基于時滯理論的火箭發動機燃燒過程有記憶反饋控制

惠俊軍 張合新 周 鑫 孟 飛 李國梁

1.第二炮兵工程大學，西安710025 2.中國人民解放軍96411部隊，寶雞721013

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基于時滯理論的火箭發動機燃燒過程有記憶反饋控制

惠俊軍1,2張合新1周 鑫1孟 飛1李國梁1

1.第二炮兵工程大學，西安710025 2.中國人民解放軍96411部隊，寶雞721013

在控制系統中，時滯的存在往往引起系統性能變差，甚至不穩定。文中針對線性時滯系統，基于時滯分割方法分析建立了系統穩定新條件，在此基礎上，設計了有記憶反饋控制器，該方法通過求解線性矩陣不等式(LMI)的可行解得到控制器的參數化表達式。該控制器應用于液體火箭發動機燃燒室燃燒過程的仿真表明，所提方法擴大了系統穩定的最大時滯上界范圍，具有更低的保守性，同時具有更好的控制效果。

火箭發動機；Lyapunov-Krasovskii (L-K)泛函；時滯分解；狀態反饋；線性矩陣不等式

時滯現象常存在于導彈的制導、飛行器的控制與航空航天系統當中，它的存在一方面使得系統的分析與控制器的設計變的復雜，另一方面可以導致系統性能惡化甚至不穩定。所以對時滯系統的穩定性分析與綜合問題一直是控制理論研究的熱點問題[1]。

在載人航天，空間運輸的動力系統——液體火箭發動機的研制當中，經常會遇到不穩定燃燒問題，其燃燒室內燃燒過程的動態模型是一不穩定時滯系統[2-3]，近年來受到不少學者的關注[4-11]，如何保證燃燒室的穩定燃燒，提高系統的穩定性能，學者們提出不同的方法。文獻[4]利用矩陣特征等式降階技術研究了該系統的魯棒鎮定性問題；文獻[5-6]設計了變結構控制器；文獻[7]利用凸優化算法設計了該系統的無記憶反饋控制器；文獻[8-9]采用模型變換結合交叉項界定技術對此問題做了進一步深入研究，得出系統魯棒穩定和鎮定的充分條件。然而由于模型變換存在固有的缺陷,會導致系統的保守性。文獻[10]基于拉格朗日均值定理和Lyapunov穩定性定理相結合的分析方法，給出了系統可魯棒鎮定的時滯相關條件，該方法避免了模型變換引起的不足，但應用于燃燒鎮定時所獲得的參數可鎮定范圍較小。文獻 [11]采用積分不等式方法研究燃燒過程的無記憶魯棒鎮定問題，獲得了較好的穩定性能和鎮定性能。然而文獻[11]在構造控制器的過程中，只利用當前狀態信息x(t)，沒有考慮狀態x(t-δ)對系統性能的影響，結論相對較為保守。

本文基于時滯分割理論，通過把時滯區間[-δ,0]進行平均分割，構造適當的L-K泛函并結合積分不等式方法建立了基于LMI形式的有記憶狀態反饋控制器。該控制器應用于火箭發動機的燃燒過程，仿真結果表明，該方法擴大了系統穩定的最大時滯上界范圍，且具有較好的控制效果。

1 問題描述

考慮如下線性時滯系統：

(1)

其中，x(t)∈Rn是狀態向量，u(t)∈R為控制輸入，φ(t)為連續的初始向量函數，A，A1，B為給定的常數矩陣。

本文的目的是設計有記憶的反饋控制器：

u(t)=K1x(t)+K2x(t-δ)

(2)

使得系統(1)漸近穩定。

證明中用到如下引理：

引理[12]對于任意的定常矩陣X∈Rn×n,X=XT>0，標量h>0，向量函數x(t):[0,h]→Rn的以下相關積分項有定義，則有

2 穩定性判據及控制器設計

首先考慮當u(t)=0時，系統(1)的穩定性問題，即：

(3)

2.1 穩定性判據

定理1 對于給定的常數δ和正整數N≥2，若存在正定矩陣P，Q，R，W和

(4)

則系統(3)是漸近穩定的，其中

Ξ12=W+S12，Ξ23=S23-S12，

證明：首先基于時滯分割法構造如下形式的L-K泛函：

(5)

其中,

取V(t)沿系統(3)對時間取導數得:

(6)

由引理可得

(7)

(8)

(9)

其中，

Φ12=W+S12，Φ14=PA1+R+ATMA1，

Φ23=S23-S12，M=δ2R+(δ/N)2W。

2.2 有記憶的反饋控制器的設計

在2.1穩定性定理的基礎上，下面給出有記憶反饋控制器的設計。

(10)

則閉環控制系統(3)是漸近穩定的，且控制器的參數化表示為：

(11)

其中，

3 火箭發動機燃燒過程仿真

本節考慮帶有反饋伺服機構的單一燃料液體火箭發動機，在假定非恒穩流動并考慮一致滯后情況下，文獻[2-3,7]給出整個系統的動態方程為：

(12)

其中,φ(t) 表示燃燒室內的瞬時壓力，μ1(t)表示燃料流過的瞬時質量速度，μ(t)表示整個系統的燃料穩態質量速率，ψ(t)表示燃料管道的瞬時壓力。選u(t)為壓力控制輸入,取γ=1，ξ=0.5，P=1，J=2，Ee=1，令x(t)=[φ(t)μ1(t)μ(t)

ψ(t)]T，則燃燒過程方程可表示為:

(13)

其中：

圖1 燃燒室燃燒過程的自由運動曲線

下面分析系統的穩定性能及控制器的鎮定性能。

1) 自由系統穩定性能分析

首先考慮在不加控制時，自由系統的穩定性能。由文獻[11]定理1計算可知，保證系統穩定的最大時滯上界為δmax=0.7061；應用本文定理1，當取時滯分割數N=2時，計算可得保證系統穩定的最大時滯上界 為δmax=0.7440；當N=3時，獲得的最大時滯上界δmax=0.7510。可見本文方法擴大了系統穩定的時滯上界范圍，具有更低的保守性。

2) 系統的鎮定性能

在線性反饋控制器的作用下，文獻[10]計算系統可鎮定的時滯上界為δmax=0.898，相應的控制增益為：K=[-89.125 -20.000 -215.161 -125.040]。

文獻[11]得到的最大時滯上界為δmax=0.999995，為了便于比較，這里取相同的時滯參數δ=0.898，則對應的控制增益為：

K=

[46.1892 -14.0652 107.4290 -87.1953]。

由本文定理2，當時滯分割數N=5(取調整參數d1=0.3，d2=0.6)時，求解定理2的線性矩陣不等式(10)，可得系統鎮定的時滯上界為δmax=1.0440，取δ=0.898，則相應的參數解為：

，

，

控制器增益為：

K1=

[9.3956 -4.3986 5.4489 -4.0673]，

K2=

[-4.6602 -0.3174 0.7965 -0.1295]。

可見本文方法擴大了閉環系統可鎮定的范圍，具有更低的保守性。另外在相同的比較條件下，本文控制器具有較小的增益。

將上述反饋增益代入燃燒過程仿真得圖2～4所示。

圖2 文獻[10]控制器作用下系統的狀態響應

圖3 文獻[11]控制器作用下系統的狀態響應

圖4 本文控制器作用下系統的狀態響應

從圖2～4可以看出，系統在文獻[10]的作用下，系統狀態曲線振蕩幅度較大，收斂較慢；在文獻[11]控制器的作用下,收斂較快，但是狀態變量x2(t)曲線振蕩仍然較大；在本文有記憶狀態反饋控制器的作用下,收斂較快、狀態曲線振蕩較小，具有較好的控制效果。

4 結論

首先基于時滯分割理論研究了系統的穩定性問題，在此基礎上設計了有記憶反饋控制器。該控制器應用于液體火箭發動機的燃燒室的燃燒過程，仿真驗證了所提方法的有效性，同時和已有文獻相比，具有更小的保守性和較好的控制效果。

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The Memory Feedback Controller for Combustion Process in Rocket Motor Based on Theory of Time-Delay

HUI Junjun1,2ZHANG Hexin1ZHOU Xin1MENG Fei1LI Guoliang1

1. Department of Automation, The Second Artillery Engineering University, Xi’an 710025, China 2. No.96411 Unit,People’s Liberation Army of China,Baoji 721013, China

Incontrolsystems,timedelayisalwaysthesourceofinstabilityandpoorperformance.Regardingthelineartime-delaysystem,anewstabilityconditionisformulated,whichisbasedondelay-decompositionapproach.Basedonthiscondition,amemorystatefeedbackcontrollerisdesignedandtheparameterexpressionofcontrollerisobtainedbysolvingthefeasiblesolutionproblemoflinearmatrixinequality(LMI).Then,thiscontrollerisappliedtothecombustionprocessinliquidpropellantrocketmotorchambers.Thesimulationresultsshowthattheproposedmethodenlargestheupperboundofthetime-delayandhasgoodperformance.

Rocketmotors; Lyapunov-Krasovskii (L-K)functional;Delay-decomposition;Statefeedback；Linearmatrixinequality(LMI)

2013-07-23

惠俊軍(1977-)，男，西安人，博士，主要研究方向為時滯系統的穩定性與控制；張合新(1965-)，男，河北易縣人，教授，博士生導師，主要研究方向為導航、制導與控制；周 鑫(1979-)，男，湖南益陽人，講師，主要研究方向為網絡控制系統；孟 飛(1976-)，男，安徽亳州人，講師，主要研究方向為導航、制導與控制；李國梁(1981-)，男，呼和浩特人，博士，主要研究方向為網絡控制系統。

1006-3242(2014)04-0031-06

TP13

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