倡導數學學習中的文化滲透

郜舒竹+賈小麗

漢字和成語是漢語文化的顯著標志，數學中的術語都是借助漢語中的字或詞所表達的，把漢字中所隱含的字理挖掘出來，用于對數學術語的解讀，不僅是對漢字文化的一種認識與理解，同時能夠溝通術語的數學意義與一般意義的聯系，有益于對數學概念的理解。許多成語中都包含有數學的意義，用數學的語言解讀成語同樣有益于對數學內容的理解。

漢字的發展源遠流長，其字義隨人類社會的發展而不斷變化。一個漢字，不管它現在包含了多少義項，但在造字之初，應當有一個原始義，這個原始義，即該字的“本義”。[1]一個字的本義是其引申義的基礎，是其諸多引申義共有的“根”。要把握某字的諸多義項，首先要把握該字的本義，進而溝通引申義與本義的聯系。下面就對“數與代數”領域的一些數學術語進行討論。

一、與“數”有關的術語

“因數”與“倍數”是兩個具有相對意義的概念。“倍”的金文是“”，左邊是“人”，右邊是“咅”，表示否定的意思，合起來是“背過面”的意思。[2]其造字本義是“背向”，《說文解字·人部》解釋為：“倍，反也。”也是背向的意思。一正一背則有兩面，故引申為增加跟原數相等的數。這樣，“倍”的本義便和數學含義“加倍”建立了聯系。《算法統宗》解釋為：“倍，加上本數也。”[3]這和現在的意思是相同的，如5的倍數有5、10、15、20等，“事倍功半”中的“倍”和倍數的“倍”意思相同。

“因”的來歷和“乘”密不可分。在古籌算中，無論乘數是一位或多位，都稱為乘法。但在進行多位數的乘法時，需要排列、調整上中下三層算籌，計算過程極為繁復。隋唐時期，出現了一種以一位乘法代替多位乘法的新的計算方法，如當乘數是42時，把42分解為6×7，先用6乘，再用7乘。宋朝算學家將這種方法稱為“重因”，[4]6、7也就稱為因數或因子。為什么要用“因”來命名？明代程大位說：“乘者，以數生數也。數不能自生，相得乃生，故亦曰因。”如27乘5必然產生一個新數，而產生新數的主要條件是5，所以把5叫作“因”。此外，“因”的甲骨文是“”，[5]像一個人躺在席子上，席子常供人坐臥，故引申為憑借，又引申為緣故、原因。《現代漢語詞典》對“因”的解釋為：“原因（跟‘果相對）”，可理解為5是27×5產生一個新的結果的原因。《辭海》解釋為：“因，佛教名詞，佛教常以事物相互間的關系來說明它們生起和變化的現象，其中以事物生起或者壞滅的主要條件叫因。”這和程大位解釋的十分吻合。“事出有因”以及“前因后果”中的“因”和因數的“因”意思相近。

再來看看“奇數”與“偶數”。“奇”是一個多音字，有“qí”和“jī”兩個讀音。學生熟悉的讀音是“qí”，熟悉的意思是與眾不同、出人意料，如“奇異、奇特、奇怪”等詞語。而對于“奇數”中的“奇”的理解存在困難。“奇”的篆文是“”，讀作“jī”，上面是“大”，是正面站立的“人”的象形，下面是“可”，是用棍支撐的意思，合起來表示拄棍一只腳站立的瘸子的意思。[6]由此可見，“奇”原始的讀音為“jī”，本義是人用一只腳站立，也就是單腳站立，引申為“單數”，這就和數學中的“奇數”建立起了聯系。

偶數中的“偶”是從“耦”通假過來的。《說文解字·耒部》解釋為：“耦，耕廣五寸為伐，二伐為耦。”《論語·微子》中有：“長沮、桀溺耦而耕。”意思是名叫長沮、桀溺的兩個人一塊耕田。即最初的意思是二人為耦，后來引申為“成對、雙數”。《鹖冠子·能天》：“奇耦，數也，不可增減也。”因此，偶數也叫作雙數，與單數“奇數”相對。

類似的概念還有“質數”。質數又叫素數。“素”本義為沒有染色的絲綢，引申為白色或單純的顏色，進而演變為構成事物的最基本的成分，如元素、因素等名詞均源于此。“質”有單純、本質的意思，“質”和“素”在意思上是相通的。凡是大于1的整數中，除了1和它本身外沒有其他因數的數叫質數，意思是質數（素數）是一種結構單純的正整數。凡是大于1的整數中，除了1和它本身外還有其他因數的叫合數，合數是一種由結構單純的正整數復合而成的正整數。

二、與“運算”有關的術語

加法的結果為什么叫作“和”，而不是“合”？加法是將兩個或者兩個以上的數、量合起來，變成一個數、量的計算，似乎使用“合”更為貼切。“和”的金文是“”，[7]左面是“龠”，是一種由不同音高的管子有序排列而成的樂器排笛，右面是“禾”，表示吹樂器發出“和和”的聲音。它最初的意思是排笛的不同聲部協調共振，音樂和諧，也就是多種聲音聽起來就像一個聲音。由此推斷“和”是兩個或多個在一起就像一個的意思，這與數學中加法的意思相吻合。而與之同音的“合”，其甲骨文是“”，[8]上部是一個圓錐形的蓋子，下部是一個圓形的容器，一蓋一底，就為一合。其最初的意思是扣合、閉合，后來才引申為現在的聚合、會合。

減法的結果為什么叫作“差”？“減”的意思是“除去、扣除，使變少”。“差”的金文是“”，[9]上面“”是谷穗的意思，中間“”是抓的意思，下面“”代指器具。本義是手持禾谷在脫粒器具上搓轉，使谷子脫粒。其過程也就是除去禾谷上的谷粒，使其變少。這和“減”的意思相吻合。

乘法的結果為什么叫“積”？“乘”的甲骨文是“”，[10]上邊是“人”，下邊是“木”，合起來表示人站在高高的樹上，引申為“升高”的意思。“積”本義是將收割的莊稼堆放在一起。《說文解字》中對“積”的解釋為：“積，聚也。”因此，“積”有由少到多、由小到大的量變。而糧食堆放的過程也就是由少到多逐漸升高的，這樣“積”就與“乘”升高的意思聯系起來了。

除法和乘法為什么互為逆運算？《說文解字》對“除”的解釋為：“除，殿階也。”這是作名詞講，意為屋舍門前的臺階。作為動詞的意思是去掉、刪去。珠算中最常用的口訣“三下五除二”“四下五除一”中的“除”字也是減去的意思。《算法統宗》解釋為：“除，減少也。”[11]因此除法可以理解為逐步減少，與乘法的逐漸升高是一個相反的過程，所以說乘、除是一種互逆運算。

除法的結果為什么叫“商”？《集韻·陽韻》：“商，刻也。”《說文解字》：“商，從外知內也。”《正字通·口部》：“商乃漏箭所刻之處。”[12]由此看出，商的本義是古代滴漏上計時的刻度。《說文解字》：“漏，以銅受水，刻節，晝夜百刻。”漏的意思是，用銅壺盛水，在銅壺上刻上滴水進度標記，一個晝夜的時間長度（24小時），在銅壺上對應為一百個刻寫標記（即每一個刻寫標記對應14.4分鐘），以此計時。由此可知，每支刻箭一百度，每一度都是相等的，等于說把一支刻箭用一百來除，得出每一度的長度，這就叫商。算術中除法運算的得數叫商，是由漏箭的刻度引申而來。

三、“成語”的數學解讀

成語是固定詞組的一種，它言簡意賅，是文學語言的瑰寶，同時也含有大量數學的內容。比如“半斤八兩”，古時“1斤=16兩”，所以半斤正好等于八兩，這里的“半”也就是分數的意思。

成語“四面八方”，和數學中的“位置和方向”有關，四面指的是前、后、左、右，而八方指的是東、西、南、北、東南、東北、西南、西北；再比如成語“九死一生”，和“分數、小數、百分數”有關聯，表示生還的可能性為（分數表示）、0.1（小數表示）、10%（百分數表示），死亡的可能性為、0.9、90%，因此這個成語表達的意思是經歷很大危險而幸存。成語“百發百中”，和“百分數”有關，說明命中的概率是100%，也比喻做事有充分把握。成語“千載一時”，一千年才有這么一個時機，發生的可能性為或0.001、0.1%，概率是非常小的，因此用以形容機會極為難得。成語“三頭六臂”，用比的語言描述頭和胳膊這兩個數量的比是3∶6=1∶2，也可以描述為胳膊是頭數量的2倍，頭是胳膊數量的，這是從“倍與率”角度理解的。類似的成語還有：一刀兩斷、兩面三刀、五光十色、六親不認、七上八下、八面玲瓏、十室九空、萬無一失、億萬斯年等等。

有些成語還生動地反映出了數學規律，比如“僧多粥少”可用于理解“同分子分數的大小比較”，粥的總量是一定的，當人數越多，那么每人分得的粥就越少，也就是分子一定，分母越大，這個分數值就越小。

“水中撈月”“拔苗助長”“刻舟求劍”表示不可能發生的事件，“守株待兔”表示可能發生的事件，“甕中捉鱉”與“樹倒猢猻散”表達的是必然事件，這些成語和數學中的“概率（可能性）”可以建立起聯系。

“失之毫厘，謬以千里”這一成語中的“毫”和“厘”是兩種極小的長度單位，按照今天的度量標準，1尺≈0.333米，而1尺=1000厘=10000毫，所以1厘≈0.000333米，1毫≈0.0000333米。這個成語的意思是開始的時候只相差一點點，結果卻相差千里。形容開始稍微有一點差錯，結果會造成很大的錯誤，也由此體現細節的重要性。此外，“一失足成千古恨”也暗含這樣的意思。

以上內容實際上是從語文的視角看數學課程內容，不僅體現數學課程內容的文化性，也可以促進數學和語文學科間的整合，實現《義務教育數學課程標準（2011年版）》總目標中提出的使學生“體會數學與其他學科之間的聯系”，有助于開闊學生的眼界，啟發思維，使學生從多個角度去思考問題，提高學生科學和人文的綜合素養。

參考文獻：

[1] 周克庸. 漢字文字學[M]. 貴陽：貴州人民出版社，2009：249.

[2] 崔增亮，張秀華，張國龍. 字源識字教學手冊[M]. 武漢：湖北少年兒童出版社，2011：30.

[3] 梅榮照，李兆華. 算法統宗校釋[M]. 合肥：安徽教育出版社，1990：67.

[4] 邵啟昌. 中國數學若干概念漢語詞義研究[J]. 四川師范學院學報（自然科學版），1998，19（2）.

[5] 金文偉，曾紅，溫莉. 漢字教學常用字形義解析[M]. 北京：中國財富出版社，2012：108.

[6] 谷衍奎. 漢字源流字典[M]. 北京：華夏出版社，2003：340-341.

[7] 同[2]：282.

[8] 同[2]：280.

[9] 同[6]：492.

[10] 同[6]：562.

[11]同[3]：66.

[12] （明）張自烈，（清）廖文英. 正字通[M]. 北京：中國工人出版社，1996：154.

（首都師范大學初等教育學院 100048）

除法的結果為什么叫“商”？《集韻·陽韻》：“商，刻也。”《說文解字》：“商，從外知內也。”《正字通·口部》：“商乃漏箭所刻之處。”[12]由此看出，商的本義是古代滴漏上計時的刻度。《說文解字》：“漏，以銅受水，刻節，晝夜百刻。”漏的意思是，用銅壺盛水，在銅壺上刻上滴水進度標記，一個晝夜的時間長度（24小時），在銅壺上對應為一百個刻寫標記（即每一個刻寫標記對應14.4分鐘），以此計時。由此可知，每支刻箭一百度，每一度都是相等的，等于說把一支刻箭用一百來除，得出每一度的長度，這就叫商。算術中除法運算的得數叫商，是由漏箭的刻度引申而來。

三、“成語”的數學解讀

成語是固定詞組的一種，它言簡意賅，是文學語言的瑰寶，同時也含有大量數學的內容。比如“半斤八兩”，古時“1斤=16兩”，所以半斤正好等于八兩，這里的“半”也就是分數的意思。

成語“四面八方”，和數學中的“位置和方向”有關，四面指的是前、后、左、右，而八方指的是東、西、南、北、東南、東北、西南、西北；再比如成語“九死一生”，和“分數、小數、百分數”有關聯，表示生還的可能性為（分數表示）、0.1（小數表示）、10%（百分數表示），死亡的可能性為、0.9、90%，因此這個成語表達的意思是經歷很大危險而幸存。成語“百發百中”，和“百分數”有關，說明命中的概率是100%，也比喻做事有充分把握。成語“千載一時”，一千年才有這么一個時機，發生的可能性為或0.001、0.1%，概率是非常小的，因此用以形容機會極為難得。成語“三頭六臂”，用比的語言描述頭和胳膊這兩個數量的比是3∶6=1∶2，也可以描述為胳膊是頭數量的2倍，頭是胳膊數量的，這是從“倍與率”角度理解的。類似的成語還有：一刀兩斷、兩面三刀、五光十色、六親不認、七上八下、八面玲瓏、十室九空、萬無一失、億萬斯年等等。

有些成語還生動地反映出了數學規律，比如“僧多粥少”可用于理解“同分子分數的大小比較”，粥的總量是一定的，當人數越多，那么每人分得的粥就越少，也就是分子一定，分母越大，這個分數值就越小。

“水中撈月”“拔苗助長”“刻舟求劍”表示不可能發生的事件，“守株待兔”表示可能發生的事件，“甕中捉鱉”與“樹倒猢猻散”表達的是必然事件，這些成語和數學中的“概率（可能性）”可以建立起聯系。

“失之毫厘，謬以千里”這一成語中的“毫”和“厘”是兩種極小的長度單位，按照今天的度量標準，1尺≈0.333米，而1尺=1000厘=10000毫，所以1厘≈0.000333米，1毫≈0.0000333米。這個成語的意思是開始的時候只相差一點點，結果卻相差千里。形容開始稍微有一點差錯，結果會造成很大的錯誤，也由此體現細節的重要性。此外，“一失足成千古恨”也暗含這樣的意思。

以上內容實際上是從語文的視角看數學課程內容，不僅體現數學課程內容的文化性，也可以促進數學和語文學科間的整合，實現《義務教育數學課程標準（2011年版）》總目標中提出的使學生“體會數學與其他學科之間的聯系”，有助于開闊學生的眼界，啟發思維，使學生從多個角度去思考問題，提高學生科學和人文的綜合素養。

參考文獻：

[1] 周克庸. 漢字文字學[M]. 貴陽：貴州人民出版社，2009：249.

[2] 崔增亮，張秀華，張國龍. 字源識字教學手冊[M]. 武漢：湖北少年兒童出版社，2011：30.

[3] 梅榮照，李兆華. 算法統宗校釋[M]. 合肥：安徽教育出版社，1990：67.

[4] 邵啟昌. 中國數學若干概念漢語詞義研究[J]. 四川師范學院學報（自然科學版），1998，19（2）.

[5] 金文偉，曾紅，溫莉. 漢字教學常用字形義解析[M]. 北京：中國財富出版社，2012：108.

[6] 谷衍奎. 漢字源流字典[M]. 北京：華夏出版社，2003：340-341.

[7] 同[2]：282.

[8] 同[2]：280.

[9] 同[6]：492.

[10] 同[6]：562.

[11]同[3]：66.

[12] （明）張自烈，（清）廖文英. 正字通[M]. 北京：中國工人出版社，1996：154.

（首都師范大學初等教育學院 100048）

除法的結果為什么叫“商”？《集韻·陽韻》：“商，刻也。”《說文解字》：“商，從外知內也。”《正字通·口部》：“商乃漏箭所刻之處。”[12]由此看出，商的本義是古代滴漏上計時的刻度。《說文解字》：“漏，以銅受水，刻節，晝夜百刻。”漏的意思是，用銅壺盛水，在銅壺上刻上滴水進度標記，一個晝夜的時間長度（24小時），在銅壺上對應為一百個刻寫標記（即每一個刻寫標記對應14.4分鐘），以此計時。由此可知，每支刻箭一百度，每一度都是相等的，等于說把一支刻箭用一百來除，得出每一度的長度，這就叫商。算術中除法運算的得數叫商，是由漏箭的刻度引申而來。

三、“成語”的數學解讀

成語是固定詞組的一種，它言簡意賅，是文學語言的瑰寶，同時也含有大量數學的內容。比如“半斤八兩”，古時“1斤=16兩”，所以半斤正好等于八兩，這里的“半”也就是分數的意思。

成語“四面八方”，和數學中的“位置和方向”有關，四面指的是前、后、左、右，而八方指的是東、西、南、北、東南、東北、西南、西北；再比如成語“九死一生”，和“分數、小數、百分數”有關聯，表示生還的可能性為（分數表示）、0.1（小數表示）、10%（百分數表示），死亡的可能性為、0.9、90%，因此這個成語表達的意思是經歷很大危險而幸存。成語“百發百中”，和“百分數”有關，說明命中的概率是100%，也比喻做事有充分把握。成語“千載一時”，一千年才有這么一個時機，發生的可能性為或0.001、0.1%，概率是非常小的，因此用以形容機會極為難得。成語“三頭六臂”，用比的語言描述頭和胳膊這兩個數量的比是3∶6=1∶2，也可以描述為胳膊是頭數量的2倍，頭是胳膊數量的，這是從“倍與率”角度理解的。類似的成語還有：一刀兩斷、兩面三刀、五光十色、六親不認、七上八下、八面玲瓏、十室九空、萬無一失、億萬斯年等等。

有些成語還生動地反映出了數學規律，比如“僧多粥少”可用于理解“同分子分數的大小比較”，粥的總量是一定的，當人數越多，那么每人分得的粥就越少，也就是分子一定，分母越大，這個分數值就越小。

“水中撈月”“拔苗助長”“刻舟求劍”表示不可能發生的事件，“守株待兔”表示可能發生的事件，“甕中捉鱉”與“樹倒猢猻散”表達的是必然事件，這些成語和數學中的“概率（可能性）”可以建立起聯系。

“失之毫厘，謬以千里”這一成語中的“毫”和“厘”是兩種極小的長度單位，按照今天的度量標準，1尺≈0.333米，而1尺=1000厘=10000毫，所以1厘≈0.000333米，1毫≈0.0000333米。這個成語的意思是開始的時候只相差一點點，結果卻相差千里。形容開始稍微有一點差錯，結果會造成很大的錯誤，也由此體現細節的重要性。此外，“一失足成千古恨”也暗含這樣的意思。

以上內容實際上是從語文的視角看數學課程內容，不僅體現數學課程內容的文化性，也可以促進數學和語文學科間的整合，實現《義務教育數學課程標準（2011年版）》總目標中提出的使學生“體會數學與其他學科之間的聯系”，有助于開闊學生的眼界，啟發思維，使學生從多個角度去思考問題，提高學生科學和人文的綜合素養。

參考文獻：

[1] 周克庸. 漢字文字學[M]. 貴陽：貴州人民出版社，2009：249.

[2] 崔增亮，張秀華，張國龍. 字源識字教學手冊[M]. 武漢：湖北少年兒童出版社，2011：30.

[3] 梅榮照，李兆華. 算法統宗校釋[M]. 合肥：安徽教育出版社，1990：67.

[4] 邵啟昌. 中國數學若干概念漢語詞義研究[J]. 四川師范學院學報（自然科學版），1998，19（2）.

[5] 金文偉，曾紅，溫莉. 漢字教學常用字形義解析[M]. 北京：中國財富出版社，2012：108.

[6] 谷衍奎. 漢字源流字典[M]. 北京：華夏出版社，2003：340-341.

[7] 同[2]：282.

[8] 同[2]：280.

[9] 同[6]：492.

[10] 同[6]：562.

[11]同[3]：66.

[12] （明）張自烈，（清）廖文英. 正字通[M]. 北京：中國工人出版社，1996：154.

（首都師范大學初等教育學院 100048）