探秘圓錐曲線中一類特殊弦的幾點性質

鄧城+李祥鈞

在圓錐曲線中，圓與橢圓的圖象最為相似，兩者的性質也最為接近.例如圓中過定點弦的中點軌跡是圓，橢圓中過定點弦的中點軌跡則為橢圓.一直以來圓錐曲線題型中研究各類線段的中點軌跡最為常見，然而涉及切點弦的中點軌跡卻較少，即便有也是限制在拋物線上，例如2013年遼寧高考題（理科）第20題.筆者認為其中主要原因是拋物線的切線方程通過求導容易表達，而橢圓、雙曲線的切線方程的形式較為復雜，涉及切線的問題往往難度較大或者計算異常繁瑣，課標未作要求，高考一般不予考查.然而涉及切點弦的中點軌跡到底內藏何種乾坤，作為數學教師還是應當一探究竟.下面是筆者的相關探究過程和發現，借此拋磚引玉.

由圓的對稱性易知O、M、P三點共線，利用超級畫板的軌跡功能發現切點弦AB過定點，中點M在一個圓上，回到問題1我們驚訝發現仍然有類似結論，經過探究我們得到以下性質.

問題1的解決意味著問題2一樣同理可破解，事實上在探究過程中圓錐曲線中的對稱美、相似美、形式美、奇異美甚至缺憾之美已經一覽無遺，這是數學的魅力所在，也值得在教學中向學生介紹，興許能一改學生對圓錐曲線原本的枯燥無趣印象，點燃學生積極探索的熱情.

作者簡介鄧城，男，廣東大埔人，1983年8月生，中學一級教師.主要研究方向是教學模式的探討與實踐.曾獲得廣州市高考突出貢獻獎和廣東省高中數學競賽優秀指導教師稱號，在國家級、省級刊物發表數篇文章.李祥鈞，男，湖北監利人，1967年5月生，中學高級教師.主要研究課程資源的有效整合與利用.曾獲得廣州市高考突出貢獻獎和廣州市教研積極分子，在報刊雜志發表論文多篇，主編過數本教輔資料用書.

在圓錐曲線中，圓與橢圓的圖象最為相似，兩者的性質也最為接近.例如圓中過定點弦的中點軌跡是圓，橢圓中過定點弦的中點軌跡則為橢圓.一直以來圓錐曲線題型中研究各類線段的中點軌跡最為常見，然而涉及切點弦的中點軌跡卻較少，即便有也是限制在拋物線上，例如2013年遼寧高考題（理科）第20題.筆者認為其中主要原因是拋物線的切線方程通過求導容易表達，而橢圓、雙曲線的切線方程的形式較為復雜，涉及切線的問題往往難度較大或者計算異常繁瑣，課標未作要求，高考一般不予考查.然而涉及切點弦的中點軌跡到底內藏何種乾坤，作為數學教師還是應當一探究竟.下面是筆者的相關探究過程和發現，借此拋磚引玉.

由圓的對稱性易知O、M、P三點共線，利用超級畫板的軌跡功能發現切點弦AB過定點，中點M在一個圓上，回到問題1我們驚訝發現仍然有類似結論，經過探究我們得到以下性質.

問題1的解決意味著問題2一樣同理可破解，事實上在探究過程中圓錐曲線中的對稱美、相似美、形式美、奇異美甚至缺憾之美已經一覽無遺，這是數學的魅力所在，也值得在教學中向學生介紹，興許能一改學生對圓錐曲線原本的枯燥無趣印象，點燃學生積極探索的熱情.

作者簡介鄧城，男，廣東大埔人，1983年8月生，中學一級教師.主要研究方向是教學模式的探討與實踐.曾獲得廣州市高考突出貢獻獎和廣東省高中數學競賽優秀指導教師稱號，在國家級、省級刊物發表數篇文章.李祥鈞，男，湖北監利人，1967年5月生，中學高級教師.主要研究課程資源的有效整合與利用.曾獲得廣州市高考突出貢獻獎和廣州市教研積極分子，在報刊雜志發表論文多篇，主編過數本教輔資料用書.

在圓錐曲線中，圓與橢圓的圖象最為相似，兩者的性質也最為接近.例如圓中過定點弦的中點軌跡是圓，橢圓中過定點弦的中點軌跡則為橢圓.一直以來圓錐曲線題型中研究各類線段的中點軌跡最為常見，然而涉及切點弦的中點軌跡卻較少，即便有也是限制在拋物線上，例如2013年遼寧高考題（理科）第20題.筆者認為其中主要原因是拋物線的切線方程通過求導容易表達，而橢圓、雙曲線的切線方程的形式較為復雜，涉及切線的問題往往難度較大或者計算異常繁瑣，課標未作要求，高考一般不予考查.然而涉及切點弦的中點軌跡到底內藏何種乾坤，作為數學教師還是應當一探究竟.下面是筆者的相關探究過程和發現，借此拋磚引玉.

由圓的對稱性易知O、M、P三點共線，利用超級畫板的軌跡功能發現切點弦AB過定點，中點M在一個圓上，回到問題1我們驚訝發現仍然有類似結論，經過探究我們得到以下性質.

問題1的解決意味著問題2一樣同理可破解，事實上在探究過程中圓錐曲線中的對稱美、相似美、形式美、奇異美甚至缺憾之美已經一覽無遺，這是數學的魅力所在，也值得在教學中向學生介紹，興許能一改學生對圓錐曲線原本的枯燥無趣印象，點燃學生積極探索的熱情.

作者簡介鄧城，男，廣東大埔人，1983年8月生，中學一級教師.主要研究方向是教學模式的探討與實踐.曾獲得廣州市高考突出貢獻獎和廣東省高中數學競賽優秀指導教師稱號，在國家級、省級刊物發表數篇文章.李祥鈞，男，湖北監利人，1967年5月生，中學高級教師.主要研究課程資源的有效整合與利用.曾獲得廣州市高考突出貢獻獎和廣州市教研積極分子，在報刊雜志發表論文多篇，主編過數本教輔資料用書.