論《導數及其應用部分》的教學

李道云　程文

中圖分類號：G633.62 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）14-0041-02

高中實行新課程改革后，教科書在框架結構和具體內容等方面變化都很大。湖北省也于2008年秋加入到了普通高中新課程改革的行列；無論是先進的教育理念，還是優秀的教材，最終都要落實到課堂上，體現在課堂教學方法和教師教學行為上，新課程的實施需要課堂教學有一個質的變化。而如何落實，如何正確地理解新課程的思想理念成為廣大一線高中數學教師普遍存在的問題。微積分作為高中數學與大學數學的銜接內容，兩版教科書在內容的呈現方面有哪些變化？對學生的學習主要有哪些影響？有哪些改進與不足？這些問題的研究對加速數學課程改革進程，推動教科書建設，提升學生的綜合素質，全面提高教育教學質量都具有重要的意義。

課標版教科書關注學生發展、培養學生創新精神和應用意識的改革是其最大的亮點，但是在教學過程中也發現了個別值得商榷的地方，值得進一步研究。

一、對函數極值理解的處理是否可以將兩版教材結合起來，采用課標版的探究，采用大綱版的表述

大綱版教科書是這樣定義的：

一般地，設函數f（x）在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）f（x0），我們就說f（x0）是函數f（x）的一個極小值，記作y極小值=f（x0）；極大值與極小值統稱為極值。

課標版是這樣來敘述的：如圖，以a，b兩點為例，我們可以發現，函數y=f（x）在點x=a的函數值f（a）比它在點x=a附近其他點的函數值都小，f '（a）=0；而且在點x=a附近的左側f '（x）<0，右側f '（x）>0。類似地，函數y=f（x）在x=b的函數值f（b）比它在點x=b附近其他點的函數值都大，f '（b）=0；而且在點x=b附近的左側f '（x）>0，右側f '（x）<0。我們把點a叫做函數y=f（x）的極小值點，f（a）叫做函數y=f（x）的極小值；點b叫做函數y=f（x）的極大值點，f（b）叫做函數y=f（x）的極大值。極小值點、極大值點統稱為極值點，極大值和極小值統稱為極值。

大綱版教科書雖然也進行了探究但過程比較粗糙，學生感觸不深，理解起來仍然比較模糊，但對極值定義的表述比較嚴密；課標版教材探究比較細膩，并且對圖像的局部特征還做了“特寫”，學生理解起來更直觀，但如此敘述極值定義會使學生錯誤的理解為取得極值處的導數一定為0。雖然對于課標版的教科書中所涉及的函數來講，沒有歧義，但這樣定義是不嚴密的。比如y=|x-a|這樣的函數，它們在x=a處也有極值，但在x=a處導數不存在，不符合課標版的定義，所以這樣來定義極值欠妥。是否能將二者有選擇性的有機結合起來，從而既達到容易直觀感知又不會使學生產生歧義呢？

二、理解導數到底要不要講極限？講多少合適？

在微分學中，導數概念的建立最為關鍵。從微分學發展的歷史可以知道，極限概念是導數概念的核心基礎，沒有了極限過程也就沒有了導數，極限是導數不可回避的概念。肖柏榮老師曾經于1982年在其文章《中學數學中極限、導數和微積分教學初議》中認為“極限是數學中的一個極其重要的概念。”“微積分中的許多重要概念，如函數連續性、導數、定積分以及無窮級數等實際上都是特定形式的極限。”“求導法則和積分法則也都是以極限運算為基礎的。”因此，從科學嚴謹的意義上說，不教極限是沒法教導數的。

近年來不少專家學者通過大量實證研究對無極限的中學微積分課程在一些地區的實施情況做了調研。其中宋寶和、房元霞老師于2004年發表在數學教育學報上的文章《逾越形式化極限概念的微積分課程》表明學生和教師對導數設計的變化有明顯的反應，課堂氣氛活躍，學生學習積極性高，學生稱贊導數應用性廣泛；但是教師表現出較大的不適應。宋寶和、房元霞、郭兆明老師于2006年發表在《課程·教材·教法》上的文章《變化率思想：高中開設微積分課程的價值》中認為：課標教科書中無極限微積分的課程設計有利于促進學生自主探究、反思，關注學生對導數本質的理解和對微積分思想方法的掌握；宋寶和、房元霞、連茂廷老師最近發表在《數學通報》上的文章《高中生對導數概念理解情況的調查研究——兼與大學生的比較》認為：學過無極限微積分的高中生對導數概念本質的語言表述比兩階段都學過極限和導數的大學生好，將運動和變化問題化歸為導數來解決的能力要比大學生強，但是高中生對導數概念形象化理解僅停留在瞬時速度、瞬時變化率、切線斜率三個實例上。

我所在的中學大部分教師都是帶過多屆大綱版教材的教師，我們一直認為：無極限的導數學生學完后僅僅停留在感知這一階段，學生對導數的理解是模糊的、機械的，比如很多學生在學習的過程中都追問教科書只給出了函數y=x2，y=x-1，y=求導公式的推證過程，怎么樣才能導出函數y=xn的求導公式呢？諸多像這樣過去可以借用極限來理解和解釋的問題現在都不能實現。那么究竟在這里如何處理好呢？我們認為還是應該講一些極限，但講多少合適，這依然是一個值得進一步探討和研究的問題。

（責任編輯 劉 馨）

中圖分類號：G633.62 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）14-0041-02

高中實行新課程改革后，教科書在框架結構和具體內容等方面變化都很大。湖北省也于2008年秋加入到了普通高中新課程改革的行列；無論是先進的教育理念，還是優秀的教材，最終都要落實到課堂上，體現在課堂教學方法和教師教學行為上，新課程的實施需要課堂教學有一個質的變化。而如何落實，如何正確地理解新課程的思想理念成為廣大一線高中數學教師普遍存在的問題。微積分作為高中數學與大學數學的銜接內容，兩版教科書在內容的呈現方面有哪些變化？對學生的學習主要有哪些影響？有哪些改進與不足？這些問題的研究對加速數學課程改革進程，推動教科書建設，提升學生的綜合素質，全面提高教育教學質量都具有重要的意義。

課標版教科書關注學生發展、培養學生創新精神和應用意識的改革是其最大的亮點，但是在教學過程中也發現了個別值得商榷的地方，值得進一步研究。

一、對函數極值理解的處理是否可以將兩版教材結合起來，采用課標版的探究，采用大綱版的表述

大綱版教科書是這樣定義的：

一般地，設函數f（x）在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）f（x0），我們就說f（x0）是函數f（x）的一個極小值，記作y極小值=f（x0）；極大值與極小值統稱為極值。

課標版是這樣來敘述的：如圖，以a，b兩點為例，我們可以發現，函數y=f（x）在點x=a的函數值f（a）比它在點x=a附近其他點的函數值都小，f '（a）=0；而且在點x=a附近的左側f '（x）<0，右側f '（x）>0。類似地，函數y=f（x）在x=b的函數值f（b）比它在點x=b附近其他點的函數值都大，f '（b）=0；而且在點x=b附近的左側f '（x）>0，右側f '（x）<0。我們把點a叫做函數y=f（x）的極小值點，f（a）叫做函數y=f（x）的極小值；點b叫做函數y=f（x）的極大值點，f（b）叫做函數y=f（x）的極大值。極小值點、極大值點統稱為極值點，極大值和極小值統稱為極值。

大綱版教科書雖然也進行了探究但過程比較粗糙，學生感觸不深，理解起來仍然比較模糊，但對極值定義的表述比較嚴密；課標版教材探究比較細膩，并且對圖像的局部特征還做了“特寫”，學生理解起來更直觀，但如此敘述極值定義會使學生錯誤的理解為取得極值處的導數一定為0。雖然對于課標版的教科書中所涉及的函數來講，沒有歧義，但這樣定義是不嚴密的。比如y=|x-a|這樣的函數，它們在x=a處也有極值，但在x=a處導數不存在，不符合課標版的定義，所以這樣來定義極值欠妥。是否能將二者有選擇性的有機結合起來，從而既達到容易直觀感知又不會使學生產生歧義呢？

二、理解導數到底要不要講極限？講多少合適？

在微分學中，導數概念的建立最為關鍵。從微分學發展的歷史可以知道，極限概念是導數概念的核心基礎，沒有了極限過程也就沒有了導數，極限是導數不可回避的概念。肖柏榮老師曾經于1982年在其文章《中學數學中極限、導數和微積分教學初議》中認為“極限是數學中的一個極其重要的概念。”“微積分中的許多重要概念，如函數連續性、導數、定積分以及無窮級數等實際上都是特定形式的極限。”“求導法則和積分法則也都是以極限運算為基礎的。”因此，從科學嚴謹的意義上說，不教極限是沒法教導數的。

近年來不少專家學者通過大量實證研究對無極限的中學微積分課程在一些地區的實施情況做了調研。其中宋寶和、房元霞老師于2004年發表在數學教育學報上的文章《逾越形式化極限概念的微積分課程》表明學生和教師對導數設計的變化有明顯的反應，課堂氣氛活躍，學生學習積極性高，學生稱贊導數應用性廣泛；但是教師表現出較大的不適應。宋寶和、房元霞、郭兆明老師于2006年發表在《課程·教材·教法》上的文章《變化率思想：高中開設微積分課程的價值》中認為：課標教科書中無極限微積分的課程設計有利于促進學生自主探究、反思，關注學生對導數本質的理解和對微積分思想方法的掌握；宋寶和、房元霞、連茂廷老師最近發表在《數學通報》上的文章《高中生對導數概念理解情況的調查研究——兼與大學生的比較》認為：學過無極限微積分的高中生對導數概念本質的語言表述比兩階段都學過極限和導數的大學生好，將運動和變化問題化歸為導數來解決的能力要比大學生強，但是高中生對導數概念形象化理解僅停留在瞬時速度、瞬時變化率、切線斜率三個實例上。

我所在的中學大部分教師都是帶過多屆大綱版教材的教師，我們一直認為：無極限的導數學生學完后僅僅停留在感知這一階段，學生對導數的理解是模糊的、機械的，比如很多學生在學習的過程中都追問教科書只給出了函數y=x2，y=x-1，y=求導公式的推證過程，怎么樣才能導出函數y=xn的求導公式呢？諸多像這樣過去可以借用極限來理解和解釋的問題現在都不能實現。那么究竟在這里如何處理好呢？我們認為還是應該講一些極限，但講多少合適，這依然是一個值得進一步探討和研究的問題。

（責任編輯 劉 馨）

中圖分類號：G633.62 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）14-0041-02

高中實行新課程改革后，教科書在框架結構和具體內容等方面變化都很大。湖北省也于2008年秋加入到了普通高中新課程改革的行列；無論是先進的教育理念，還是優秀的教材，最終都要落實到課堂上，體現在課堂教學方法和教師教學行為上，新課程的實施需要課堂教學有一個質的變化。而如何落實，如何正確地理解新課程的思想理念成為廣大一線高中數學教師普遍存在的問題。微積分作為高中數學與大學數學的銜接內容，兩版教科書在內容的呈現方面有哪些變化？對學生的學習主要有哪些影響？有哪些改進與不足？這些問題的研究對加速數學課程改革進程，推動教科書建設，提升學生的綜合素質，全面提高教育教學質量都具有重要的意義。

課標版教科書關注學生發展、培養學生創新精神和應用意識的改革是其最大的亮點，但是在教學過程中也發現了個別值得商榷的地方，值得進一步研究。

一、對函數極值理解的處理是否可以將兩版教材結合起來，采用課標版的探究，采用大綱版的表述

大綱版教科書是這樣定義的：

一般地，設函數f（x）在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）f（x0），我們就說f（x0）是函數f（x）的一個極小值，記作y極小值=f（x0）；極大值與極小值統稱為極值。

課標版是這樣來敘述的：如圖，以a，b兩點為例，我們可以發現，函數y=f（x）在點x=a的函數值f（a）比它在點x=a附近其他點的函數值都小，f '（a）=0；而且在點x=a附近的左側f '（x）<0，右側f '（x）>0。類似地，函數y=f（x）在x=b的函數值f（b）比它在點x=b附近其他點的函數值都大，f '（b）=0；而且在點x=b附近的左側f '（x）>0，右側f '（x）<0。我們把點a叫做函數y=f（x）的極小值點，f（a）叫做函數y=f（x）的極小值；點b叫做函數y=f（x）的極大值點，f（b）叫做函數y=f（x）的極大值。極小值點、極大值點統稱為極值點，極大值和極小值統稱為極值。

大綱版教科書雖然也進行了探究但過程比較粗糙，學生感觸不深，理解起來仍然比較模糊，但對極值定義的表述比較嚴密；課標版教材探究比較細膩，并且對圖像的局部特征還做了“特寫”，學生理解起來更直觀，但如此敘述極值定義會使學生錯誤的理解為取得極值處的導數一定為0。雖然對于課標版的教科書中所涉及的函數來講，沒有歧義，但這樣定義是不嚴密的。比如y=|x-a|這樣的函數，它們在x=a處也有極值，但在x=a處導數不存在，不符合課標版的定義，所以這樣來定義極值欠妥。是否能將二者有選擇性的有機結合起來，從而既達到容易直觀感知又不會使學生產生歧義呢？

二、理解導數到底要不要講極限？講多少合適？

在微分學中，導數概念的建立最為關鍵。從微分學發展的歷史可以知道，極限概念是導數概念的核心基礎，沒有了極限過程也就沒有了導數，極限是導數不可回避的概念。肖柏榮老師曾經于1982年在其文章《中學數學中極限、導數和微積分教學初議》中認為“極限是數學中的一個極其重要的概念。”“微積分中的許多重要概念，如函數連續性、導數、定積分以及無窮級數等實際上都是特定形式的極限。”“求導法則和積分法則也都是以極限運算為基礎的。”因此，從科學嚴謹的意義上說，不教極限是沒法教導數的。

近年來不少專家學者通過大量實證研究對無極限的中學微積分課程在一些地區的實施情況做了調研。其中宋寶和、房元霞老師于2004年發表在數學教育學報上的文章《逾越形式化極限概念的微積分課程》表明學生和教師對導數設計的變化有明顯的反應，課堂氣氛活躍，學生學習積極性高，學生稱贊導數應用性廣泛；但是教師表現出較大的不適應。宋寶和、房元霞、郭兆明老師于2006年發表在《課程·教材·教法》上的文章《變化率思想：高中開設微積分課程的價值》中認為：課標教科書中無極限微積分的課程設計有利于促進學生自主探究、反思，關注學生對導數本質的理解和對微積分思想方法的掌握；宋寶和、房元霞、連茂廷老師最近發表在《數學通報》上的文章《高中生對導數概念理解情況的調查研究——兼與大學生的比較》認為：學過無極限微積分的高中生對導數概念本質的語言表述比兩階段都學過極限和導數的大學生好，將運動和變化問題化歸為導數來解決的能力要比大學生強，但是高中生對導數概念形象化理解僅停留在瞬時速度、瞬時變化率、切線斜率三個實例上。

我所在的中學大部分教師都是帶過多屆大綱版教材的教師，我們一直認為：無極限的導數學生學完后僅僅停留在感知這一階段，學生對導數的理解是模糊的、機械的，比如很多學生在學習的過程中都追問教科書只給出了函數y=x2，y=x-1，y=求導公式的推證過程，怎么樣才能導出函數y=xn的求導公式呢？諸多像這樣過去可以借用極限來理解和解釋的問題現在都不能實現。那么究竟在這里如何處理好呢？我們認為還是應該講一些極限，但講多少合適，這依然是一個值得進一步探討和研究的問題。

（責任編輯 劉 馨）