淡化形式 注重實(shí)質(zhì)

許楠烜

關(guān)注這個課題緣于筆者最近參加的浙江省新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)觀摩研討會，會上有三位教師上了“體積與容積”一課，特別是浙江省數(shù)學(xué)教研員斯苗兒老師臨時指導(dǎo)陳新福老師的同課異構(gòu)，從本質(zhì)屬性上建構(gòu)體積與容積的概念，令人耳目一新。簡約的課堂、樸實(shí)的教學(xué)風(fēng)格，猶如一股清泉，緩緩沁入教師的心底，悄悄改變著我們的數(shù)學(xué)課堂。回來細(xì)品教材，回味當(dāng)時的教學(xué)細(xì)節(jié)，聯(lián)系教學(xué)實(shí)際，筆者對“體積與容積”概念教學(xué)有所感悟。

一、重視直覺體驗(yàn)，淡化概念描述形式

北師大五年級下冊教材這樣定義“體積”：“物體所占空間的大小，叫做物體的體積。”因此有的教師認(rèn)為，要理解體積的含義就必須要理解什么是“空間”。于是教學(xué)大多圍繞“空間”而展開。如以下教學(xué)片段就非常典型。

教師出示大小相同的兩個量杯，在兩個量杯中加入同樣多的水，將土豆和紅薯分別放入兩個量杯中。

師：土豆和紅薯放入水中，水面會有什么變化？

生：水面上升了？

師：為什么會上升？

生：……水被擠上來了。

師：嗯，也就是土豆和紅薯占了水的空間。

師：哪個大？

生：紅薯大。

師：為什么？

生：因?yàn)榉偶t薯的杯子中水面上升多一些。

師：紅薯所占的空間大，土豆所占的空間小。因此我們說紅薯的體積大，土豆的體積小。

接著教師出示一塊海綿，用手緊握然后慢慢松開，海綿漸漸變大。

師：海綿體積有什么變化？

生：海綿的體積慢慢變大。

師：海綿所占的空間變大，所以體積也變大了。

生：老師，海綿的體積不變，因?yàn)楹＞d里面有空氣。

教師再演示，追問：海綿變大了嗎？

生：海綿的體積沒變，只是它的密度變了。

在這一教學(xué)片段中，教師試圖通過“排水實(shí)驗(yàn)”讓學(xué)生直觀感知抽象的“空間”，幫助學(xué)生認(rèn)識“體積”。學(xué)生通過觀察感知土豆和紅薯占了水的有限空間，使水面上升。可是離開了具體的“有限空間”情境，學(xué)生就會覺得茫然，不知道“海綿”又占了哪個的空間，更不懂得該如何來衡量大小。過早運(yùn)用“排水法”來衡量“所占空間大小”往往會讓學(xué)生產(chǎn)生疑惑。課堂上學(xué)生出現(xiàn)“海綿里面充滿了空氣”“沙子之間存在空隙”甚至“物體分子之間存在空隙”的例子屢見不鮮，最終學(xué)生不知“體積”為何物。其實(shí)“空間”本身就是一個抽象的概念，要讓學(xué)生理解什么是“空間”可能比“體積”本身更加困難。“空間大小”是人的直觀感知，“體積”也是人的直觀感知。五年級的學(xué)生對“物體占據(jù)空間”其實(shí)早有接觸，在小學(xué)三年級上冊科學(xué)《空氣占據(jù)空間嗎》一課中就已提出：空氣和水、石頭一樣，可以占據(jù)空間。從“體積與容積”相關(guān)教材的呈現(xiàn)內(nèi)容來看，也是默認(rèn)學(xué)生已初步掌握體積的含義。過分拘泥于定義本身，關(guān)注何謂“所占”、何謂 “大小”，反而會把本來簡單明白的事情搞復(fù)雜了。張奠宙教授在《從體積的定義說起》一文中也這樣寫道：“小學(xué)數(shù)學(xué)的體積教學(xué)，不要在‘什么是體積上做文章。要在體積所具有的特征上下功夫，力求觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，增進(jìn)五年級學(xué)生對體積意義的理解。”他還認(rèn)為，要建立體積的概念，“應(yīng)該從度量入手，體積是對‘三維物體大小的一種度量，和線段的長度、平面圖形的面積加以對照。就能增加對‘體積的理解。”正如陳新福老師在浙江省新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)觀摩研討會上對“體積與容積”是這樣教學(xué)的。

師：同學(xué)們，聽說過體積嗎？

生：聽說過

師：你知道什么是體積嗎？請舉例說說。

生：我知道桌子有體積，黑板有體積；籃球有體積……

生：每一樣物體都有體積。

師：請自學(xué)課本41-42頁，看看書上是怎么說的。有疑問的請?zhí)岢鰜恚?/p>

師：籃球有體積嗎？什么是籃球的體積？

生：籃球外表。

生：籃球的里面。

生：不對，外表是籃球的表面積，應(yīng)該是整個籃球所占的空間。

師：什么是乒乓球的體積。

生：整個乒乓球所占空間的大小。

生：籃球的體積大，乒乓球的體積小。

師：你還能舉出別的例子嗎？

生：鉛筆盒的體積大，鉛筆的體積小。

師：為什么？

生：因?yàn)殂U筆能放進(jìn)鉛筆盒里。

師：什么是磚塊的體積？

……

人的直覺是很寶貴的，充分運(yùn)用直覺學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一條準(zhǔn)則。陳老師的教學(xué)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)入手，沒有糾結(jié)“空間”這一概念，而是運(yùn)用視覺感官，通過看一看、說一說，感知不同形狀的物體所占的空間的大小。通過面與體的直觀比較，讓學(xué)生理解體積，突出了“體積”的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生真真切切體會到什么才是物體的體積。教學(xué)簡簡單單，學(xué)生明明白白。

二、注重聯(lián)系，經(jīng)歷概念同化過程

容積是體積的下位概念，兩個概念既有聯(lián)系，又有區(qū)別，容積概念建立主要是概念同化的過程。但在教學(xué)中許多老師喜歡把“冰箱”等作為認(rèn)識體積和容積的生活素材，經(jīng)常會陷入體積與容積的大小比較誤區(qū)。如下面這個比較常見的教學(xué)片段。

師：在我們身邊有許多物體既有體積又有容積，冰箱的體積與容積有什么不同？

生：冰箱的體積是指冰箱所占的空間大小，冰箱的容積是指冰箱所容納物體的體積。

生：體積是從外面去測量，容積要從里面去測量。

師：冰箱的體積比容積大嗎？

生：冰箱的體積肯定比容積大，一看就知道。

生：冰箱的體積一定比容積大，因?yàn)樗泻穸取?/p>

師：大家同意嗎？

生：我不同意。冰箱門打開了，它的體積就不一定比容積大了。

師：為什么？endprint

生：門打開了，空氣進(jìn)入，里面就不能算冰箱的體積了？

師：你的發(fā)現(xiàn)太有價值了。

冰箱的體積比容積大，筆者做過調(diào)查，大約80%的教師都這樣認(rèn)為。少數(shù)教師也出現(xiàn)案例中的情況，認(rèn)為打開冰箱的門就不能確定哪個大哪個小了。筆者認(rèn)為體積和容積雖然聯(lián)系緊密，但有很大的區(qū)別，它們分屬兩個不同的概念。“體積”指物質(zhì)或物體所占空間的大小，“容積”指容器所能容納物體的體積。我們一般只存在同概念之間相比較，即體積之間或容積之間的大小比較。體積和容積的比較不但不能促進(jìn)學(xué)生對體積與容積概念的理解，反而會誤導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生概念混淆，增加學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。其實(shí)關(guān)于這兩者的概念教學(xué)，不妨可以從兩個概念的關(guān)鍵特征入手，通過概念同化的方式來理解概念。比如下面這個教學(xué)片段就是以此著手的。

課件出示一個長方體木塊。

師：我們可以怎樣進(jìn)行測量這長方體木塊的體積？

生：我們可以測量它的長、寬、高。

師：這個木塊有容積嗎？

生：木塊沒有容積，木塊的容積是0。

師：怎樣把容積是0的木塊變成有容積呢？

生：從木頭的表面朝里面挖一個洞。

生：要能容納東西。

課件演示在長方體木塊的中間挖出一個小長方體。

師：我們怎樣才能知道木塊的容積的大小？

生：我們可以從里面測量它的長、寬、高。

課件演示：在長方體木塊的中間繼續(xù)挖出一個大長方體。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)木塊里面的長、寬、高增加了，木塊的容積變大了。

生：我發(fā)現(xiàn)木塊本身的體積變小了，因?yàn)橹虚g部分被挖掉了。

概念同化是通過學(xué)習(xí)已經(jīng)形成的概念來掌握概念。案例中教師從長方體木塊的體積入手，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了容積“無中生有”的過程，讓學(xué)生體會體積與容積的聯(lián)系和區(qū)別，感悟體積和容積變與不變的辯證關(guān)系，掌握“容積”概念，加深學(xué)生對“體積與容積”概念的理解。

三、深化概念，積累活動經(jīng)驗(yàn)

在認(rèn)識體積概念時，教材中安排了用排水法比較土豆和紅薯的大小的實(shí)驗(yàn)。五年級教師用書上提到實(shí)驗(yàn)的目的“是讓學(xué)生通過觀察，說明這兩個物體所占空間大小不一樣。在學(xué)生有了比較充分的感性體驗(yàn)上，再揭示體積的概念。”觀察實(shí)驗(yàn)是體積概念建立過程必不可少的活動，借助透明玻璃杯和水位的變化，可以在一定程度上將抽象的空間形象化，能幫助學(xué)生提升對“物體占空間大小”的感悟。但是這不能作為實(shí)驗(yàn)的實(shí)質(zhì)。那么實(shí)驗(yàn)的實(shí)質(zhì)是什么呢？它的價值又在哪里？下面陳新福老師的教學(xué)片段會對我們有所啟示。

師：土豆和紅薯的體積誰大？請你設(shè)計一個實(shí)驗(yàn)。

生：先找到兩個一模一樣的杯子，然后放入同樣多的水，最后把土豆和紅薯放進(jìn)杯子中。看哪杯水面高。

師：大家同意嗎？

生：同意。

師生做演示實(shí)驗(yàn)，土豆放在1號杯，紅薯放在2號杯。

師：誰的體積大？

生：因?yàn)?號杯的水面高，所以紅薯的體積大。

師：為什么？

生：水的體積不變。因?yàn)榧t薯加水的體積大于土豆加水的體積，所以紅薯的體積比土豆大。

生：1號杯水上升部分的體積就是土豆的體積，2號杯水上升部分的體積就是紅薯的體積。2號杯上升得多，所以紅薯體積大。

師：說得真好，那么水上升部分是一個什么形狀？

生：是一個圓柱體。

師：可以看作“兩個水圓柱體”，只要比較兩個水圓柱體的大小就可以了。如果把它們放入同樣的方形水杯中，上升部分的水又是什么形狀？

生：長方體。

筆者認(rèn)為，“排水法”實(shí)驗(yàn)的真正價值是一種數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化策略體驗(yàn)，是數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累。把原本直接比較體積大小有困難的問題，轉(zhuǎn)化為比較水的體積，它的實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)的“等量代換”思想。數(shù)學(xué)上求體積的核心是“計算”。在教學(xué)時教師不應(yīng)只停留在觀察水面高低的表面上，而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考，經(jīng)歷觀察、猜測、推理，探究解決問題的策略，從而掌握數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。等量代換的思想在教材練習(xí)中也有所體現(xiàn)（如下圖）。物體的等積變形都可以運(yùn)用“轉(zhuǎn)化策略”來闡釋。通過這樣的練習(xí)，讓學(xué)生對體積概念有進(jìn)一步的消化與整理的過程，知識結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性得到了保障。同時又積累了解決問題的經(jīng)驗(yàn)。

總之，概念的定義是重要的，但不是所有概念的定義都重要。體積是非常原始的概念，在小學(xué)階段我們的教學(xué)是要幫助學(xué)生理解體積的特征，應(yīng)淡化形式、注重實(shí)質(zhì)。

（浙江省浦江縣教育研究與教師培訓(xùn)中心 322200）endprint

生：門打開了，空氣進(jìn)入，里面就不能算冰箱的體積了？

師：你的發(fā)現(xiàn)太有價值了。

冰箱的體積比容積大，筆者做過調(diào)查，大約80%的教師都這樣認(rèn)為。少數(shù)教師也出現(xiàn)案例中的情況，認(rèn)為打開冰箱的門就不能確定哪個大哪個小了。筆者認(rèn)為體積和容積雖然聯(lián)系緊密，但有很大的區(qū)別，它們分屬兩個不同的概念。“體積”指物質(zhì)或物體所占空間的大小，“容積”指容器所能容納物體的體積。我們一般只存在同概念之間相比較，即體積之間或容積之間的大小比較。體積和容積的比較不但不能促進(jìn)學(xué)生對體積與容積概念的理解，反而會誤導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生概念混淆，增加學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。其實(shí)關(guān)于這兩者的概念教學(xué)，不妨可以從兩個概念的關(guān)鍵特征入手，通過概念同化的方式來理解概念。比如下面這個教學(xué)片段就是以此著手的。

課件出示一個長方體木塊。

師：我們可以怎樣進(jìn)行測量這長方體木塊的體積？

生：我們可以測量它的長、寬、高。

師：這個木塊有容積嗎？

生：木塊沒有容積，木塊的容積是0。

師：怎樣把容積是0的木塊變成有容積呢？

生：從木頭的表面朝里面挖一個洞。

生：要能容納東西。

課件演示在長方體木塊的中間挖出一個小長方體。

師：我們怎樣才能知道木塊的容積的大小？

生：我們可以從里面測量它的長、寬、高。

課件演示：在長方體木塊的中間繼續(xù)挖出一個大長方體。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)木塊里面的長、寬、高增加了，木塊的容積變大了。

生：我發(fā)現(xiàn)木塊本身的體積變小了，因?yàn)橹虚g部分被挖掉了。

概念同化是通過學(xué)習(xí)已經(jīng)形成的概念來掌握概念。案例中教師從長方體木塊的體積入手，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了容積“無中生有”的過程，讓學(xué)生體會體積與容積的聯(lián)系和區(qū)別，感悟體積和容積變與不變的辯證關(guān)系，掌握“容積”概念，加深學(xué)生對“體積與容積”概念的理解。

三、深化概念，積累活動經(jīng)驗(yàn)

在認(rèn)識體積概念時，教材中安排了用排水法比較土豆和紅薯的大小的實(shí)驗(yàn)。五年級教師用書上提到實(shí)驗(yàn)的目的“是讓學(xué)生通過觀察，說明這兩個物體所占空間大小不一樣。在學(xué)生有了比較充分的感性體驗(yàn)上，再揭示體積的概念。”觀察實(shí)驗(yàn)是體積概念建立過程必不可少的活動，借助透明玻璃杯和水位的變化，可以在一定程度上將抽象的空間形象化，能幫助學(xué)生提升對“物體占空間大小”的感悟。但是這不能作為實(shí)驗(yàn)的實(shí)質(zhì)。那么實(shí)驗(yàn)的實(shí)質(zhì)是什么呢？它的價值又在哪里？下面陳新福老師的教學(xué)片段會對我們有所啟示。

師：土豆和紅薯的體積誰大？請你設(shè)計一個實(shí)驗(yàn)。

生：先找到兩個一模一樣的杯子，然后放入同樣多的水，最后把土豆和紅薯放進(jìn)杯子中。看哪杯水面高。

師：大家同意嗎？

生：同意。

師生做演示實(shí)驗(yàn)，土豆放在1號杯，紅薯放在2號杯。

師：誰的體積大？

生：因?yàn)?號杯的水面高，所以紅薯的體積大。

師：為什么？

生：水的體積不變。因?yàn)榧t薯加水的體積大于土豆加水的體積，所以紅薯的體積比土豆大。

生：1號杯水上升部分的體積就是土豆的體積，2號杯水上升部分的體積就是紅薯的體積。2號杯上升得多，所以紅薯體積大。

師：說得真好，那么水上升部分是一個什么形狀？

生：是一個圓柱體。

師：可以看作“兩個水圓柱體”，只要比較兩個水圓柱體的大小就可以了。如果把它們放入同樣的方形水杯中，上升部分的水又是什么形狀？

生：長方體。

筆者認(rèn)為，“排水法”實(shí)驗(yàn)的真正價值是一種數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化策略體驗(yàn)，是數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累。把原本直接比較體積大小有困難的問題，轉(zhuǎn)化為比較水的體積，它的實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)的“等量代換”思想。數(shù)學(xué)上求體積的核心是“計算”。在教學(xué)時教師不應(yīng)只停留在觀察水面高低的表面上，而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考，經(jīng)歷觀察、猜測、推理，探究解決問題的策略，從而掌握數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。等量代換的思想在教材練習(xí)中也有所體現(xiàn)（如下圖）。物體的等積變形都可以運(yùn)用“轉(zhuǎn)化策略”來闡釋。通過這樣的練習(xí)，讓學(xué)生對體積概念有進(jìn)一步的消化與整理的過程，知識結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性得到了保障。同時又積累了解決問題的經(jīng)驗(yàn)。

總之，概念的定義是重要的，但不是所有概念的定義都重要。體積是非常原始的概念，在小學(xué)階段我們的教學(xué)是要幫助學(xué)生理解體積的特征，應(yīng)淡化形式、注重實(shí)質(zhì)。

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生：門打開了，空氣進(jìn)入，里面就不能算冰箱的體積了？

師：你的發(fā)現(xiàn)太有價值了。

冰箱的體積比容積大，筆者做過調(diào)查，大約80%的教師都這樣認(rèn)為。少數(shù)教師也出現(xiàn)案例中的情況，認(rèn)為打開冰箱的門就不能確定哪個大哪個小了。筆者認(rèn)為體積和容積雖然聯(lián)系緊密，但有很大的區(qū)別，它們分屬兩個不同的概念。“體積”指物質(zhì)或物體所占空間的大小，“容積”指容器所能容納物體的體積。我們一般只存在同概念之間相比較，即體積之間或容積之間的大小比較。體積和容積的比較不但不能促進(jìn)學(xué)生對體積與容積概念的理解，反而會誤導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生概念混淆，增加學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。其實(shí)關(guān)于這兩者的概念教學(xué)，不妨可以從兩個概念的關(guān)鍵特征入手，通過概念同化的方式來理解概念。比如下面這個教學(xué)片段就是以此著手的。

課件出示一個長方體木塊。

師：我們可以怎樣進(jìn)行測量這長方體木塊的體積？

生：我們可以測量它的長、寬、高。

師：這個木塊有容積嗎？

生：木塊沒有容積，木塊的容積是0。

師：怎樣把容積是0的木塊變成有容積呢？

生：從木頭的表面朝里面挖一個洞。

生：要能容納東西。

課件演示在長方體木塊的中間挖出一個小長方體。

師：我們怎樣才能知道木塊的容積的大小？

生：我們可以從里面測量它的長、寬、高。

課件演示：在長方體木塊的中間繼續(xù)挖出一個大長方體。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)木塊里面的長、寬、高增加了，木塊的容積變大了。

生：我發(fā)現(xiàn)木塊本身的體積變小了，因?yàn)橹虚g部分被挖掉了。

概念同化是通過學(xué)習(xí)已經(jīng)形成的概念來掌握概念。案例中教師從長方體木塊的體積入手，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了容積“無中生有”的過程，讓學(xué)生體會體積與容積的聯(lián)系和區(qū)別，感悟體積和容積變與不變的辯證關(guān)系，掌握“容積”概念，加深學(xué)生對“體積與容積”概念的理解。

三、深化概念，積累活動經(jīng)驗(yàn)

在認(rèn)識體積概念時，教材中安排了用排水法比較土豆和紅薯的大小的實(shí)驗(yàn)。五年級教師用書上提到實(shí)驗(yàn)的目的“是讓學(xué)生通過觀察，說明這兩個物體所占空間大小不一樣。在學(xué)生有了比較充分的感性體驗(yàn)上，再揭示體積的概念。”觀察實(shí)驗(yàn)是體積概念建立過程必不可少的活動，借助透明玻璃杯和水位的變化，可以在一定程度上將抽象的空間形象化，能幫助學(xué)生提升對“物體占空間大小”的感悟。但是這不能作為實(shí)驗(yàn)的實(shí)質(zhì)。那么實(shí)驗(yàn)的實(shí)質(zhì)是什么呢？它的價值又在哪里？下面陳新福老師的教學(xué)片段會對我們有所啟示。

師：土豆和紅薯的體積誰大？請你設(shè)計一個實(shí)驗(yàn)。

生：先找到兩個一模一樣的杯子，然后放入同樣多的水，最后把土豆和紅薯放進(jìn)杯子中。看哪杯水面高。

師：大家同意嗎？

生：同意。

師生做演示實(shí)驗(yàn)，土豆放在1號杯，紅薯放在2號杯。

師：誰的體積大？

生：因?yàn)?號杯的水面高，所以紅薯的體積大。

師：為什么？

生：水的體積不變。因?yàn)榧t薯加水的體積大于土豆加水的體積，所以紅薯的體積比土豆大。

生：1號杯水上升部分的體積就是土豆的體積，2號杯水上升部分的體積就是紅薯的體積。2號杯上升得多，所以紅薯體積大。

師：說得真好，那么水上升部分是一個什么形狀？

生：是一個圓柱體。

師：可以看作“兩個水圓柱體”，只要比較兩個水圓柱體的大小就可以了。如果把它們放入同樣的方形水杯中，上升部分的水又是什么形狀？

生：長方體。

筆者認(rèn)為，“排水法”實(shí)驗(yàn)的真正價值是一種數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化策略體驗(yàn)，是數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累。把原本直接比較體積大小有困難的問題，轉(zhuǎn)化為比較水的體積，它的實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)的“等量代換”思想。數(shù)學(xué)上求體積的核心是“計算”。在教學(xué)時教師不應(yīng)只停留在觀察水面高低的表面上，而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考，經(jīng)歷觀察、猜測、推理，探究解決問題的策略，從而掌握數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。等量代換的思想在教材練習(xí)中也有所體現(xiàn)（如下圖）。物體的等積變形都可以運(yùn)用“轉(zhuǎn)化策略”來闡釋。通過這樣的練習(xí)，讓學(xué)生對體積概念有進(jìn)一步的消化與整理的過程，知識結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性得到了保障。同時又積累了解決問題的經(jīng)驗(yàn)。

總之，概念的定義是重要的，但不是所有概念的定義都重要。體積是非常原始的概念，在小學(xué)階段我們的教學(xué)是要幫助學(xué)生理解體積的特征，應(yīng)淡化形式、注重實(shí)質(zhì)。

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