具有馬爾科夫分布時延網絡控制系統的保性能控制器設計*

朱其新 盧開紅 朱永紅 胡壽松

1. 蘇州科技學院機械工程學院，蘇州 215009 2．華東交通大學電氣與電子工程學院，南昌 330013 3．景德鎮陶瓷學院機械電子學院，景德鎮3330014. 南京航空航天大學自動化學院，南京 210016

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具有馬爾科夫分布時延網絡控制系統的保性能控制器設計*

朱其新1,2盧開紅2朱永紅3胡壽松4

1. 蘇州科技學院機械工程學院，蘇州 215009 2．華東交通大學電氣與電子工程學院，南昌 330013 3．景德鎮陶瓷學院機械電子學院，景德鎮3330014. 南京航空航天大學自動化學院，南京 210016

針對一類具有馬爾科夫時延的網絡控制系統，討論了其保性能控制器的設計問題，并提出了一種通過切換反饋增益來維持網絡控制系統性能的設計方法。首先把網絡控制系統建模為一類具有不確定性參數的離散系統，利用Lyapunov穩定性理論，討論了系統的穩定性，結合一個最優二次型性能指標，推導出該類系統保性能控制器的存在性。最后通過仿真算例驗證了此控制方法的有效性和可行性。

網絡控制系統；馬爾科夫時延；Lyapunov穩定性；最優二次型性能指標；保性能

網絡控制系統( Networked Control System ,NCS) 是指通過實時網絡形成閉環的反饋控制系統[1-3],它融合了計算機、通信、網絡和控制等技術。與傳統的點對點連接方式相比 ，它具有連線少、信息資源能共享、易于維護和擴展等優點。因此，NCS的研究受到越來越多的學者的關注并成為研究的一個熱點。當NCS各組件之間通過網絡傳輸信息時不可避免地產生網絡誘導時延(包括傳感器-控制器時延τsc,控制器-執行器時延τca)，而時延會導致系統性能降低甚至可能會引起系統不穩定。因而要使NCS具有較好的性能，NCS控制器必須對網絡誘導時延進行補償。文獻[4]討論了短時延NCS的LQG控制問題；文獻[5]討論了長延時NCS的H∞控制問題；文獻[6]針對一類馬爾科夫網絡控制系統，研究了均方指數問題；文獻[7-8]把網絡控制系統建模為一類具有不確定性的離散時延系統，討論了一類不確定性時延網絡控制系統保性能控制器的設計問題，其中文獻[8]將Lyapunov穩定性原理和魯棒控制理論結合，提出了魯棒保性能控制的存在條件。本文針對具有馬爾科夫跳躍特性時延的網絡控制系統，將其建模為一類不確定性的離散系統。并通過反饋將其轉換為含有不確定參數的閉環系統。利用Lyapunov穩定性理論和矩陣不等式給出了該類系統保性能控制律存在的條件。

1 問題描述

考慮一類含不確定參數的線性離散系統，如下所示

(1)

其中，x∈Rn，u∈Rn，y∈Rn分別為狀態、輸入和輸出狀態向量。Ao,Bo,C和D分別為適維的系統、輸入、輸出和傳輸矩陣的確定分量。ΔA[τ(k)]，ΔB[τ(k)]為系統受時延影響產生的不確定參數。

網絡控制系統中不可避免地存在時延。在實時網絡系統中，當前的時延通常與之前時刻的時延有關，這種隨機時延服從馬爾科夫分布，可建模為馬爾科夫鏈[9]。

為了分析問題的方便，本文不考慮數據包的時序錯亂問題,作如下假設：

1) 馬爾科夫的狀態在一個采樣周期內最多轉換一次；

2) 網絡誘導延時有界服從一確定的分布，且0≤τ(k)<τ≤∞ ；

3) 傳感器、控制器和執行器均為時鐘驅動。

網絡誘導時延τ(k)的概率分布由馬爾科夫鏈中的狀態給出，根據假設2)，不妨令生成隨機變量的馬爾科夫鏈有τ+1個狀態，即

τ(k)∈I=(0,1,…,τ)

馬爾科夫鏈從第i個狀態到第j個狀態的轉移概率為

(2)

其中

所有pij可以構成一步轉移概率矩陣,即有：

(3)

馬爾可夫鏈是一個時間離散且狀態離散的隨機過程，它的狀態是在時間一步步推進的過程中，按照一步轉移概率矩陣中的轉移概率發生改變的。

一般假設控制器采用最新數據，若新的采樣數據可在一個采樣周期內到達控制器，則控制器收到數據后立即計算控制量并輸出至執行器，若在一個采樣周期內控制器未收到數據包，則認為丟包發生，此時控制量u保持舊的數據不變。這種控制策略常見于一些實時網絡控制系統中。

假設系統狀態完全可測，考慮式(1)的離散控制模型，令狀態反饋控制器的控制增益為Kτ(k)，狀態反饋可表示為：

圖1 網絡控制系統結構

u(k)=Kτ(k)x(k-τ(k))

(4)

對于不確定系統式(1)，令A=Ao+ΔA[τ(k)]，B=Bo+ΔB[τ(k)]。 將式(2)代入式(1)可得狀態閉環系統為

x(k+1)=Ax(k)+BKτ(k)x(k-τ(k))

(5)

系統結構如圖1所示，該系統可根據時延的變化，通過改變切換開關的位置來對Kτ(k)進行合理選取以達到理想的控制性能。也就是說，時延的變化將引發相應的切換開關動作，切換開關的動作規律與時延的狀態是一一對應的。

2 保性能控制器設計

對于閉環系統(5)，本文討論使下列性能指標極小的控制律設計

(6)

其中,Q，R為對稱正定陣。

1)S<0；

u(k)=Kτ(k)x(k-τ(k))。

定理1 對于已知的正定對稱矩陣Q，R，P，若存在反饋控制增益Kτ(k)，使矩陣不等式

< 0

(7)

成立，則系統(5)漸近穩定，且對系統所有允許的不確定性，系統的性能指標值滿足

J∞

(8)

其中,M=-(BΤPB+R)-1。

證明：若矩陣不等式(7)成立，即有

< 0

應用引理1可得

(9)

(10)

可得：

(11)

即有

(A+BKτ(k))ΤP(A+BKτ(k))-P+Q+

(12)

可得

(A+BKτ(k))ΤP(A+BKτ(k))-P<

(13)

Q，R正定，必有

[A+BKτ(k)]ΤP[A+BKτ(k)]-P<

(14)

現取Lyapunov函數為

V(k)=xΤ(k)Px(k)

(15)

沿系統(5)的任意軌線向前作差分必有

ΔV(k)=V(k+1)-V(k)=

{[A+BKτ(k)]x(k)}ΤP[A+BKτ(k)]x(k)-

xΤ(k)Px(k)=xΤ(k){[A+

BKτ(k)]ΤP[A+BKτ(k)]-P}x(k)

(16)

根據式(14)可知

(17)

故閉環系統系統(5)漸進穩定，即有

(18)

對于性能指標(6)有

根據式(17),可知

(19)

J∞

(20)

由定義1可知，系統(5)的保性能控制律存在。因此，定理1得證。

3 仿真算例

以如下所示網絡控制下的一不穩定模型為對象進行仿真研究，以驗證本文所提出的控制算法。取采樣周期T=1s，考慮如下模型：

其中

討論性能指標(6)：

假設系統初始狀態為

x(0)=[0.400 -0.7800]Τ，

系統存在馬爾科夫時延τ(k)∈(0,1)，且時延的初始狀態為τ(0)=0，傳輸概率矩陣為：

由以上傳輸概率矩陣,根據馬爾可夫鏈蒙特卡洛仿真[10]可以獲得馬爾科夫延時曲線，如圖2所示，存在正定陣：

由于系統受時延影響，通過解不等式(7)所示的矩陣不等式的可行性解的問題，可得一組根據時延跳躍變化而反復跳躍切換的最優反饋增益：

Kτ(k)=0=[-0.0156 0.0280]，

Kτ(k)=1=[-0.0160 0.0296]。

即可得到所考慮系統的保性能控制律為：

當時延τ=0時，

u(k)=[-0.0156 0.0280]x(k)；

當時延τ=1時，

u(k)=[-0.0160 0.0296]x(k-1)；

相應閉環系統的保性能J∞=1.0869。

在此保性能控制律的條件下，閉環系統的控制信號曲線和狀態響應曲線分別如圖3和4所示。顯然從圖中可以看出，系統存在馬爾科夫延時時，在上述的保性能控制器作用下，系統具備良好的漸進穩定性能和控制性能。

圖2 馬爾科夫延時曲線τ(k)

圖3 閉環狀態軌跡曲線

圖4 控制信號軌跡曲線

4 結論

針對一類具有馬爾科夫跳躍特性時延的網絡控制系統，將其建模為一類不確定性的離散系統。并通過反饋將其轉換為含有不確定參數的閉環系統，提出了一種通過切換反饋增益來維持網絡控制系統性能的設計方法。利用Lyapunov穩定性理論和最優控制理論給出了該類系統保性能控制律存在的條件。

由于系統本身受時延影響而導致了不確定性，為了維持系統良好的性能，就需要系統像仿真算例中一樣對保性能狀態反饋增益進行切換。為了使反饋增益的切換次數有限，當延時在很小的范圍類，時延對系統的影響可以忽略不計，同一反饋增益可以達到期望的控制目的；但假設時延超過某一臨界值時，就需要對系統反饋增益進行有效切換。決定保性能狀態反饋增益進行切換的這一臨界值的選取有待于進一步的研究。

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The Guaranteed-Cost Controller Design for Networked-Control

ZHU Qixin1,2LU Kaihong2ZHU Yonghong3HU Shousong4

1. School of Mechanical Engineering, Suzhou University of Science and Technology,Suzhou 215009，China 2.School of Electronical and Electronic Engineering, East China Jiaotong University, Nanchang 330013，China 3. School of Mechanical and Electronic Engineering, Jingdezhen Ceramic Institute, Jingdezheng 333001，China 4. College of Automatic Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016，China

RegardingaclassofMarkovtime-delaynetworkedcontrolsystems,theproblemofdesigningguaranteedcostcontrollerisresearchedandaswitchingfeedbackgainmethodisproposedtomaintainsystemperformance.Firstly,thenetworkedcontrolsystemsaremodeledasdiscretesystemswithuncertainparameters.ThroughusingLyapunovstabilitytheory,thesystemstabilityisdiscussed.Then,bycombiningwithagivenoptimalquadraticperformanceindex,theexistenceofguaranteedcostcontrollersisderived,andthecorrespondingdesignmethodofguaranteedcostcontrollerisproposed,whichisbasedonLMItoolbox.Finally,theeffectivenessandfeasibilityofthecontrolmethodareverifiedwithasimulationcase.

Networkedcontrolsystem; Markovtimedelay;StabilitytheoryofLyapunov;Optimalquadraticperformanceindex;Guaranteedcost

*國家自然科學基金資助項目(51375323,61164014)

2013-11-05

朱其新(1971-)，男，安徽定遠人，博士，教授，主要研究方向為網絡控制和伺服控制；盧開紅(1990-)，男，四川南充人，碩士研究生，主要研究方向為網絡控制；朱永紅(1965-)，男，江西鄱陽人，博士，教授，主要研究方向網絡控制和陶瓷窯爐控制；胡壽松(1937-)，男，南京人，教授，博士生導師，主要研究方向為故障診斷及復雜系統的自修復控制。

1006-3242(2014)04-0003-05

TP273

A