復習教學中感悟數學活動的特點

顧鋒

數學家波塞爾這樣描述數學活動：數學是人類的一種最重要的活動；數學活動是包容了從粗俗的手工勞作到高雅的理性發現的系統活動.比如，函數概念的形成，就是人們在生活實踐活動中對相變化關系的量逐漸感悟、領會，并通過數學形式的精微活動而逐漸得以發展的.

下面通過高二年級“導數在函數中的運用”的第一節復習課的教學設計，來感悟數學活動教學的特點.

一、學生參與活動的主動性

人的活動是豐富多彩的，因而數學活動的對象也是豐富多彩的.教學中數學活動的對象基本有兩類：一類是以實物存在的客觀事物和客觀環境，另一類是以心理映象或符號存在的心理表象.根據高中學生的思維特點，數學教學活動應適當應用雙重編碼即形象編碼和語義編碼.通過將靜態對象動態化，抽象概念形象化，激發學生活動的主動性、積極性和能動性，從而在對活動對象的占有、改造過程中主動實現主體的發展.

“導數在函數中的應用”的第一節復習課，著重是復習導數在研究函數的單調性中的應用.它包括利用導數求函數的單調區間，已知函數的單調性，用導數法求參數的取值范圍，約束條件下求參數的值等幾個模塊.在進行教學設計時，教師可以安排了如下四道題目作為學生的課前小練.（1）函數y=x3-3x2+4x的單調性為；（2）函數f（x）=xlnx的單調減區間為；（3）函數y=ex·sinx在[0，π]的單調增區間是；（4）已知a<0，函數f（x）=y3+ax2-a2x+2的單調減區間為.復習課一開始，首先請學生匯報結果并相互糾錯，然后請兩個學生總結導數在研究函數單調性中的有關知識，由學生提煉出如求單調區間的前提是求定義域等注意點.接著，教師給出例1：求函數y=12x2-2x+lnx的單調區間.設計例1的目的：一是為鞏固學生在課前小練總結的結論；二是為下面的變題服務.變題：求函數f（x）=sinx2cosx-1，x∈[0，π）的單調區間.學生在例1的變題中，易忽略2cosx-1≠0這一限制條件.這一設計是為了激發學生在探究活動中的主動性，從而在對舊知的改造過程中實現主體性的發展.

二、學生參與活動的整體性

數學活動的整體性，一方面是指數學活動的結構具有整體性，即學生主動的活動應該由外部活動和內部活動兩個部分組成.另一方面，數學活動的整體性是指數學活動過程的整體性.從教學活動的運行機制來看，教學過程正是學生主體的外部活動與內部活動的雙向轉化過程.具體地說，數學活動既是一個操作活動數學化，又是數學材料邏輯化、邏輯材料實踐化的過程.這三個過程轉化正是一個由外而內、由內而外的物質活動和觀念活動相互聯系，相互作用，相互滲透的過程，是學生主體活動外化和內化的統一.

已知函數的單調性，用導數法求參數的取值范圍的復習，教師可以根據學生參與活動的整體性，設計例2：函數f（x）=ax―12x―lnx在（0， +∞）上是增函數，求a的范圍.變題：已知函數f（x）=4x+ax2-23x3在區間（0，1]是減函數，求實數a的取值范圍.而在例2的變題中，學生意識到f′（x）=4x+2ax-2x2≤0對x∈[-1，1]恒成立，即不等式x2-ax-2≥0在x∈（0，1]要恒成立.如果采用例2求最值的方法，比較煩瑣，故要求學生想出其他解法.學生經過討論，想出參變分離的方法.在例2及變題的設計中，筆者并未一味地將解法灌輸給學生，讓學生被動地接受，而是由學生自己總結出參變分離的方法，并指出這種方法與求極值方法的各自適用情況，適用的條件及題目中關鍵詞對參變分離方法的暗示等.由此，體現了數學活動教學的特點.

三、學生參與活動的開放性

數學活動的開放性具體體現在數學活動內容的多樣性和選擇性，數學活動過程的動態化、活動空間的廣闊性和活動結果的多樣化.對于某段教學過程，通過教師的恰當引導，思維活動層層深入，確保了學生的主體地位，充分發揮和發展學生的主體性，從而實現了學生不是知識的被動接受者，而是主動的發現者和探求者.這同時也表明，學生能力的形成和發展起自于學生參與活動的開放度，起自于學生這個主體的積極過程，離開了主體的活動，也就沒有學習的動力而言了.

四、學生參與活動的建構性

數學是數學認知結構的改造和重新組織.數學有意義學習特別強調原有認知結構對新知識學習的作用，同時強調學習材料本身的內在邏輯結構.有內在邏輯結構的材料與學生原有認知結構關聯起來，新舊知識相互作用，建立起非人為和實質性聯系，才能導致學習者在頭腦中獲得新知識的意義，這種主客體相互作用的活動過程，會使學習的主體的能力和傾向發生相對穩定的變化.endprint

數學家波塞爾這樣描述數學活動：數學是人類的一種最重要的活動；數學活動是包容了從粗俗的手工勞作到高雅的理性發現的系統活動.比如，函數概念的形成，就是人們在生活實踐活動中對相變化關系的量逐漸感悟、領會，并通過數學形式的精微活動而逐漸得以發展的.

下面通過高二年級“導數在函數中的運用”的第一節復習課的教學設計，來感悟數學活動教學的特點.

一、學生參與活動的主動性

人的活動是豐富多彩的，因而數學活動的對象也是豐富多彩的.教學中數學活動的對象基本有兩類：一類是以實物存在的客觀事物和客觀環境，另一類是以心理映象或符號存在的心理表象.根據高中學生的思維特點，數學教學活動應適當應用雙重編碼即形象編碼和語義編碼.通過將靜態對象動態化，抽象概念形象化，激發學生活動的主動性、積極性和能動性，從而在對活動對象的占有、改造過程中主動實現主體的發展.

“導數在函數中的應用”的第一節復習課，著重是復習導數在研究函數的單調性中的應用.它包括利用導數求函數的單調區間，已知函數的單調性，用導數法求參數的取值范圍，約束條件下求參數的值等幾個模塊.在進行教學設計時，教師可以安排了如下四道題目作為學生的課前小練.（1）函數y=x3-3x2+4x的單調性為；（2）函數f（x）=xlnx的單調減區間為；（3）函數y=ex·sinx在[0，π]的單調增區間是；（4）已知a<0，函數f（x）=y3+ax2-a2x+2的單調減區間為.復習課一開始，首先請學生匯報結果并相互糾錯，然后請兩個學生總結導數在研究函數單調性中的有關知識，由學生提煉出如求單調區間的前提是求定義域等注意點.接著，教師給出例1：求函數y=12x2-2x+lnx的單調區間.設計例1的目的：一是為鞏固學生在課前小練總結的結論；二是為下面的變題服務.變題：求函數f（x）=sinx2cosx-1，x∈[0，π）的單調區間.學生在例1的變題中，易忽略2cosx-1≠0這一限制條件.這一設計是為了激發學生在探究活動中的主動性，從而在對舊知的改造過程中實現主體性的發展.

二、學生參與活動的整體性

數學活動的整體性，一方面是指數學活動的結構具有整體性，即學生主動的活動應該由外部活動和內部活動兩個部分組成.另一方面，數學活動的整體性是指數學活動過程的整體性.從教學活動的運行機制來看，教學過程正是學生主體的外部活動與內部活動的雙向轉化過程.具體地說，數學活動既是一個操作活動數學化，又是數學材料邏輯化、邏輯材料實踐化的過程.這三個過程轉化正是一個由外而內、由內而外的物質活動和觀念活動相互聯系，相互作用，相互滲透的過程，是學生主體活動外化和內化的統一.

已知函數的單調性，用導數法求參數的取值范圍的復習，教師可以根據學生參與活動的整體性，設計例2：函數f（x）=ax―12x―lnx在（0， +∞）上是增函數，求a的范圍.變題：已知函數f（x）=4x+ax2-23x3在區間（0，1]是減函數，求實數a的取值范圍.而在例2的變題中，學生意識到f′（x）=4x+2ax-2x2≤0對x∈[-1，1]恒成立，即不等式x2-ax-2≥0在x∈（0，1]要恒成立.如果采用例2求最值的方法，比較煩瑣，故要求學生想出其他解法.學生經過討論，想出參變分離的方法.在例2及變題的設計中，筆者并未一味地將解法灌輸給學生，讓學生被動地接受，而是由學生自己總結出參變分離的方法，并指出這種方法與求極值方法的各自適用情況，適用的條件及題目中關鍵詞對參變分離方法的暗示等.由此，體現了數學活動教學的特點.

三、學生參與活動的開放性

數學活動的開放性具體體現在數學活動內容的多樣性和選擇性，數學活動過程的動態化、活動空間的廣闊性和活動結果的多樣化.對于某段教學過程，通過教師的恰當引導，思維活動層層深入，確保了學生的主體地位，充分發揮和發展學生的主體性，從而實現了學生不是知識的被動接受者，而是主動的發現者和探求者.這同時也表明，學生能力的形成和發展起自于學生參與活動的開放度，起自于學生這個主體的積極過程，離開了主體的活動，也就沒有學習的動力而言了.

四、學生參與活動的建構性

數學是數學認知結構的改造和重新組織.數學有意義學習特別強調原有認知結構對新知識學習的作用，同時強調學習材料本身的內在邏輯結構.有內在邏輯結構的材料與學生原有認知結構關聯起來，新舊知識相互作用，建立起非人為和實質性聯系，才能導致學習者在頭腦中獲得新知識的意義，這種主客體相互作用的活動過程，會使學習的主體的能力和傾向發生相對穩定的變化.endprint

數學家波塞爾這樣描述數學活動：數學是人類的一種最重要的活動；數學活動是包容了從粗俗的手工勞作到高雅的理性發現的系統活動.比如，函數概念的形成，就是人們在生活實踐活動中對相變化關系的量逐漸感悟、領會，并通過數學形式的精微活動而逐漸得以發展的.

下面通過高二年級“導數在函數中的運用”的第一節復習課的教學設計，來感悟數學活動教學的特點.

一、學生參與活動的主動性

人的活動是豐富多彩的，因而數學活動的對象也是豐富多彩的.教學中數學活動的對象基本有兩類：一類是以實物存在的客觀事物和客觀環境，另一類是以心理映象或符號存在的心理表象.根據高中學生的思維特點，數學教學活動應適當應用雙重編碼即形象編碼和語義編碼.通過將靜態對象動態化，抽象概念形象化，激發學生活動的主動性、積極性和能動性，從而在對活動對象的占有、改造過程中主動實現主體的發展.

“導數在函數中的應用”的第一節復習課，著重是復習導數在研究函數的單調性中的應用.它包括利用導數求函數的單調區間，已知函數的單調性，用導數法求參數的取值范圍，約束條件下求參數的值等幾個模塊.在進行教學設計時，教師可以安排了如下四道題目作為學生的課前小練.（1）函數y=x3-3x2+4x的單調性為；（2）函數f（x）=xlnx的單調減區間為；（3）函數y=ex·sinx在[0，π]的單調增區間是；（4）已知a<0，函數f（x）=y3+ax2-a2x+2的單調減區間為.復習課一開始，首先請學生匯報結果并相互糾錯，然后請兩個學生總結導數在研究函數單調性中的有關知識，由學生提煉出如求單調區間的前提是求定義域等注意點.接著，教師給出例1：求函數y=12x2-2x+lnx的單調區間.設計例1的目的：一是為鞏固學生在課前小練總結的結論；二是為下面的變題服務.變題：求函數f（x）=sinx2cosx-1，x∈[0，π）的單調區間.學生在例1的變題中，易忽略2cosx-1≠0這一限制條件.這一設計是為了激發學生在探究活動中的主動性，從而在對舊知的改造過程中實現主體性的發展.

二、學生參與活動的整體性

數學活動的整體性，一方面是指數學活動的結構具有整體性，即學生主動的活動應該由外部活動和內部活動兩個部分組成.另一方面，數學活動的整體性是指數學活動過程的整體性.從教學活動的運行機制來看，教學過程正是學生主體的外部活動與內部活動的雙向轉化過程.具體地說，數學活動既是一個操作活動數學化，又是數學材料邏輯化、邏輯材料實踐化的過程.這三個過程轉化正是一個由外而內、由內而外的物質活動和觀念活動相互聯系，相互作用，相互滲透的過程，是學生主體活動外化和內化的統一.

已知函數的單調性，用導數法求參數的取值范圍的復習，教師可以根據學生參與活動的整體性，設計例2：函數f（x）=ax―12x―lnx在（0， +∞）上是增函數，求a的范圍.變題：已知函數f（x）=4x+ax2-23x3在區間（0，1]是減函數，求實數a的取值范圍.而在例2的變題中，學生意識到f′（x）=4x+2ax-2x2≤0對x∈[-1，1]恒成立，即不等式x2-ax-2≥0在x∈（0，1]要恒成立.如果采用例2求最值的方法，比較煩瑣，故要求學生想出其他解法.學生經過討論，想出參變分離的方法.在例2及變題的設計中，筆者并未一味地將解法灌輸給學生，讓學生被動地接受，而是由學生自己總結出參變分離的方法，并指出這種方法與求極值方法的各自適用情況，適用的條件及題目中關鍵詞對參變分離方法的暗示等.由此，體現了數學活動教學的特點.

三、學生參與活動的開放性

數學活動的開放性具體體現在數學活動內容的多樣性和選擇性，數學活動過程的動態化、活動空間的廣闊性和活動結果的多樣化.對于某段教學過程，通過教師的恰當引導，思維活動層層深入，確保了學生的主體地位，充分發揮和發展學生的主體性，從而實現了學生不是知識的被動接受者，而是主動的發現者和探求者.這同時也表明，學生能力的形成和發展起自于學生參與活動的開放度，起自于學生這個主體的積極過程，離開了主體的活動，也就沒有學習的動力而言了.

四、學生參與活動的建構性

數學是數學認知結構的改造和重新組織.數學有意義學習特別強調原有認知結構對新知識學習的作用，同時強調學習材料本身的內在邏輯結構.有內在邏輯結構的材料與學生原有認知結構關聯起來，新舊知識相互作用，建立起非人為和實質性聯系，才能導致學習者在頭腦中獲得新知識的意義，這種主客體相互作用的活動過程，會使學習的主體的能力和傾向發生相對穩定的變化.endprint