的思想． 解題的關鍵是根據試題的特點，靈活選擇相應的方法，有時還需要多種方法融為一體，共同發揮作用．

三、復習建議

數學高考不僅是能力之戰、心理之戰，還是速度之戰． 在數學高考中，若能正確、快速地處理好第一部分的選擇題， 既有助于增強考試信心、保持積極良好的考試心態，又能為后面的主觀性試題的解決贏得時間． 有人說，正確、快速地解決了前面的選擇題，你的數學高考就成功了一半，這話很有道理． 為此，提出以下建議：

第一，重視課本，立足基礎．選擇題旨在考查中學數學的基礎知識、基本技能和基本方法，所以回歸“三基” 仍然是第二輪、第三輪復習的第一要務．

第二， 限時訓練， 提高速度． 在第二輪、第三輪復習階段， 要加大對選擇題的訓練力度，可以根據自己的實際， 每隔２－－３天完成一份高考模擬卷中的選擇題， 時間控制在３０分鐘之內，自測自改． 堅持下去， 就會明顯提高解題速度和正確率． 值得注意的是，對于選擇題中的壓軸題往往新穎、非常規且難度較大， 如果自己的基礎較差，就不要過分追求， 學會大膽猜測和合情推理，不留空白．

第三， 及時總結，領會方法． 選擇題往往有四個選擇支和唯一正確答案的特點， 決定我們常常可以運用直接法、數形結合法、特殊化法、代入驗證法、排謬法、整體思考法、估算法、類比猜想法等等，盡量縮短思維流程，快速解決問題．

（作者單位：安徽省太湖中學）

責任編校徐國堅

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點評：本題是超越復合型函數，其圖像畫法超出了中學范圍．但可以根據函數式的結構特征得到函數的奇偶性和特殊函數值，進而排除謬誤Ａ， Ｂ，Ｄ，得到正確答案Ｃ．

說明：比較復雜或非常規的函數圖像問題也是近年來高考常考常新的熱點． 排謬法通常是指根據題干獲得相關信息，通過這些信息迅速排除錯誤選擇支，從而得出正確答案的一種方法．在某些圖像或曲線問題中，此法往往十分有效．

點５：類比猜想問題

例８． 設ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，則下列不等式中，一定成立的是（）

①（■）３≤■；②（■）２≤■；

③（■）４≤■．

Ａ． ①②Ｂ． ①③Ｃ． ②③Ｄ． ①②③

解析：我們知道：若ａ，ｂ∈Ｒ＋，則有不等式（■）２≤■成立． 類比這個不等式發現①②正確，選答案Ａ．事實上

（１）（■）３－■＝■－■

＝■＝－■≤０．

（２）（■）２－■＝■＝－■≤０．

點評：這里從熟知的不等式（■）２≤■類比， 在指數和元數上進行推廣，立即發現①②符合這種變化特征．其實此不等式中的指數和元數還可以不斷升級，得到更多的推廣， 大家可以試一試、寫一寫．

例９． 下列命題中，不正確的是（）

Ａ． 正四面體內任意一點到各個面的距離之和是定值

Ｂ．四面體的中軸線（頂點到對面重心的連線）相交于一點

Ｃ． 若ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ，則 ■＋■＋■＞■

Ｄ． 如果■·■＝■·■，且■≠■，那么■＝■

解析：對Ａ，與“正三角形內任意一點到各個邊的距離之和是定值”類比，通過面積法立即獲證，Ａ正確．對Ｂ，與“三角形三條中線相交于一點”類比，利用三角形重心定理立即獲證，Ｂ正確．對Ｃ，與“ａ＞ｂ＞ｃ，則■＋■＞■”類比，通過拆項法立即獲證，Ｃ正確．對Ｄ， 與“如果ａ·ｂ＝ａ·ｃ，且ａ≠０，則ｂ＝ｃ”類比似乎是正確的，但如果取■＝１，■＝■，■與■的夾角為４５°，■＝■，■與■的夾角為００，顯然■·■＝■·■＝■，且■≠■，但■≠■．選答案Ｄ．

點評：這里將待證的命題與熟知的結論作類比， 探求類比的正確性．

說明：“從某類事物的特征類比出另類事物的類似特征”，稱之為“類比猜想”型開放題． 這種開放題往往以已有事物的性質及其證法為基礎，融探索、猜想、證明于一體，能有效考查學生的想象能力、類比聯想能力、合情推理能力以及創新能力，也是近幾年高考中的高頻考點， 要引起關注．一般有結構類比、方法類比、概念類比、性質類比、平面向空間類比等等，但類比不一定都正確．類比正確需要邏輯證明，類比錯誤只要舉一個反例．

以上介紹了高考選擇題的五大考點． 這些例題都很好地體現了解選擇題減少過程、提高速度的思想． 解題的關鍵是根據試題的特點，靈活選擇相應的方法，有時還需要多種方法融為一體，共同發揮作用．

三、復習建議

數學高考不僅是能力之戰、心理之戰，還是速度之戰． 在數學高考中，若能正確、快速地處理好第一部分的選擇題， 既有助于增強考試信心、保持積極良好的考試心態，又能為后面的主觀性試題的解決贏得時間． 有人說，正確、快速地解決了前面的選擇題，你的數學高考就成功了一半，這話很有道理． 為此，提出以下建議：

第一，重視課本，立足基礎．選擇題旨在考查中學數學的基礎知識、基本技能和基本方法，所以回歸“三基” 仍然是第二輪、第三輪復習的第一要務．

第二， 限時訓練， 提高速度． 在第二輪、第三輪復習階段， 要加大對選擇題的訓練力度，可以根據自己的實際， 每隔２－－３天完成一份高考模擬卷中的選擇題， 時間控制在３０分鐘之內，自測自改． 堅持下去， 就會明顯提高解題速度和正確率． 值得注意的是，對于選擇題中的壓軸題往往新穎、非常規且難度較大， 如果自己的基礎較差，就不要過分追求， 學會大膽猜測和合情推理，不留空白．

第三， 及時總結，領會方法． 選擇題往往有四個選擇支和唯一正確答案的特點， 決定我們常常可以運用直接法、數形結合法、特殊化法、代入驗證法、排謬法、整體思考法、估算法、類比猜想法等等，盡量縮短思維流程，快速解決問題．

（作者單位：安徽省太湖中學）

責任編校徐國堅

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