穿行于特殊與一般的叢林中

雷小華+

近期筆者在高三數學復習中講解一道高考題（見例題回放）時，堂上偶然發現結論中的定點即為曲線的焦點這一特性后，即興要求同學們課后共同對該特性作一般性探討．第二天陸續有同學對這一特性給出了一般性的證明．我也沒閑著，在師生共同努力下，探究到解析幾何中圓錐曲線具有的一類數學規律，興奮之余，乘興作文，以供讀者批評指正．

1． 例題回放

[例1]如圖，等邊三角形OAB的邊長為8■，且其三個頂點均在拋物線E：x2＝2py(p>0)上．

(1)求拋物線E的方程；

(2)設動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y＝－1相交于點Q．證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點．

[簡解](1) 拋物線E的方程為x2＝4y．

(2)證明：由(1)知y＝■x2，y′＝■x．

設P(x0， y0)，則x0≠0，y0＝■x0 2，且l的方程為y－y0＝■x0 (x－x0)，即y＝■x0x－■x0 2 ．

由y＝■x0x－■x0 2，y＝－1，得x＝■，y＝－1，所以Q為■,-1 ．設M(0，y1)，令■·■＝0對滿足y0＝■x0 2 (x0≠0)的x0，y0恒成立．故■－y0－y0y1＋y1＋y1 2 ＝0，即(y1 2 ＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0．(?葚 )

由于(?葚)式對滿足y0＝■x0 2 (x0≠0)的y0恒成立，所以１-y1＝0，y1 2 ＋y1－2＝0，解得y1＝1．

故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點 M(0, 1)． 這一定點M(0, 1)為拋物線的焦點．

2． 思考探究

（1）任給一拋物線在同樣作法下是否也過拋物線的焦點？

（2）是否橢圓、雙曲線也有類似一般的結論？

（3）結論能否再引伸？

3． 從特殊到一般

針對以上問題，經過師生共同探討分析，得出以下結論：

（1）結論一

定理1：拋物線E：x2＝2py(p>0)上動直線l與拋物線E相切于點P（除頂點外），與其準線相交于點Q，則以PQ為直徑的圓恒過E的焦點F．如圖．

證明：由E：x2＝2py，得y=■，故y′=■．

設P (x0， y0)，則x0≠0，y0=■，且l的方程為y－y0＝■(x－x0)，即y＝■x－■．

曲線E的準線方程為：y＝-■, 由y＝■x－■，y＝-■，得

x＝■，y＝-■，

所以Q為■,-■．

又F0,■，下證■·■＝0對滿足y0＝■(x0≠0)的x0，y0恒成立即可．

由于■=x0, y0-■，■=■, -p，

故■·■＝x0, y0-■·■, -p

＝■-py0 +■.

由于y0＝■，故■·■＝■-■+■=0恒成立，

即■⊥■，即FP⊥FQ，

即以ＰQ為直徑的圓恒過E的焦點F．

類似性質在橢圓中也成立．

定理2：若橢圓E：■＋■＝１(ａ>b>0)上任一點P（除左右頂點外）處的切線與其右準線相交于點Q，則以PQ為直徑的圓恒過E相對應的右焦點F2．如圖．

證 明：設 P (x0， y0)，x0≠0，則P點處的切線PQ的方程為■＋■＝１（證明略）．

曲線E的右準線方程為：x=■, 由■＋■＝１，x＝■，得x＝■，y＝■■，

所以Q為■, ■■．

又右焦點F2(c, 0)，下證■·■＝0恒成立即可．

由于■=(x0-c, y0)，■=■-c, ■■，

故■·■＝(x0-c, y0)·■-c, ■■

＝(x0-c)■-c+y0·■■

＝x0■-cx0-ａ２+c２+b２-x0■

＝cx0-cx0-ａ２+c２+b２

＝0（橢圓中ａ２=c２+b２），

即■·■＝0恒成立，即■⊥■，即F2P⊥F2Q,

故以PQ為直徑的圓恒過E的右焦點F2．

同理可證，以PQ′為直徑的圓恒過E的左焦點F1．

類似性質在雙曲線中也成立．

定理3：若雙曲線E：■-■＝１(ａ>0, b>0)上任一點P（除左右頂點外）處的切線與其右準線相交于點Q，則以PQ為直徑的圓恒過E相對應的右焦點F2．如圖．

證明：設P (x0， y0)，x0≠0，則P點處的切線PQ的方程為■-■＝１（證明略）．

曲線E的右準線方程為：x=■, 由■-■＝１，x＝■，得

x＝■，y＝■■，

所以Q為■, ■■．

又右焦點F2(c, 0)，下證■·■＝0恒成立即可．

由于■=(x0-c, y0)，■=■-c, ■■，

故■·■＝(x0-c, y0)·■-c, ■■＝(x0-c)■-c+y0·■■＝x0■-cx0-ａ２+c２+x0■-b２

＝cx0-cx0-ａ２+c２-b２

＝0（雙曲線中c２=ａ２+b２），

即■·■＝0恒成立，即■⊥■，即F2P⊥F2Q,

故以PQ為直徑的圓恒過E的右焦點F2．

同理可證，以ＰＱ′為直徑的圓恒過E的左焦點F1．

（2）結論二

若把上述定理中的題設與結論適當交換，則又有以下推論（推論證明略）．

推論1：F為拋物線E：x2＝2py(p>0)的焦點，Q為準線上的任一點，P為拋物線上的一點，若PF⊥QF，則直線PQ與拋物線E相切于點P．

推論2：F2為橢圓E：■＋■＝１(ａ>b>0)的右焦點，Q為右準線上的任一點，P為橢圓上的一點，若PF2⊥QF2，則直線PQ與橢圓E相切于點P．

推論3：F2為雙曲線E：■-■＝１(ａ>0, b>0)的右焦點，Q為右準線上的任一點，P為雙曲線上的一點，若PF2⊥QF2，則直線PQ與雙曲線E相切于點P．

推論4：F為拋物線E：x2＝2py(p>0)的焦點，P為拋物線上的一點（除頂點外），直線PQ與拋物線E相切于點P，若PF⊥QF，則點Q必為準線上的一點．

推論5：F2為橢圓E：■＋■＝１(ａ>b>0)的右焦點，P為橢圓上的任一點（除去所作切線與準線平行的頂點外），直線PQ與橢圓E相切于點P． 若PF2⊥QF2，則點Q必為右準線上的一點（橢圓的左側也有類似相應的結論）．

推論6：F2為雙曲線E：■-■＝１(ａ>0, b>0)的右焦點， P為雙曲線上的任一點（除去所作切線與準線平行的頂點外），直線PQ與雙曲線E相切于點P，若PF2⊥QF2，則點Q必為右準線上的一點（雙曲線的左側也有類似相應的結論）．

（3）結論三

在定理1、2、3的基礎上，不難發現圓錐曲線具有以下一般性質（僅證性質2）．

性質1：從拋物線E：x2＝2py(p>0)的準線上任一點Q向E分別作兩切線QP、QR，P、Q為切點，則直線PR恒過E的焦點F． 如圖．

性質2：從橢圓E：■＋■＝１(ａ>b>0)的右準線上任一點M向E分別作兩切線MA、MB，A、B為切點．則直線AB恒過E相對應的右焦點F2（左側也有類似的性質）. 如圖．

性質3：從雙曲線E：■-■＝１(ａ>0, b>0)的右準線上任一點M向E分別作兩切線MA、MB，A、B為切點．則直線AB恒過E相對應的右焦點F2（左側也有類似的性質）. 如圖．

性質2證明如下，其它類同．

證明：若直線AB不過E的右焦點，先連接AF2、F2M. 則由定理2可得：∠MF2A=∠MF2B=90°，推出點A、F2、B三點共線． 即直線AB與直線AF2B相同．故直線AB必過E的右焦點（同理可證，左側也具有相應的性質．證略）．

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4． 從一般到特殊

對于這一類圓錐曲線問題，應用上述的定理與推論可快捷解決，如

[例2]如圖，點F1(－c, 0)，F2(c, 0)分別是橢圓C: ■＋■＝１ (ａ>b>0)的左，右焦點，過點F1作x軸的垂線交橢圓C的上半部分于點P，過點F2作直線PF2的垂線交直線x＝■于點Q.

(1)如果點Q的坐標是(4, 4)，求此時橢圓C的方程；

(2)證明：直線PQ與橢圓C只有一個交點．

[簡解](1) 橢圓方程為■＋■＝１.

(2)證明：法一：由條件，知P(－c, ■)．

故直線PF2的斜率為■＝■=－■．

因為PF2⊥F2Q，所以直線F2Q的方程為y＝■x－■．故Q(■, 2a)．

故直線PQ的方程為■＝■，即y＝■x＋a．

將上式代入■＋■＝１得ｘ２＋2cx＋c2＝0，解得x＝－c，y＝■．

所以直線PQ與橢圓C只有一個交點．

法二：由本篇推論2可知，直線PQ與橢圓C只有一個交點．

[例3]如圖所示，橢圓C：■+■＝１(ａ>b>0)經過點P(1, ■)，離心率e=■，直線l的方程為x=4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若過右焦點F2的直線g與直線l相交于點M，現過點M作C的切線MA、MB，切點分別為A、B. 問：直線AB是否恒過一定點？若是，求出這一定點；若不是，說明理由．

[解答] (1)橢圓C的方程為■＋■＝１.

(2) 直線l：x=4是橢圓C：■+■＝１的右準線，故由定理2可知：∠AF2M=90°；

同理：∠BF2M=90°． 故A，F2，B三點共線，即直線AB恒過定點F2(1, 0).

[例4] 如圖所示，橢圓C：■+■＝１(ａ>b>0)，右焦點F(c, 0)，從點M(■, 0)向C作切線MA、MB，切點分別為A、B. 若?駐ABM為正三角形，試求橢圓C的離心率e.

[解答] 因為點M(■, 0)為右準線與ｘ軸的交點，故由性質2可知：直線AB過橢圓C的右焦點F(c, 0)．

|F2M|=■-c，|F2A|=■，∠AMF2=30°，故tan∠AMF2=■=■=tan30°=■，

即■×■=■-c，即■×■=■，即■=■，故橢圓C的離心率e=■=■．

[例5]設拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點A(0,■)， 線段FA的中點在拋物線上. 設動直線l：y=kx+m與拋物線相切于點P，且與拋物線的準線相交于點Q，以PQ為直徑的圓記為圓C．

（1）求p的值；

（2）試判斷圓C與x軸的位置關系；

（3）在坐標平面上是否存在定點M，使得圓C恒過點M？若存在，求出M的坐標；若不存在，說明理由．

[解答] （1）利用拋物線的定義得F(■, 0)，故線段FA的中點的坐標為(■,■)， 代入方程得2p×■=■， 解得p=1.

（2）由（1）得拋物線的方程為y2＝2x，從而拋物線的準線方程為x=-■.

由ｙ２＝2ｘ，ｙ＝kx+m， 得方程■ｙ２-ｙ+m=0，

由直線與拋物線相切，得k≠0，?駐＝0?圳k≠0，m＝■.

設ｙ＝■，從而x＝■，即P (■,■)，

由y=kx+■，x＝-■，解得Q(-■, ■)，

∴ PQ的中點C的坐標為C(■, ■)，設圓心C到x軸距離平方d，則d２=(■)２，

|PQ|２ = (■)２+(■)２，

∵ (■|PQ|)２ -d２=■[(■)２+(■)２]-(■)２=(■)２.

∵ k≠0，∴ 當k=±■時， (■|PQ|)２ -d２=0， 圓C與x軸相切；

當k≠±■時， (■|PQ|)２ -d２>0，圓C與x軸相交.

（3）方法一：

假設平面內存在定點M滿足條件，由拋物線對稱性知點M在x軸上，設點M坐標為M(x１, 0)，由（2）知P(■, ■)，Q(-■,■)，

∴■=(■-x１, ■),■=(-■-x１, ■)．

由 ■·■=0 ，得 (■-x１)(-■-x１)+■×■=0.

所以x１ ２-■x１+■=0，即x１=■或x１=■，

所以平面上存在定點M(■, 0)，使得圓C恒過點M.

方法二：

由（2）知 P(■, ■)，Q(-■,■)，PQ的中點C的坐標為(■, ■)，|PQ|２ = (■)２+(■)２，所以圓C的方程為(x-■)２+(y-■)２=■[(■)２+(■)２]，整理得x２+■x+y２-■+■(■-x)-(■)y=0, 上式對任意 k≠0均成立，

當且僅當x２+■x+y２-■=0，■-x=0，ｙ=0， 解得x＝■，ｙ=0.

方法三：由前面定理1易知，在平面上存在定點M(■, 0)（即拋物線的焦點F），使得圓C恒過點M.

5． 總結升華

特殊與一般是中學數學的一種重要的數學思想．在解決問題時，以特殊問題為起點，逐步分析、比較、討論，層層深入，揭示規律，并由此推廣到一般．從解決特殊問題的過程中，尋求解決一般問題的方法和規律．在運動變化過程中加深對數學問題的認識和理解，直至完美認識．

本篇內容穿行于特殊與一般的思想中，彼此照應．開始從特殊中窺見一般，最后又用一般為特殊服務．在特殊與一般中相互促進，在穿行來回中得到升華，樂此不疲，美哉，快哉！

（作者單位：江門市新會華僑中學）

責任編校 徐國堅

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4． 從一般到特殊

對于這一類圓錐曲線問題，應用上述的定理與推論可快捷解決，如

[例2]如圖，點F1(－c, 0)，F2(c, 0)分別是橢圓C: ■＋■＝１ (ａ>b>0)的左，右焦點，過點F1作x軸的垂線交橢圓C的上半部分于點P，過點F2作直線PF2的垂線交直線x＝■于點Q.

(1)如果點Q的坐標是(4, 4)，求此時橢圓C的方程；

(2)證明：直線PQ與橢圓C只有一個交點．

[簡解](1) 橢圓方程為■＋■＝１.

(2)證明：法一：由條件，知P(－c, ■)．

故直線PF2的斜率為■＝■=－■．

因為PF2⊥F2Q，所以直線F2Q的方程為y＝■x－■．故Q(■, 2a)．

故直線PQ的方程為■＝■，即y＝■x＋a．

將上式代入■＋■＝１得ｘ２＋2cx＋c2＝0，解得x＝－c，y＝■．

所以直線PQ與橢圓C只有一個交點．

法二：由本篇推論2可知，直線PQ與橢圓C只有一個交點．

[例3]如圖所示，橢圓C：■+■＝１(ａ>b>0)經過點P(1, ■)，離心率e=■，直線l的方程為x=4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若過右焦點F2的直線g與直線l相交于點M，現過點M作C的切線MA、MB，切點分別為A、B. 問：直線AB是否恒過一定點？若是，求出這一定點；若不是，說明理由．

[解答] (1)橢圓C的方程為■＋■＝１.

(2) 直線l：x=4是橢圓C：■+■＝１的右準線，故由定理2可知：∠AF2M=90°；

同理：∠BF2M=90°． 故A，F2，B三點共線，即直線AB恒過定點F2(1, 0).

[例4] 如圖所示，橢圓C：■+■＝１(ａ>b>0)，右焦點F(c, 0)，從點M(■, 0)向C作切線MA、MB，切點分別為A、B. 若?駐ABM為正三角形，試求橢圓C的離心率e.

[解答] 因為點M(■, 0)為右準線與ｘ軸的交點，故由性質2可知：直線AB過橢圓C的右焦點F(c, 0)．

|F2M|=■-c，|F2A|=■，∠AMF2=30°，故tan∠AMF2=■=■=tan30°=■，

即■×■=■-c，即■×■=■，即■=■，故橢圓C的離心率e=■=■．

[例5]設拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點A(0,■)， 線段FA的中點在拋物線上. 設動直線l：y=kx+m與拋物線相切于點P，且與拋物線的準線相交于點Q，以PQ為直徑的圓記為圓C．

（1）求p的值；

（2）試判斷圓C與x軸的位置關系；

（3）在坐標平面上是否存在定點M，使得圓C恒過點M？若存在，求出M的坐標；若不存在，說明理由．

[解答] （1）利用拋物線的定義得F(■, 0)，故線段FA的中點的坐標為(■,■)， 代入方程得2p×■=■， 解得p=1.

（2）由（1）得拋物線的方程為y2＝2x，從而拋物線的準線方程為x=-■.

由ｙ２＝2ｘ，ｙ＝kx+m， 得方程■ｙ２-ｙ+m=0，

由直線與拋物線相切，得k≠0，?駐＝0?圳k≠0，m＝■.

設ｙ＝■，從而x＝■，即P (■,■)，

由y=kx+■，x＝-■，解得Q(-■, ■)，

∴ PQ的中點C的坐標為C(■, ■)，設圓心C到x軸距離平方d，則d２=(■)２，

|PQ|２ = (■)２+(■)２，

∵ (■|PQ|)２ -d２=■[(■)２+(■)２]-(■)２=(■)２.

∵ k≠0，∴ 當k=±■時， (■|PQ|)２ -d２=0， 圓C與x軸相切；

當k≠±■時， (■|PQ|)２ -d２>0，圓C與x軸相交.

（3）方法一：

假設平面內存在定點M滿足條件，由拋物線對稱性知點M在x軸上，設點M坐標為M(x１, 0)，由（2）知P(■, ■)，Q(-■,■)，

∴■=(■-x１, ■),■=(-■-x１, ■)．

由 ■·■=0 ，得 (■-x１)(-■-x１)+■×■=0.

所以x１ ２-■x１+■=0，即x１=■或x１=■，

所以平面上存在定點M(■, 0)，使得圓C恒過點M.

方法二：

由（2）知 P(■, ■)，Q(-■,■)，PQ的中點C的坐標為(■, ■)，|PQ|２ = (■)２+(■)２，所以圓C的方程為(x-■)２+(y-■)２=■[(■)２+(■)２]，整理得x２+■x+y２-■+■(■-x)-(■)y=0, 上式對任意 k≠0均成立，

當且僅當x２+■x+y２-■=0，■-x=0，ｙ=0， 解得x＝■，ｙ=0.

方法三：由前面定理1易知，在平面上存在定點M(■, 0)（即拋物線的焦點F），使得圓C恒過點M.

5． 總結升華

特殊與一般是中學數學的一種重要的數學思想．在解決問題時，以特殊問題為起點，逐步分析、比較、討論，層層深入，揭示規律，并由此推廣到一般．從解決特殊問題的過程中，尋求解決一般問題的方法和規律．在運動變化過程中加深對數學問題的認識和理解，直至完美認識．

本篇內容穿行于特殊與一般的思想中，彼此照應．開始從特殊中窺見一般，最后又用一般為特殊服務．在特殊與一般中相互促進，在穿行來回中得到升華，樂此不疲，美哉，快哉！

（作者單位：江門市新會華僑中學）

責任編校 徐國堅

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4． 從一般到特殊

對于這一類圓錐曲線問題，應用上述的定理與推論可快捷解決，如

[例2]如圖，點F1(－c, 0)，F2(c, 0)分別是橢圓C: ■＋■＝１ (ａ>b>0)的左，右焦點，過點F1作x軸的垂線交橢圓C的上半部分于點P，過點F2作直線PF2的垂線交直線x＝■于點Q.

(1)如果點Q的坐標是(4, 4)，求此時橢圓C的方程；

(2)證明：直線PQ與橢圓C只有一個交點．

[簡解](1) 橢圓方程為■＋■＝１.

(2)證明：法一：由條件，知P(－c, ■)．

故直線PF2的斜率為■＝■=－■．

因為PF2⊥F2Q，所以直線F2Q的方程為y＝■x－■．故Q(■, 2a)．

故直線PQ的方程為■＝■，即y＝■x＋a．

將上式代入■＋■＝１得ｘ２＋2cx＋c2＝0，解得x＝－c，y＝■．

所以直線PQ與橢圓C只有一個交點．

法二：由本篇推論2可知，直線PQ與橢圓C只有一個交點．

[例3]如圖所示，橢圓C：■+■＝１(ａ>b>0)經過點P(1, ■)，離心率e=■，直線l的方程為x=4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若過右焦點F2的直線g與直線l相交于點M，現過點M作C的切線MA、MB，切點分別為A、B. 問：直線AB是否恒過一定點？若是，求出這一定點；若不是，說明理由．

[解答] (1)橢圓C的方程為■＋■＝１.

(2) 直線l：x=4是橢圓C：■+■＝１的右準線，故由定理2可知：∠AF2M=90°；

同理：∠BF2M=90°． 故A，F2，B三點共線，即直線AB恒過定點F2(1, 0).

[例4] 如圖所示，橢圓C：■+■＝１(ａ>b>0)，右焦點F(c, 0)，從點M(■, 0)向C作切線MA、MB，切點分別為A、B. 若?駐ABM為正三角形，試求橢圓C的離心率e.

[解答] 因為點M(■, 0)為右準線與ｘ軸的交點，故由性質2可知：直線AB過橢圓C的右焦點F(c, 0)．

|F2M|=■-c，|F2A|=■，∠AMF2=30°，故tan∠AMF2=■=■=tan30°=■，

即■×■=■-c，即■×■=■，即■=■，故橢圓C的離心率e=■=■．

[例5]設拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點A(0,■)， 線段FA的中點在拋物線上. 設動直線l：y=kx+m與拋物線相切于點P，且與拋物線的準線相交于點Q，以PQ為直徑的圓記為圓C．

（1）求p的值；

（2）試判斷圓C與x軸的位置關系；

（3）在坐標平面上是否存在定點M，使得圓C恒過點M？若存在，求出M的坐標；若不存在，說明理由．

[解答] （1）利用拋物線的定義得F(■, 0)，故線段FA的中點的坐標為(■,■)， 代入方程得2p×■=■， 解得p=1.

（2）由（1）得拋物線的方程為y2＝2x，從而拋物線的準線方程為x=-■.

由ｙ２＝2ｘ，ｙ＝kx+m， 得方程■ｙ２-ｙ+m=0，

由直線與拋物線相切，得k≠0，?駐＝0?圳k≠0，m＝■.

設ｙ＝■，從而x＝■，即P (■,■)，

由y=kx+■，x＝-■，解得Q(-■, ■)，

∴ PQ的中點C的坐標為C(■, ■)，設圓心C到x軸距離平方d，則d２=(■)２，

|PQ|２ = (■)２+(■)２，

∵ (■|PQ|)２ -d２=■[(■)２+(■)２]-(■)２=(■)２.

∵ k≠0，∴ 當k=±■時， (■|PQ|)２ -d２=0， 圓C與x軸相切；

當k≠±■時， (■|PQ|)２ -d２>0，圓C與x軸相交.

（3）方法一：

假設平面內存在定點M滿足條件，由拋物線對稱性知點M在x軸上，設點M坐標為M(x１, 0)，由（2）知P(■, ■)，Q(-■,■)，

∴■=(■-x１, ■),■=(-■-x１, ■)．

由 ■·■=0 ，得 (■-x１)(-■-x１)+■×■=0.

所以x１ ２-■x１+■=0，即x１=■或x１=■，

所以平面上存在定點M(■, 0)，使得圓C恒過點M.

方法二：

由（2）知 P(■, ■)，Q(-■,■)，PQ的中點C的坐標為(■, ■)，|PQ|２ = (■)２+(■)２，所以圓C的方程為(x-■)２+(y-■)２=■[(■)２+(■)２]，整理得x２+■x+y２-■+■(■-x)-(■)y=0, 上式對任意 k≠0均成立，

當且僅當x２+■x+y２-■=0，■-x=0，ｙ=0， 解得x＝■，ｙ=0.

方法三：由前面定理1易知，在平面上存在定點M(■, 0)（即拋物線的焦點F），使得圓C恒過點M.

5． 總結升華

特殊與一般是中學數學的一種重要的數學思想．在解決問題時，以特殊問題為起點，逐步分析、比較、討論，層層深入，揭示規律，并由此推廣到一般．從解決特殊問題的過程中，尋求解決一般問題的方法和規律．在運動變化過程中加深對數學問題的認識和理解，直至完美認識．

本篇內容穿行于特殊與一般的思想中，彼此照應．開始從特殊中窺見一般，最后又用一般為特殊服務．在特殊與一般中相互促進，在穿行來回中得到升華，樂此不疲，美哉，快哉！

（作者單位：江門市新會華僑中學）

責任編校 徐國堅

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