建立關系模型 溝通新舊知識

蔣望雷+湯驥

【課前思考】

1.在學生已有的知識結構中，與“小數乘法”最具關聯的內容是什么？

現代認知心理學認為：人的知識是以點、線、網狀等形式儲存在大腦中的，如果新學的知識結構與學生原有的知識結構相關聯，那么儲存在大腦中的知識就會很快地被喚醒，并為新的知識提供解釋。

學生在學習小數乘整數之前已經具備了整數乘法的算理結構、積的變化規律與小數意義的表征方式，然對于“小數乘法”這部分教學內容來說，筆者認為：最能被激活的應該是學生已有的“整數乘法的算理結構”。

2.從教材的編寫來看，貫穿“小數乘法”整個單元教學的支撐點是什么？

小數實質上是十進分數，要讓學生理解小數乘法的意義，本應從分數乘法的意義入手，但這樣顯然不能支撐整個單元。小數乘整數時，利用“計數單位的運算”來解釋算理或許可以（倘若想利用圖形表征，一般也僅選用純小數，否則圖形的描述與單位的轉換操作會更麻煩），但考慮到后續學習“小數乘小數”時，在理解上，對學生來說又像換了根“拐杖”。基于以上認識，深入分析教材的編寫意圖，筆者認為應是淡化意義而突出算法的教學。關鍵點或者說是整個單元的支撐點是溝通“小數乘法”與“整數乘法”的密切聯系，用積的變化規律來解釋小數乘法的算理，并由此總結出小數乘法的一般規律。

3.從兒童的認知特點分析，怎樣的教學設計更契合學生的認知基礎？

教學中尋找一種適合學生認知水平的思維“腳手架”非常重要，“小數乘整數”這節課過程展開的主線無非就是兩種：一是從學生已有的整數算理結構出發，利用積的變化規律來建構小數乘整數的算理結構，突出的是“轉化的思想”； 二是從學生對小數意義本質的理解出發，利用整數乘法的原理幫助建構小數乘整數的算理結構[如4.3×3理解為43個0.1×3=（43×3）個0.1=129個0.1=12.9]，突出的是“類比推理”的思想。相比之下，“轉化”的方法學生在學習和生活中接觸得更為廣泛。結合教材編寫的意圖：從貨幣單位之間的轉化切入，找到整數乘法與小數乘整數的內在連接，再通過概括提升小數乘整數的意義與方法，這樣的設計充分依據兒童的認知特點，符合絕大部分學生的認知基礎。

【課堂前測】

通過教學前測，我們發現學生都能自覺地應用所學知識，采用多種方法計算出簡單的小數乘整數算式的結果并進行相對合理的解釋。存在的問題主要有以下三點。

1.采用的方法往往只局限于解決簡單的小數計算問題（如整數是一位數的），對于小數乘法不具有普適性，無法有效建立積的變化規律與小數乘法的聯系。

2.“知其然，不知其所以然”，能算出結果，但對算理無法準確地理解和表述（對于答案的判斷更多的是出于一種感覺）。

3.能自覺地采用“小數計數單位的運算”來解釋算理的學生很少，反映在以此種思路設計的課堂實踐中，教師能夠明顯感覺到學生大多只是被動地接受教師的“灌輸”。

【教學思路】

在經過“教材分析—課前思考—教學前測—嘗試教學”等實踐環節之后，筆者確定了從學生已有的整數算理結構出發，利用積的變化規律來建構小數乘整數的算理結構，突出“轉化思想”的總體思路。教學設計和實踐過程如下：

一、教學目標：

1.通過具體的生活情境，引導學生自主探索小數乘整數的計算規則，從而進一步理解和掌握小數乘整數的一般方法，能正確筆算。

2.使學生經歷探索小數乘整數計算方法的過程，從中感受轉化思想，體會數學知識之間的聯系。

二、教學重難點：

重點：掌握小數乘整數的筆算方法，能正確筆算。

難點：理解將小數乘法轉化為整數乘法的計算方法。

三、教學過程：

課前談話：同學們，上虞有個被譽為中國的“羅密歐與朱麗葉”的故事，故事的主人公梁山伯與祝英臺最后化作了美麗的蝴蝶。今天蔣老師也帶來了一只蝴蝶，不過這只蝴蝶可不是梁祝化成的，看著黑板上的兩幅圖（蝴蝶與蛹），你想到了什么？

師：我們看到這美麗的蝴蝶，就不由得想到了它的前身是蛹，不是有個成語叫……（化蛹成蝶）。在我們的生活中，還有哪些類似的事情？（學生舉例）

師：是啊，如果我們能在學習和生活中始終用一種聯系的眼光去看待新的事物、新的問題，這將會使我們的認識更深刻，解決問題更簡便。

（設計意圖：用學生熟識的動人故事引入，激發學生的學習興趣，喚起學生“用聯系的眼光看待新事物”的意識，迅速拉近知識與學生的距離，同時滲透“轉化”的思想。）

（一）利用情境，提出問題

師：請同學們仔細觀察，從圖中你知道了哪些數學信息？根據這些信息你能提出哪些數學問題？（直接利用教材主題圖，學生展開交流）

（設計意圖：通過“放風箏、購風箏”的生活情境引入，直奔計算教學主題，激發學生的學習興趣，滲透數學來源于生活、應用于生活的思想，培養學生從生活情景中發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。）

（二）探究算法，理解算理

1.自主探索，感知算法。

師：你能解決圖中的問題嗎？買3個燕子風箏（3.5元/個）要多少錢？請你先獨立思考，然后試著把你的計算過程完整地寫下來。你還可以用其他的方法來驗證你的結果是否正確嗎？（學生獨立計算，教師巡視）

師：請把你的想法先在小組內交流。（學生交流）

師：誰能來匯報一下你的算法？（預設：①連加； ②利用計量單位化聚解答問題；③整數部分和小數部分分別相乘再相加；④豎式筆算3.5元×3=10.5元。）

師：（根據學生不同的反饋，抓住一個共同點進行評價）其實大家都是利用了以前的知識來解決今天的新問題，就像剛才講的由“蝴蝶”聯想到了“蛹”。endprint

（設計意圖：讓學生運用原有的知識和生活經驗，在獨立思考的基礎上自主計算，鼓勵學生大膽地將個性化的方式充分展現，兼顧不同層次學生的學習狀態。利用教材給出的“3.5×3”作為探究算法的材料，便于學生利用“貨幣單位的化聚”來解釋算理并能自覺采用多種方法驗證自己的計算結果，同時也便于引導學生體會小數乘法與整數乘法的密切聯系。通過交流，讓學生在自我驗證的基礎上最大程度地獲得多樣化的解釋，促進自我反思。再通過教師的引導，初步獲得運用 “轉化”的思想方法去探究新知的意識。）

2.強調“轉化”，探明算理。

師：剛才有同學用豎式計算出了3.5×3的結果是10.5，而且我們也用多種方法驗證了這一結果是正確的，但老師想知道這位同學在算的過程中是怎么想的？

（預設生匯報：把3.5先看成35，這樣3.5×3就變成了35×3，然后算出得數是105，再把積除以10，就得到10.5。）

師：哦，你是先把它想成了整數乘法35×3來計算，那你是怎么把3.5變成35的呢？然后又是怎么變回原來的積的呢？

師：這是利用了我們之前學過的什么知識呢？（師根據學生的敘述，逐步板書豎式如下圖。）

師： 大家一起來看，這兩個式子和黑板上的兩張圖片對應，你發現了什么？（生答：小數乘法對應蝴蝶，整數乘法就是蛹）是啊，“蛹”是我們已經學會的本領，我們就是用“原來的知識”來解決“新的問題”，這真是一種非常好的辦法。

（設計意圖：讓學生在多種方法中感悟相通之處，提煉出“化小數乘法為整數乘法”的主要思路，并引導學生利用“積的變化規律”來解釋小數乘法的算理，提高學生的推理能力。教學中運用“蝴蝶與蛹”的關系模型，幫助學生建構了用“原來的知識”來解決“新的問題”的認知模型，比較明顯地突出了轉化思想，也使學生感受到了方法的優越性。）

師：那請同學們接著用剛才的方法算一算“0.35×3”等于多少？你為什么能較快地得出結果？

師：算“0.35×3”我們也想到了“35×3”這一整數乘法，那么現在因數和積又是怎么變的呢？（生敘述，教師逐一板書）

（設計意圖：依據學情調整教學，補充可以轉化為同一整數乘法的“0.35×3”作為變式練習，能較明顯地突出小數乘法計算中“算小數乘法想整數乘法”的關鍵步驟。進一步強化了用整數乘法這一“蛹”來解釋小數乘法的算理結構，便于總結小數乘整數的一般方法。）

3.比較寫法，理解算理。

（1）第一次對比：整數乘法豎式與小數乘法豎式的對比。

師：你能很快寫出這兩組題的得數嗎？看一看，他們有什么聯系？你能從中聯系到“蝴蝶”和“蛹”嗎？（重點討論小數乘法和整數乘法的聯系與區別。）

（2）第二次對比：小數乘法豎式的不同寫法的對比。（豎式出示3.2×13）

師：看到這個算式后，你頭腦中首先想到的是什么？請在你的紙上用豎式算一算。（預設：①在小數乘法豎式的旁邊寫一個整數乘法豎式，小數乘法豎式沒有中間計算過程；②一個豎式，但中間過程有小數點；③算小數乘法，想整數乘法，中間過程為整數。）根據學生練習分別加以呈現：

師：你覺得哪一種最簡潔、最方便，算起來速度也比較快？展開討論，逐步引導學生形成共同體會：第一種算法比較費時、記錄比較麻煩；第二種算法，既然已經看成整數乘法了，算的過程就是整數乘法的過程，所以沒有必要在過程中出現小數點；第三種方法相對比較簡潔，并能很好地記錄“算小數想整數”的算法。

師：那么你能在這個豎式中找到“蛹”嗎？請你把它框出來。看來這個豎式不但能算出結果，而且能很好地記錄我們的想法，也就是既有我們要算的“蝴蝶”，也有我們想到的“蛹”，真是“蝶蛹合體”了。

（設計意圖：通過第一次對比，溝通小數乘法與整數乘法的聯系，有利于學生將新知納入到已有的認知系統中，便于學生自覺地將整數乘法的經驗遷移到小數乘法中來。組織第二次對比交流，引導學生對算理作進一步理解和表述，讓學生體會第三種方法的簡潔、方便，進一步理解算理，為總結小數乘法的一般算法打下基礎。

從因數是一位數上升到因數是兩位數的乘法，目的就是充分暴露學生用豎式計算小數乘法的思考過程，檢測學生“算小數想整數”的轉化思想是否已經成為自覺的想法。教學實踐中，采用“看蝶想蛹”來構造小數乘整數的算法模型、用“蝶蛹合體”來搭建小數乘法豎式的結構模型，使學生記憶深刻。）

4.課堂小結，歸納算法。

師：請同學們回憶剛才的學習過程，結合黑板上的板書，說一說“小數乘整數”到底該怎么算？（教師適時給出課題：小數乘整數）

（生展開討論交流。預設：①小數乘整數按什么方法進行計算？②積的小數點如何確定？③積末尾的0怎么處理？）

師：大家說得很好，小數乘整數，先把小數看成整數算出積，再看因數發生了什么變化，就按照積的變化規律再把積進行退還。這一過程像不像是“化蛹為蝶”呢？

（設計意圖：讓學生回憶學習過程，結合例題、板書等材料自己來總結算法，培養學生的歸納概括和語言表達能力，發展學生的數學思維。小結中用“化蛹為蝶”一詞來解釋“轉化思想”，學生容易形成較為深刻的印象。）

（三）鞏固練習，熟練算法

1.辨錯題。師：同學們剛才總結了小數乘整數的一般方法，下面我們來看這位同學做得是否正確？（如右圖）

（預設：①學生用估算就能很快判別錯誤；②根據因數的變化來確定積的小數位數這一步發生了錯誤；③先去“0”再點小數點發生的錯誤。）

2.補充算式。師：同學們看這組題，你認為做完了嗎？在題中你能不能找到“蛹”？你能將算式補充完整嗎？（逐步出示題組，學生展開討論）

（設計意圖：通過練習，讓學生從依據“積的變化規律”來確定小數點的位置，逐步熟練到“只要看因數中的小數位數”就能確定小數點的位置，為后續概括小數乘小數的計算方法打好基礎。第二組練習引入“因數是整十、整百數”的小數乘整數乘法，豐富小數乘整數的“原型”，同時 “你能不能找到‘蛹？”，再次激發學生思考尋找整數乘整數這個“蛹”，進一步溝通整數乘法與小數乘整數之間的聯系，鞏固小數乘整數算法的理解與掌握。）endprint

（3）變式練習。師：同學們，如果我們把今天新學的“小數乘整數”看作是“蝴蝶”的話，那么“蛹”是什么？

師：老師這里有一只“蛹”，你能化作幾只“蝴蝶”呢？看誰化得多？

（設計意圖：把枯燥的練習融入到富有趣味和挑戰性的活動中，使學生始終以飽滿的熱情參與學習，形成了在活動中練習、在練習中鞏固、在交流中拓展思維的良好課堂氛圍。“化蛹為蝶”形象地展示了利用一個“整數乘法”原型可以解決不同“小數乘法”的主要思路。此外，開放的設計形式，兼顧了不同層次學生的發展。）

（四）全課總結，布置作業

師：同學們，今天這節課你有什么收獲？跟大家分享一下好嗎？

【課后反思】

本堂課充分尊重學生的認知發展水平和已有的知識經驗，努力體現以學定教、學為中心的教學理念。面向全體學生，注重啟發和因材施教，較好地實現了知識的遷移，引導學生將整數乘法的經驗遷移到小數乘法中來。

1.創設和運用了“蝴蝶與蛹”這一關系模型，喚起學生用聯系的眼光思考問題、解決問題的意識。通過“看蝶想蛹”“由蝶找蛹”“化蛹為蝶”等活動，引導學生自主探索解決情境中的數學問題，再通過對幾種不同解題思路、不同算法的比較和分析，讓學生感受方法的合理性，體會“轉化”的思想。用“看蝶想蛹”來構造小數乘整數的算法模型，用“蝶蛹合體”來搭建小數乘法豎式的結構模型，使學生記憶深刻、理解透徹，從而熟練地掌握計算方法，實現運算教學的理想目標：基于“理解”的“熟能生巧”。

2.創造性地使用教材，不拘泥于教材，從調整教學內容入手，將教材中的例題2改編為0.35×3，通過解答與比較，有利于學生理解掌握小數乘整數的計算方法；在此基礎上，出示“3.2×13”，將因數由一位數上升到因數是兩位數的乘法，既有利于學習內容的拓展，又是基于突破教學難點的需要。教學過程中充分展示不同層次學生用豎式計算小數乘法的思考過程，并有針對性地展開積極有效的分析討論交流。這既充分顯示了因材施教、以學定教、以生為本的教學理念，更有利于學生總結形成小數乘整數的豎式計算方法。整個教學設計渾然一體、嚴謹縝密。

3.練習設計有層次，有梯度。本課練習的設置遵循了由易到難，呈螺旋式上升的規律，且形式多樣。將原本枯燥的練習與富有趣味的活動相融，由興趣激發動力，從而鞏固了本課知識，拓展了數學思維。

（浙江省諸暨市新世紀小學 311800

浙江省諸暨市教育局教研室 311800）endprint

（3）變式練習。師：同學們，如果我們把今天新學的“小數乘整數”看作是“蝴蝶”的話，那么“蛹”是什么？

師：老師這里有一只“蛹”，你能化作幾只“蝴蝶”呢？看誰化得多？

（設計意圖：把枯燥的練習融入到富有趣味和挑戰性的活動中，使學生始終以飽滿的熱情參與學習，形成了在活動中練習、在練習中鞏固、在交流中拓展思維的良好課堂氛圍。“化蛹為蝶”形象地展示了利用一個“整數乘法”原型可以解決不同“小數乘法”的主要思路。此外，開放的設計形式，兼顧了不同層次學生的發展。）

（四）全課總結，布置作業

師：同學們，今天這節課你有什么收獲？跟大家分享一下好嗎？

【課后反思】

本堂課充分尊重學生的認知發展水平和已有的知識經驗，努力體現以學定教、學為中心的教學理念。面向全體學生，注重啟發和因材施教，較好地實現了知識的遷移，引導學生將整數乘法的經驗遷移到小數乘法中來。

1.創設和運用了“蝴蝶與蛹”這一關系模型，喚起學生用聯系的眼光思考問題、解決問題的意識。通過“看蝶想蛹”“由蝶找蛹”“化蛹為蝶”等活動，引導學生自主探索解決情境中的數學問題，再通過對幾種不同解題思路、不同算法的比較和分析，讓學生感受方法的合理性，體會“轉化”的思想。用“看蝶想蛹”來構造小數乘整數的算法模型，用“蝶蛹合體”來搭建小數乘法豎式的結構模型，使學生記憶深刻、理解透徹，從而熟練地掌握計算方法，實現運算教學的理想目標：基于“理解”的“熟能生巧”。

2.創造性地使用教材，不拘泥于教材，從調整教學內容入手，將教材中的例題2改編為0.35×3，通過解答與比較，有利于學生理解掌握小數乘整數的計算方法；在此基礎上，出示“3.2×13”，將因數由一位數上升到因數是兩位數的乘法，既有利于學習內容的拓展，又是基于突破教學難點的需要。教學過程中充分展示不同層次學生用豎式計算小數乘法的思考過程，并有針對性地展開積極有效的分析討論交流。這既充分顯示了因材施教、以學定教、以生為本的教學理念，更有利于學生總結形成小數乘整數的豎式計算方法。整個教學設計渾然一體、嚴謹縝密。

3.練習設計有層次，有梯度。本課練習的設置遵循了由易到難，呈螺旋式上升的規律，且形式多樣。將原本枯燥的練習與富有趣味的活動相融，由興趣激發動力，從而鞏固了本課知識，拓展了數學思維。

（浙江省諸暨市新世紀小學 311800

浙江省諸暨市教育局教研室 311800）endprint

（3）變式練習。師：同學們，如果我們把今天新學的“小數乘整數”看作是“蝴蝶”的話，那么“蛹”是什么？

師：老師這里有一只“蛹”，你能化作幾只“蝴蝶”呢？看誰化得多？

（設計意圖：把枯燥的練習融入到富有趣味和挑戰性的活動中，使學生始終以飽滿的熱情參與學習，形成了在活動中練習、在練習中鞏固、在交流中拓展思維的良好課堂氛圍。“化蛹為蝶”形象地展示了利用一個“整數乘法”原型可以解決不同“小數乘法”的主要思路。此外，開放的設計形式，兼顧了不同層次學生的發展。）

（四）全課總結，布置作業

師：同學們，今天這節課你有什么收獲？跟大家分享一下好嗎？

【課后反思】

本堂課充分尊重學生的認知發展水平和已有的知識經驗，努力體現以學定教、學為中心的教學理念。面向全體學生，注重啟發和因材施教，較好地實現了知識的遷移，引導學生將整數乘法的經驗遷移到小數乘法中來。

1.創設和運用了“蝴蝶與蛹”這一關系模型，喚起學生用聯系的眼光思考問題、解決問題的意識。通過“看蝶想蛹”“由蝶找蛹”“化蛹為蝶”等活動，引導學生自主探索解決情境中的數學問題，再通過對幾種不同解題思路、不同算法的比較和分析，讓學生感受方法的合理性，體會“轉化”的思想。用“看蝶想蛹”來構造小數乘整數的算法模型，用“蝶蛹合體”來搭建小數乘法豎式的結構模型，使學生記憶深刻、理解透徹，從而熟練地掌握計算方法，實現運算教學的理想目標：基于“理解”的“熟能生巧”。

2.創造性地使用教材，不拘泥于教材，從調整教學內容入手，將教材中的例題2改編為0.35×3，通過解答與比較，有利于學生理解掌握小數乘整數的計算方法；在此基礎上，出示“3.2×13”，將因數由一位數上升到因數是兩位數的乘法，既有利于學習內容的拓展，又是基于突破教學難點的需要。教學過程中充分展示不同層次學生用豎式計算小數乘法的思考過程，并有針對性地展開積極有效的分析討論交流。這既充分顯示了因材施教、以學定教、以生為本的教學理念，更有利于學生總結形成小數乘整數的豎式計算方法。整個教學設計渾然一體、嚴謹縝密。

3.練習設計有層次，有梯度。本課練習的設置遵循了由易到難，呈螺旋式上升的規律，且形式多樣。將原本枯燥的練習與富有趣味的活動相融，由興趣激發動力，從而鞏固了本課知識，拓展了數學思維。

（浙江省諸暨市新世紀小學 311800

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