擴頻信號跟蹤環路中的鎖頻環研究*

馬 路 石立國 王竹剛

1.中國科學院大學，北京 10019 2.中國科學院空間科學與應用研究中心，北京 100190

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擴頻信號跟蹤環路中的鎖頻環研究*

馬 路1,2石立國1,2王竹剛2

1.中國科學院大學，北京 10019 2.中國科學院空間科學與應用研究中心，北京 100190

為了正確地接收擴頻應答機的高動態信號，接收機需要很寬的頻率跟蹤范圍。二階鎖頻環，因其對頻率斜升信號的頻率跟蹤誤差為0而廣泛應用于擴頻信號的跟蹤環路。在詳細分析了具有四象限反正切鑒頻器的二階鎖頻環的噪聲特性、頻率跟蹤范圍的基礎上，通過仿真得到了最優環路帶寬。整個分析和推導過程及結論對擴頻信號跟蹤環路的設計和優化具有很好的參考價值。

擴頻信號；二階鎖頻環；四象限反正切鑒頻器；最優帶寬

航天測控系統的發展以航天器飛行需求為牽引。早期的航天器測控與通信系統采用單一功能的分散體制，不同的測控功能由相互分離的跟蹤設備、遙測設備、遙控設備分別在不同的頻段完成。60年代中期出現了S波段統一測控系統(Unified S-Band System，USB)，它的主要特點是集各種功能于一體，設備簡單可靠，但是測距精度難以提高，難以實現對多目標的同時測控，抗干擾能力差。20世紀70年代以來，為了滿足不斷復雜的航天任務，出現了統一擴頻測控體制。它能實現多星同時測控，抗干擾性和隱蔽性高，多碼合一和時分復用使設備簡單便于管理[1]。

同步技術是所有相干接收機的關鍵部分。擴頻應答機更是如此，在接收端它需要補償±90kHz的多普勒頻偏和3kHz/s的多普勒變化率。擴頻信號的高動態對同步技術提出了更高的要求。本文從該指標要求出發設計滿足統一擴頻測控體制需求的載波跟蹤技術。

1 軌道和信號模型

本文討論的軌道參數與文獻[1]相同，即：衛星過境時間為11min，多普勒頻率從+90kHz到-90kHz變化，最大多普勒變化率為3kHz/s。這些參數是根據低軌衛星理論參數并考慮一定的余量得到的。假定衛星軌道高度為500km，射頻載波為2.46GHz，衛星在軌道上的角速度為0.001106053390841rad/s，衛星從地面站0°視角的地方出現到最后消失在0°視角的地方的過境時間為：11.5636min。由此計算得到衛星的多普勒范圍為：±57.8kHz，多普勒變化率為880Hz/s，其對應的變化如圖(1)所示。由軌道速度轉化為多普勒頻移的公式如下[2]：

(1)

其中，vd(t)為多普勒速度，fc為射頻載波頻率，c為光速。

圖1 應答機動態特性

因此，信號的相位模型中只考慮到頻率斜升，不考慮頻率二次變化率及更高變化率的情況。

(2)

其中，f0是多普勒頻率，f1為頻率一次變化率。

雖然跟蹤頻率斜升信號的方法很多[3-4]，如卡爾曼濾波(Kalman)、二階鎖頻環(FLL)和三階鎖相環(PLL)。但是考慮到擴頻應答機的高動態以及相對于GPS信號高信噪比的特性，本文采用結構簡單的二階FLL對擴頻應答機信號進行載波跟蹤。詳細分析了環路的結構，數學模型，噪聲特性，動態特性和最優環路濾波器參數設計。

2 鎖頻環特性研究

2.1 鎖頻環線性數學模型

在擴頻應答機中，頻率鑒別器的作用是對頻率誤差δωk估計得到ek。頻率誤差估計的方法是計算積分清零之后的相鄰2個時間的相位誤差，估計得到的頻率誤差是TL時間內的平均誤差。一般情況下，頻率誤差只有在鑒頻器線性范圍內才能被正確估計出來[5]。

楚墨跟進臥室，念蓉已經躺下。楚墨替她關掉臺燈，緊挨著她躺下，一動不動。過了一會兒，楚墨支起身體，看看念蓉，伸出手，輕輕撫摸念蓉的肩膀，念蓉轉過身去，給楚墨一個冷脊梁。楚墨俯下身體，親吻念蓉的肩膀和后背，念蓉既不躲閃，也不迎合，冷淡得就像一條冬日的鰻魚。楚墨的嘴唇沿著念蓉的腰畔往下滑動，終吻上念蓉的腳踝。黑暗里的念蓉將腳抽開，說：“還想不想讓我睡覺了？”聲音里竟有幾絲厭惡。楚墨僵住了，嘴唇卻仍然保持著親吻的姿勢，黑暗里，要多可笑有多可笑。他嘆一口氣，老老實實地躺下，雙手抱緊抱枕。

圖2 FLL的數學模型

這些近似表達式將為分析和優化環路設計提供很大的方便。

(3)

圖1中,iD為流過二極管D的電流,vD為D兩端的電壓,vr為D的正向導通壓降,RD為D的導通電阻,CD為D的寄生電容。因此,vD也可表示為寄生電容CD兩端的電壓,視作為電路的狀態變量,致使二極管D的工作狀態是處于正向導通和反向截止?；趫D1所示電路模型,二極管D的伏安關系可描述為

由鑒頻器的鑒頻特性曲線可以看出：在無噪的情況下鑒頻范圍為：-π<δωTL<π；在有噪聲的情況下，鑒頻器的有效鑒頻范圍(單調線性區間)隨著信噪比的變化而變化。所以在分析環路穩定性之前，必須分析環路有效鑒頻范圍。

十五年后，重慶九院的成本管理效果凸顯，主院區蓋起了兩棟新的大樓；在香港艾力彼公司對重慶市醫院的綜合評價中，重慶九院位居主城區管醫院第一；在重慶市消費者協會進行的滿意度調查中，重慶九院名列第三；人均住院費連續多年低于重慶平均費用3000～4000元。

(4)

(5)

式中，ΔΩ(z)為δω(k)的Z變換，Nω(z)為nω(k)的Z變換。其中，NCO的傳輸函數為：

(6)

相位差分器：

(7)

從事招標采購工作的人員素質良莠不齊，職業自律意識薄弱，一些從業人員知法犯法，操作不規范，導致招標文件編制質量不高、招標方案存在漏洞、資格審查不嚴格，讓不法投標人有可乘之機。高?？梢约訌妼φ袠瞬少徣藛T的培訓，同時定期組織討論學習，解決在實際工作中遇到的困難，提高對實踐工作的認識和理解，提升工作人員的法律意識和專業水平。在專家庫建設過程中，細化專家分類，積極鼓勵更多的專家進入專家庫，同時加大對專家的培訓力度，加強招投標相關法律法規的學習，提高評標專家的職業素養。

(8)

其中，SNR為信噪比，CNR為載噪比，TL為積分清零時間，且有：SNR=CNR·TL=A2/σ2。

圖3是3種不同信噪比下的噪聲分布概率密度函數(Probability Density Function)。

圖3 不同信噪比下的鑒頻噪聲概率密度函數

2.2 噪聲帶寬和跟蹤誤差

根據圖5可知，arctan2鑒頻器的鑒頻函數可表示為：

（6）創新科技產品：智能家居、AR/VR產品、無人機、機器人、智能穿戴、數字醫療、健康運動數碼、節能環保等新技術、新能源產品等。

(9)

系統的帶寬越大，瞬時響應越快，但跟蹤誤差越大。

為了分析熱噪聲引入的頻率跟蹤誤差，必須得到nω的功率譜密度。由于頻率誤差估計值是通過相鄰積分清零時間的相位差差分得到的，所以經過鑒頻器之后的噪聲已不再是標準高斯白噪聲(相鄰2個樣本是相關的)，所以得到相關函數如下：

(10)

功率譜密度(PSD)和自相關函數之間是一對傅里葉變換對，其對應的Z域表達式為：

(11)

(12)

對于公路施工期噪聲而言，為了在今后工作的開展上創造出更高的價值，還必須在防噪設備的使用上取得更好的效果。例如，我們在施工過程中，對于一些設備的應用過程中，可以加強變頻系統的選用，這樣不僅可以在噪聲的分貝上有效降低，更加能夠促使施工設備的損壞有所減少。與此同時，防噪的一些裝備應有效佩戴，針對基礎施工人員和技術人員，都要加強防噪設備的使用，這對于人體造成的傷害可以有效的降低，對于公路施工期噪聲防治而言，也取得了較好的效果。

通常擴頻應答機的環路濾波器采用二階數字濾波器。其傳輸函數如下：

(13)

其中，C0，C1為二階濾波器的系數。其對應的傳輸函數的結構如圖4。環路濾波器參數設置如表1[8]。

圖4 二階數字濾波器結構

表1 環路濾波器參數設計

階數典型濾波器參數穩態誤差二階C0=1.414ωnTKC1=ω2nT2KBn=0.53ωnd2R/dt2ω2n

將環路濾波器F(z)、鑒頻器D(z)、數控振蕩器NCO(z)帶入系統傳輸函數和噪聲傳輸函數表達式得到二階傳輸函數為：

Hω(z)=

(14)

Hn(z)=

(15)

根據文獻[9]附錄中的表Ш得到二階鎖頻環的噪聲帶寬和噪聲方差為：

(16)

(17)

2.3 四象限反正切鑒頻器

四象限反正切鑒別器(arctan2)為：

(18)

其中，dot=IkIk-1+QkQk-1,cross=QkIk-1-IkQk-1。

該頻率鑒別結果等于相鄰2個積分清零時間間隔的相位差，并且對數據跳變敏感。

四象限反正切鑒頻器對頻率誤差的響應如圖5所示。可以看出，該鑒頻器對信噪比(SNR)敏感：鑒頻器線性區間和鑒頻增益隨著信噪比SNR的改變而變化。

圖5 不同信噪比下的鑒頻曲線

鑒頻器的鑒頻結果是2個連續的相位樣本在TL時間內的增量，這2個相位樣本可分別表示成如下的形式：δθ[k-1]+nω[k-1]和δθ[k-1]+δωTL+nω[k]，其中δωTL表示連續TL時間內的相位增量。就產生同樣大小的相位增量來說，可以做如下假定：k-1時刻的同相和正交分量的相位樣本分別為：Ik-1=cos(nω[k-1])，Qk-1=sin(nω[k-1])；k時刻的相位樣本為：Ik=cos(δωTL+nω[k])，Qk-1=sin(δωTL+nω[k])；鑒頻器對這2個相位樣本做差分得到頻率誤差δω。所以，四象限反正切鑒頻器(arctan2)的鑒頻結果可表示為：

(19)

其中，p(·)為噪聲分布函數，其表達式為式(8)，f(·)為arctan2鑒頻函數。

系統Hω(z)的雙邊噪聲帶寬為：

fatan2(δωTL)=δωTL

[u(δωTL+π)-u(δωTL-π)]

(20)

其中，u(·)為階躍函數(Heaviside)。

鑒頻器的鑒頻增益定義為鑒頻函數在頻率誤差為0處的斜率[6]，即：

(21)

(22)

鑒頻增益隨信噪比SNR的變化曲線如圖6所示。由圖6可知，當SNR>10dB時，鑒頻增益KD為常數1；當SNR<10dB時，鑒頻增益KD隨著信噪比SNR的降低而降低；當SNR<-15dB時，鑒頻增益KD幾乎為0。

圖6 不同信噪比下的鑒頻增益

(23)

圖7 不同信噪比下的鑒頻噪聲方差

采用同樣的方法可以得到相關函數Rn[1]的表達式為：

(24)

通過仿真可以發現，相關函數和Rn[0]具有一定的相關性。在高信噪比SNR情況下，Rn[1]近似為0.5Rn[0]。并且隨著信噪比減少，Rn[1]的相關性逐漸下降，頻率熱噪聲逐漸變成高斯白過程。如圖8所示為比值Rn[1]/Rn[0]隨信噪比的變化曲線。

圖8 不同信噪比下R[1]/R[0]比值變化

根據文獻[10]，當信噪比為 -3dB

通觀全書，王玉生的新著文風踏實，文筆流暢，文采飛揚，體現出作者的史觀、史學、史識和史才，體現了作者開闊的學術視野和扎實的理論功底，讀來有博大中正、凝重厚實之感，是一部深入研究蔡元培大學職能思想的佳作。這部著作的問世，必將能夠對我國大學改革與發展以重要的、有益的現實啟示。

KD≈1-e-0.7683·SNR

(25)

具有熱噪聲干擾的鑒頻器的鑒別結果可近似表示為：

3 環路穩定性和瞬態響應

為了分析環路的穩定性和跟蹤性能，建立了如圖2所示的FLL的線性數學模型。其中，D(z)為差分鑒頻器，KD為鑒頻增益，F(z)為環路濾波器，NCO(z)為數控振蕩器。

MOOCs是教師教學成果的新展現形式，是教師教學理念和教學經驗的新體現，不同教師制作的MOOCs所體現的教學理念、教學風格和教學技能等不同。教師通過在線平臺將自己的MOOCs內容發布到網絡，在方便學生自學的同時，也提高了課程資源共享，豐富了教學資源，擴大了優質資源共享。在線的MOOCs，精益求精，各有所長，優質MOOCs將會受到越來越多學習者的喜愛，得到更多關注，從而提升了MOOCs教學資源的質量。

鎖頻環的有效鑒頻范圍為鑒頻曲線中第一個峰值與零點的距離。由于鑒頻曲線在該點是峰值，所以在該點處的斜率為0，為此可以求出離0點最近的2個斜率為0的點，該點距離0點的長度即為有效鑒頻范圍。因此，求下列方程的根：

(26)

該方程沒法得到解析解，只能通過數值仿真的方法得到。如圖9為不同信噪比下的有效鑒頻區間。

圖9 不同信噪比下的有效鑒頻范圍

參照文獻[10]的擬合方法得到鑒頻區間與信噪比的關系如下：

(27)

無噪情況下的環路穩定條件和瞬時響應過程的討論可參考文獻[11]。下面分析在有噪聲情況下的環路穩定性條件和瞬時響應過程。

(28)

其中，Ω(z)為ω(k)的Z變換，ΔΩ(z)為w(k)的Z變換。該關系式建立了頻率跟蹤誤差與輸入頻率及環路濾波器F(z)之間的關系。下面將分析二階FLL的鎖定條件和頻率動態誤差。

二階FLL對應的鎖頻環的傳輸函數為式(13)，因此環路的時域差分方程滿足下式：

The Presentation of Macao by Mainland Tourism E-commerce—based on the Analysis of Website Content________________________HUANG Jihua,REN Xinying 13

wk+(G0+G1-2)wk-1+(1-G0)wk-2

(29)

假定輸入頻率二次變化率信號具有如下形式：

(30)

令環路參數r為：

(31)

為了分析環路的穩定性，采用文獻[12]中介紹的固定點方法。為此，需要將上述差分方程寫成xk+1=G(xk)的形式。假定yk=wk+1和xk=wk，則等式(29)可以轉換成如下的矩陣形式：

(32)

其中，頻差向量為wk=[xk,yk]T。

各景區都有其合理的環境承載量，但長假期間游客洪流般涌入各景區，造成了景區負荷嚴重超載，一些自然和人文景觀景點受到了污染和損害[2]，基礎設施損耗加劇，留下了大量垃圾。降低了游客的享受效用，影響了游客的觀景興致和審美情趣，景區所在地居民的生活環境被干擾，產生抵觸情緒。雖然帶來了巨額的經濟效益，但景區的可持續發展難以為繼。

(33)

為了保證G′(x)的特征值小于1，得到如下關系式

(34)

令式(33)等于0，可以得到環路更快收斂的條件為：

從王鉆清一百余首大時空詩中，我們發現他的“大時空詩”（或稱“科幻詩”）形成了“體系”。他在自己的寫作中，在未來設計的時空壓縮與時代嬗變的文化反芻中，一邊建立自己與時間幻想、空間探測、抽象現實、人類未來等相關的題材體系——將地表人、外星人、地球、月球、太陽、火星、星系、太空、外太空等作為描寫對象，把光年、光速、量子、粒子、中子、微中子等當作詩歌的“大數據”；一邊建立與“大時空”、人類性、現代性等諸多因子緊密聯系且富有個性的語言體系——科幻的、詩性的、哲思的、神性的、靈異的、奇幻的、混沌的語言體系；或者說，構成顯而易見的一套完整的由科幻新感覺、轉喻新概念、眾多新意象組成的前后連貫的體系。

G0=1,rG0=2

(35)

(36)

由此得到二階FLL對頻率斜升信號的牽引范圍為：

(37)

假定環路的預檢積分時間為TL=0.5ms，二階頻率變化率為ω2=40π rad/s2，則在G0-r平面上繪制FLL的參數穩定取值范圍如圖10所示。二階鎖頻環的瞬時響應如圖11所示。由圖得到，環路收斂最快的參數為：G0=1，r=2。

圖10 不同濾波系數下的瞬態響應

圖11 ω2=40π(rad/s3)時的穩定區域

4 最優帶寬設計

環路濾波器的作用是對誤差信號進行濾波處理，其輸出量直接控制NCO。因此，濾波器的好壞決定著環路的跟蹤誤差。對于階數確定的二階FLL，其濾波器參數必然存在使環路跟蹤誤差最小的數值，而濾波器參數與環路帶寬具有表1所示的關系。因此，環路必存在最優帶寬。

三是各級稅務機關要對納稅信用良好、生產經營困難的民營企業，進一步研究針對性、操作性強的稅收幫扶措施，并積極推動納入地方政府的統籌安排中。對確有特殊困難而不能按期繳納稅款的民營企業，要通過依法辦理稅款延期繳納等方式，積極幫助企業緩解資金壓力。

穩態優化的目的是使環路的穩態誤差最小。其性能函數如下：

Q=E[nω(k)]2+λ[ω(∞)]2

(38)

其中，參數λ是動態誤差占總的跟蹤誤差的權重。

根據式(17)和(38)得到環路的性能函數為：

(39)

利用式(39)可以得到穩態情況下的最優環路帶寬。

點評：首屆進博會以“新時代，共享未來”為主題，展覽規模龐大，各參展商帶來的展品含金量十足，從世界500強到新銳公司，從智能制造到農產品，五洲四海賓朋紛至沓來，全球產品匯聚一堂。從“會飛”的汽車、“人機對戰”乒乓球機器人到嬰幼兒專用核磁共振儀……500多項新產品、新技術或服務在進博會上首發，全面呈現國際尖端前沿產品、技術、服務趨勢，進博會給老百姓帶來福音，也為中國乃至世界產業提升帶來契機，是迄今為止世界上第一個以進口為主題的國家級展會，也是國際貿易發展史上的一大創舉。

環路仿真參數設置如下：信噪比變化范圍：SNR=-10～30dB；預檢測積分時間設為：TL=0.5ms，ω2=40π(rad/s3) ，ω1=6000π(rad/s2)，ω0=1000π(rad/s)，θ0=0.01π(rad)，λ=1。

如圖12所示，在SNR=17dB時，FLL的最優帶寬為17Hz，此時具有最小的頻率跟蹤誤差：0.26Hz。圖13為不同信噪比條件下的FLL最優帶寬，圖14為不同信噪比下的最小跟蹤誤差。由圖13和14可知：當SNR<10dB時，最優帶寬隨著信噪比的增減而線性增加，跟蹤誤差隨著信噪比的增加而線性減??；當SNR>10dB時，最優帶寬不再隨信噪比的增加而增加，基本保持恒定，跟蹤誤差不再隨信噪比的增加而線性減小，基本保持恒定。

圖12 SNR=17dB時的FLL跟蹤誤差

圖13 不同信噪比下的FLL最優帶寬

圖14 不同信噪比下的FLL最小跟蹤誤差

5 總結

由于擴頻應答機的高動態特性，接收機需要利用捕獲范圍更廣的鎖頻環來跟蹤載波。二階鎖頻環對頻率斜升信號的頻率跟蹤誤差為0，完全滿足擴頻應答機的需求。詳細地分析了具有四象限反正切鑒頻器的鎖頻環噪聲特性、環路的動態跟蹤范圍和二階環路最優濾波器參數的設計。所得結論對設計和優化擴頻信號的跟蹤環路具有很好的參考價值。

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Study of Frequency-Locked Loops for Tracking Spread Spectrum Signals

MA Lu1,2SHI Liguo1,2WANG Zhugang2

1.University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190，China 2.Center for Space Science and Applied Research, Beijing 100190, China

Awidefrequencytrackingrangeisrequiredforreceiverstoaccuratelyacquirespreadspectrumsignals.Thesecondorderfrequency-lockedloops(FLL)aregenerallyusedinspreadspectrumtrackingloopsbecauseofzerofrequencytrackingerrorforDopplerratesignals.Thenoiseperformanceandfrequencypull-inrangeofasecondorderFLLwithfourquadrantarctangentdiscriminatorarediscussedanddeducedinthispaper.AndtheoptimumbandwidthofthetrackingloopiscalculatedandsimulatedbyMATLAB.Thederivationandresultsarevaluableforloopdesignandoptimization.

Spreadspectrumsignals;Secondorderfrequencylockedloops;Fourquadrantarctangentdiscriminator;Optimalbandwidth

*國家“863”計劃項目(2011AA7014053)

2013-08-09

馬 路(1990-)，男，安徽滁州人，碩士研究生，主要從事數字信號處理研究；石立國(1984-)，男，山東聊城人，碩士研究生，主要從事數字信號處理研究；王竹剛(1974-)，男，北京人，博士，研究員，主要從事射頻微波通信和數字信號處理技術研究。

1006-3242(2014)04-0054-08

TN914.3

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