關于阻尼模型及其應用的幾點探討

梁 鵬 花

(山西省建筑設計研究院，山西 太原 030013)

關于阻尼模型及其應用的幾點探討

梁 鵬 花

(山西省建筑設計研究院，山西 太原 030013)

指出阻尼作為結構動力響應分析的最重要的參數之一，是結構振動中描述能量耗散的指標，介紹了阻尼的分類及幾種常見阻尼模型，并對其在結構動力分析中的應用做了簡單闡述，為結構動力特性研究提供了理論依據。

阻尼理論，Rayleigh阻尼，Caughey阻尼，振型疊加法

結構的動力特性包括阻尼因數、固有頻率、振型等，阻尼作為一切物體的固有動力特性，用以描述物體在振動過程中的能量耗散，阻尼的存在，使物體的動能不可逆地逐漸轉變為其他能量，因此它是影響物體動力反應的重要因素之一。目前，雖然人們已經認識到阻尼的重要性，但由于阻尼機理的復雜性，使得阻尼不能像質量矩陣及剛度矩陣那樣可以對應有明確的物理意義，大多數學者及工程師仍然主要從宏觀層面上把握理解結構的阻尼特性。對于動力時程分析中較為通用的Rayleigh阻尼模型只能精確設定兩階振型的阻尼比，而往往夸大高階模態的振型阻尼比。另外，結構進入彈塑性后，由于剛度退化，系統的振型和自振頻率都會相應改變，目前對于彈塑性動力分析中的阻尼模型，仍沒有統一的認識。

1 阻尼類別

阻尼機理復雜，結構動力分析中，目前據人們對阻尼現象的認識包括：

1)材料阻尼或內部阻尼，主要由結構內部微觀層面的相互作用引起。該類阻尼主要是由材料的性質決定的，形成機理為材料在動力狀態下內部宏觀或微觀粒子間的運動摩擦所形成，在建筑結構中，該類典型的代表是混凝土材料，其內部各種成分之間的摩擦造成能量消耗即干摩擦耗能，這是結構阻尼產生的根本原因。

2)邊界阻尼或結構阻尼，主要由于結構內各構件或各組成部分間的相對運動引起，比如鋼結構節點處的轉動摩擦、構件的相對滑移等。庫侖阻尼就是該類阻尼的典型代表。

3)流體粘滯阻尼，主要由浸于流體中的系統受流體阻力產生，比如粘滯阻尼器。

2 常用阻尼模型

一個好的阻尼模型應該能較全面及真實的概括各類阻尼，在物理概念上，學者們常常將阻尼模型歸類為粘滯阻尼模型和滯后阻尼模型；在數學處理上按照計算方法阻尼模型常可分為比例阻尼模型與非比例阻尼模型[1]。

粘滯阻尼模型所表達的阻尼力與變形速度成比例，由于與速度成正比，它所建立的運動方程為線性微分方程，可方便的應用于時域及頻域的計算，這也就是其得到廣泛應用的主要原因。采用該阻尼模型時阻尼具有頻變的特性。

滯后阻尼模型又稱為復阻尼模型[2]，所表達的阻尼力與彈性力恢復力成正比，方向與速度同相位。該阻尼理論相當于在剛度矩陣上附加復剛度矩陣，體系的運動方程為復數微分方程，在時域內計算困難，可以方便的應用于頻域計算。對于線性問題，可轉換到頻域求解或采用復模態疊加法求解。滯后阻尼理論的特點是阻尼具有非頻變的特性，符合試驗中所發現的阻尼力在相當頻帶寬內變化緩慢的事實，但當推廣到無限頻帶寬時將導致與物理事實相悖的結果。

比例阻尼以Rayleigh阻尼，以及Rayleigh阻尼的拓展形式如Caughey阻尼、Clouugh阻尼、修正的Rayleigh阻尼為代表，又稱為經典阻尼。

非比例阻尼又稱為非經典阻尼，實際結構體系中具有比例阻尼的情況極少，一般都具有非比例(非經典)阻尼特性，非比例阻尼體系具有復模態振型，嚴格來說，非比例阻尼體系并不存在所謂的“振型”，因此傳統求解比例阻尼體系的模態疊加法已不再適用，常用求解方法有：復模態方法、近似解耦方法、擬力實模態疊加法、Ritz向量疊加法、直接積分法。

比例阻尼模型雖然使結構動力分析簡單，但它常常并不完全符合結構阻尼的真實情況，在實際工程結構中，由于阻尼特性明顯不同的鋼筋—混凝土結構組合形式的采用，各種機械阻尼器在結構工程中的廣泛應用，以及土—結構相互作用等問題的出現，非經典阻尼或非比例阻尼問題逐漸得到了重視。非比例阻尼模型的特點是阻尼矩陣無法被結構的無阻尼振型解耦，結構動力學分析得到的系統模態為復模態。對于具有非比例阻尼系統響應的解，只能用數值計算的方法進行近似求解。

3 比例阻尼建模

比例阻尼的一般形式為[3]：

(1)

在結構動力分析中，應用最為廣泛的一類阻尼模型為Rayleigh阻尼模型，其假定結構的阻尼矩陣是質量矩陣和剛度矩陣的線性組合：

[C]=a0[M]+a1[K]

(2)

其中，a0，a1均為比例常數，可根據結構低階振型的頻率和阻尼比，利用振型正交性得出a0和a1的取值。

Rayleigh阻尼模型只有兩階振型與實際阻尼比一致，可以通過構造更多項的線性組合，達到更多階振型的阻尼比滿足實測阻尼比，這種拓展的Rayleigh阻尼模型又叫做Caughey阻尼模型[4]:

(3)

Wilson與Penzien[5]提出一種解決Caughey阻尼模型存在數值計算困難的方法：

(4)

稱之為Wilson-Penzien阻尼。

Luco[6]也提出一種解決柯西阻尼模型存在數值計算困難的方法：

(5)

Clough[3]提出一種可以彌補Wilson-Penzien阻尼模型具有無阻尼模態缺陷的一種阻尼形式：

(6)

董軍等[7]提出一種算法類似于克拉夫阻尼的修正Rayleigh阻尼模型：

(7)

此外，還有不少學者對之前學者提出的阻尼模型進行過研究，并提出了相應的阻尼建模方法，但由于形式復雜，不便于應用，此處便不予列出。

4 各類阻尼在結構動力學中應用

當選用比例阻尼模型進行結構動力計算時，由于只能精確控制有限階振型的阻尼比，因此關鍵問題是要確定需要精確控制哪幾階振型的阻尼比。這就要明確各階振型對響應的貢獻。首先要看振型參與系數，一般認為振型參與系數越大其對響應貢獻越大。其次要看動力放大系數，動力放大系數是阻尼比及頻比的函數，而一般認為各階振型的阻尼比不變，所以只關注頻比即可。可對地震時程進行傅里葉變換分析其頻譜特性，從而得到卓越周期的范圍，自振頻率落在此范圍內的那階振型動力放大系數應該較大。最后也不能忽略地震動幅值的影響，可在考慮動力放大系數時進行兼顧。

目前在動力學分析中，確定Rayleigh阻尼模型所需要的兩個振型的控制頻率，一個是取第一階振型，另一個一般應根據各振型的振型參與系數，及模型本身的自振頻率特性和地震波的頻譜特性取[8]。

如果要使更多階振型的阻尼比滿足實測阻尼比時，就要考慮Caughey阻尼。而現有的大型有限元軟件無法實現Caughey阻尼，必須進行編程。

非線性動力分析時，也存在如何形成合適的阻尼模型的問題。此時振型疊加法已不再適用，只能通過實驗對比所選阻尼模型的精確性。

如果考慮土—結構相互作用，土介質的阻尼特性常采用滯后阻尼模型，易在頻域內進行分析。但在實際的強震過程中，土體一般已進入非線性階段，應采用時域的非線性分析方法。此時阻尼系數轉換頻率的確定成為關鍵問題。

5 結語

本文對阻尼的成因、阻尼理論及常見阻尼模型做了較為全面的介紹 ，其中挑選目前在結構動力學中最為常用的兩種比例阻尼模型：Rayleigh阻尼模型和Caughey阻尼模型的定義及在結構動力學中的具體應用做了詳細介紹，對于非比例阻尼的建模問題將會是作者今后研究的課題。

[1] 結構動力分析中的阻尼模型研究[J].湖南城市學院學報(自然科學版)，2009，18(2)：13-16.

[2] 樓夢麟，潘旦光.滯后阻尼在土層時域分析中的應用[J].同濟大學學報,2004，32(4)：281-285.

[3] Clough R W,Penzien J.Dynamics of structures[M].New York:Mc Graw-Hill,1993.

[4] Chopra A K.Matrix Dynamics of structures:Theory and applications to earthquake engineering,seconded.[M].New Jersey:Prentice-Hall,2001.

[5] E.L.Wilson,J.Penzien.Evaluation of orthogonal damping matrices[J].International Journal For Numerical Methods In Engineering,1972(4):5-10.

[6] J.Enrique Luco.A note on classical damping matrices[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics,2008(37):615-626.

[7] 董 軍,鄧洪洲.結構動力分析阻尼模型研究[J].世界地震工程,2000,16(4):63-69.

[8] 淡丹輝，孫利民.結構動力有限元分析的阻尼建模及評論[J].振動與沖擊，2007，26(4)：121-123.

Some discussion on damping model and its application

LIANG Peng-hua

(ShanxiArchitecturalDesign&ResearchInstitute,Taiyuan030013,China)

It points out that damping is one of the most important parameters in structural dynamic response analysis, it is the index to describe the energy dissipation in structural vibration. The damping classification and several common damping model are introduced in this paper. And simply elaborated its application in structural dynamic analysis, provided theoretical basis of the research on structural dynamic characteristics.

damping theory, Rayleigh damping model, Caughey damping model, mode superposition method

1009-6825(2014)15-0039-02

2013-12-19

梁鵬花(1978- )，女，工程師

TU311.3

A