極限思想在高中數學中的應用

談家國

極限思想是古人很早提出的一種設想.中國的古人曾經提出如果知識是無窮盡的，而人們所知是有窮盡的，假設人不受生、老、病、死的限制，那么人是否能夠獲得無限的知識？人們意識到無限的思想以后，就意識到如果不確定某個值，就選取一個最接近于它的值，并用這種值描述它的趨勢，這種思想構建了現代微積分知識的基礎.

古時候，人們有時會無意識地應用這種知識.

例如，中國古代有本書，講述這樣一則故事.有一個牧羊人，他有17只羊，又有3個兒子，他依照村規把一半的財產分給大兒子，又將剩下三分之一的財產分給二兒子，剩下九分之一財產分給三兒子.可是人們發現17只羊沒有辦法完整的分配.這時有位智者，他將自己的1只羊放進17只羊中，即為18只羊，那么老大得到9只羊，老二得到6只羊，老三得到2只羊，剩下1只羊智者自己帶回家.古時人們夸贊這種分配方法非常公平，然而現在人們可以看到，它是利用了極限的方法，讓分配的方法盡可能地合乎當初預定的結果.這種分配方法與現代微積分的知識是不謀而合的.

極限的思想，即為一種無限接近于精準答案的思想，這種在精準答案不確定的的情形下，應用最接近于精準答案的思路，能夠解決人們的很多數學問題.高中教師要引導學生理解到極限思想的最大應用價值.

一、應用極限思想解決無限的問題

所謂無限的問題是指人們需要求取一個數值，而這個數值求取的過程非常煩瑣，人們如果窮舉這個范圍內所有的數值將會非常困難.但是如果人們有無限的思想，則可以就用無限接近的思想給出這個范圍內最大的一個極限和一個最小的極限，則人們不需要窮舉范圍內所有的數值，直接可以判斷該范圍.

例如，在講“解析幾何初步”時，教師引導學生思考：已知一個銳角三角形，它的邊AC已固定，BC=1，現B點在以C為圓心，半徑為1的圓周上做運動（圖略），求取AB的極限范圍.

分析：如果這一題用普遍的方法計算，學生會把計算過程變得非常煩瑣.然而如果學生能用數形結合的思想思考圓周運動的定義，則可迅速通過計算AB的取值范圍直接得到答案為（3，5）.

二、應用極限思想解決逼近的問題

所謂逼近的問題是指人們遇到某種問題時，需要了解它的取值，然而這種取值是沒有精確答案的，人們于是使用極限的思想，盡可能取出與該精準值最接近的一個答案，它即為該問題的最終答案.這種逼近的問題能幫助人們盡可能的解決不可能解決的問題.

三、應用極限思想解決決策的問題

所謂的概述問題是指人們在統計或計算中，需要了解某種數值.這種數值人們如果要精準的計算，常常會得出不必要的循環小數，而在實踐生活中人們不需要特別精準的答案，只需要一個大概的數值幫助自己決策，因此可以用極限的思想把一此過于復雜的計算與統計全部省略，得到人們需要的大概數字.

例如，在講“算法初步”時，教師可以引導學生思考：現在某涼茶公司出售一瓶飲料，它的售價為2元，顧客可以拿五只空瓶換一瓶飲料，如果該飲料成本為1元，使用該種銷售方法，每瓶廠家可得到的毛利為多少？

分析：學生如果能理解極限的思想，就可理解到x空瓶能換x5瓶涼茶，以此類推，它能再次換回x52瓶，如果以極限的思想計算，則可將它的公式列為：x+x5+x52+…=limn→∞x（1-x5n）1-15=5x4，則每瓶涼茶的價格為2x5x4=85=1.6，最終可得利潤為6角錢.極限思想能幫人們化繁為簡，解決實踐生活中的一些問題，實際上那位古老的賣羊故事即利用極限思想完成該類問題.

從以上的極限思想應用中可以看到，實際上極限思想擁有以下幾種思想：無窮大的思想，它是指用一種數學方式描述出一種事物的趨勢，人們可能不了解這件事情的極限，但是人們可以掌握該事物的趨勢，并在該趨勢范圍內選取人們需要的一個范圍，它能避免人們無窮列舉的問題；無窮小的思想，它是指人們需要精準的掌握一件事物，然而這件事物幾乎不可能讓人們精準的了解或描述，因此人們用無限小的思想盡可能地選取最接近于精準答案的那個答案，它能避免人們無法精神描述的問題；輔助決策的思想，這是指人們在決策一件事物時，人們有時無法作準最精密無誤的決策，然而人們卻又必須解決決策的問題，所以人們尋找一個能幫助自己決策的答案，這個答案能接近于人們需要的這個目標.

微積分是目前高中學生需要學習的數學知識，學生在學習微積分時，常常會感覺到微積分知識復雜，他們覺得學習那么復雜的事物不知道能解決什么問題，教師要引導學生理解到無限思想應用的方法，當學生理解到無限思想的巨大用處時，就會對學生微積分知識產生興趣.endprint

極限思想是古人很早提出的一種設想.中國的古人曾經提出如果知識是無窮盡的，而人們所知是有窮盡的，假設人不受生、老、病、死的限制，那么人是否能夠獲得無限的知識？人們意識到無限的思想以后，就意識到如果不確定某個值，就選取一個最接近于它的值，并用這種值描述它的趨勢，這種思想構建了現代微積分知識的基礎.

古時候，人們有時會無意識地應用這種知識.

例如，中國古代有本書，講述這樣一則故事.有一個牧羊人，他有17只羊，又有3個兒子，他依照村規把一半的財產分給大兒子，又將剩下三分之一的財產分給二兒子，剩下九分之一財產分給三兒子.可是人們發現17只羊沒有辦法完整的分配.這時有位智者，他將自己的1只羊放進17只羊中，即為18只羊，那么老大得到9只羊，老二得到6只羊，老三得到2只羊，剩下1只羊智者自己帶回家.古時人們夸贊這種分配方法非常公平，然而現在人們可以看到，它是利用了極限的方法，讓分配的方法盡可能地合乎當初預定的結果.這種分配方法與現代微積分的知識是不謀而合的.

極限的思想，即為一種無限接近于精準答案的思想，這種在精準答案不確定的的情形下，應用最接近于精準答案的思路，能夠解決人們的很多數學問題.高中教師要引導學生理解到極限思想的最大應用價值.

一、應用極限思想解決無限的問題

所謂無限的問題是指人們需要求取一個數值，而這個數值求取的過程非常煩瑣，人們如果窮舉這個范圍內所有的數值將會非常困難.但是如果人們有無限的思想，則可以就用無限接近的思想給出這個范圍內最大的一個極限和一個最小的極限，則人們不需要窮舉范圍內所有的數值，直接可以判斷該范圍.

例如，在講“解析幾何初步”時，教師引導學生思考：已知一個銳角三角形，它的邊AC已固定，BC=1，現B點在以C為圓心，半徑為1的圓周上做運動（圖略），求取AB的極限范圍.

分析：如果這一題用普遍的方法計算，學生會把計算過程變得非常煩瑣.然而如果學生能用數形結合的思想思考圓周運動的定義，則可迅速通過計算AB的取值范圍直接得到答案為（3，5）.

二、應用極限思想解決逼近的問題

所謂逼近的問題是指人們遇到某種問題時，需要了解它的取值，然而這種取值是沒有精確答案的，人們于是使用極限的思想，盡可能取出與該精準值最接近的一個答案，它即為該問題的最終答案.這種逼近的問題能幫助人們盡可能的解決不可能解決的問題.

三、應用極限思想解決決策的問題

所謂的概述問題是指人們在統計或計算中，需要了解某種數值.這種數值人們如果要精準的計算，常常會得出不必要的循環小數，而在實踐生活中人們不需要特別精準的答案，只需要一個大概的數值幫助自己決策，因此可以用極限的思想把一此過于復雜的計算與統計全部省略，得到人們需要的大概數字.

例如，在講“算法初步”時，教師可以引導學生思考：現在某涼茶公司出售一瓶飲料，它的售價為2元，顧客可以拿五只空瓶換一瓶飲料，如果該飲料成本為1元，使用該種銷售方法，每瓶廠家可得到的毛利為多少？

分析：學生如果能理解極限的思想，就可理解到x空瓶能換x5瓶涼茶，以此類推，它能再次換回x52瓶，如果以極限的思想計算，則可將它的公式列為：x+x5+x52+…=limn→∞x（1-x5n）1-15=5x4，則每瓶涼茶的價格為2x5x4=85=1.6，最終可得利潤為6角錢.極限思想能幫人們化繁為簡，解決實踐生活中的一些問題，實際上那位古老的賣羊故事即利用極限思想完成該類問題.

從以上的極限思想應用中可以看到，實際上極限思想擁有以下幾種思想：無窮大的思想，它是指用一種數學方式描述出一種事物的趨勢，人們可能不了解這件事情的極限，但是人們可以掌握該事物的趨勢，并在該趨勢范圍內選取人們需要的一個范圍，它能避免人們無窮列舉的問題；無窮小的思想，它是指人們需要精準的掌握一件事物，然而這件事物幾乎不可能讓人們精準的了解或描述，因此人們用無限小的思想盡可能地選取最接近于精準答案的那個答案，它能避免人們無法精神描述的問題；輔助決策的思想，這是指人們在決策一件事物時，人們有時無法作準最精密無誤的決策，然而人們卻又必須解決決策的問題，所以人們尋找一個能幫助自己決策的答案，這個答案能接近于人們需要的這個目標.

微積分是目前高中學生需要學習的數學知識，學生在學習微積分時，常常會感覺到微積分知識復雜，他們覺得學習那么復雜的事物不知道能解決什么問題，教師要引導學生理解到無限思想應用的方法，當學生理解到無限思想的巨大用處時，就會對學生微積分知識產生興趣.endprint

極限思想是古人很早提出的一種設想.中國的古人曾經提出如果知識是無窮盡的，而人們所知是有窮盡的，假設人不受生、老、病、死的限制，那么人是否能夠獲得無限的知識？人們意識到無限的思想以后，就意識到如果不確定某個值，就選取一個最接近于它的值，并用這種值描述它的趨勢，這種思想構建了現代微積分知識的基礎.

古時候，人們有時會無意識地應用這種知識.

例如，中國古代有本書，講述這樣一則故事.有一個牧羊人，他有17只羊，又有3個兒子，他依照村規把一半的財產分給大兒子，又將剩下三分之一的財產分給二兒子，剩下九分之一財產分給三兒子.可是人們發現17只羊沒有辦法完整的分配.這時有位智者，他將自己的1只羊放進17只羊中，即為18只羊，那么老大得到9只羊，老二得到6只羊，老三得到2只羊，剩下1只羊智者自己帶回家.古時人們夸贊這種分配方法非常公平，然而現在人們可以看到，它是利用了極限的方法，讓分配的方法盡可能地合乎當初預定的結果.這種分配方法與現代微積分的知識是不謀而合的.

極限的思想，即為一種無限接近于精準答案的思想，這種在精準答案不確定的的情形下，應用最接近于精準答案的思路，能夠解決人們的很多數學問題.高中教師要引導學生理解到極限思想的最大應用價值.

一、應用極限思想解決無限的問題

所謂無限的問題是指人們需要求取一個數值，而這個數值求取的過程非常煩瑣，人們如果窮舉這個范圍內所有的數值將會非常困難.但是如果人們有無限的思想，則可以就用無限接近的思想給出這個范圍內最大的一個極限和一個最小的極限，則人們不需要窮舉范圍內所有的數值，直接可以判斷該范圍.

例如，在講“解析幾何初步”時，教師引導學生思考：已知一個銳角三角形，它的邊AC已固定，BC=1，現B點在以C為圓心，半徑為1的圓周上做運動（圖略），求取AB的極限范圍.

分析：如果這一題用普遍的方法計算，學生會把計算過程變得非常煩瑣.然而如果學生能用數形結合的思想思考圓周運動的定義，則可迅速通過計算AB的取值范圍直接得到答案為（3，5）.

二、應用極限思想解決逼近的問題

所謂逼近的問題是指人們遇到某種問題時，需要了解它的取值，然而這種取值是沒有精確答案的，人們于是使用極限的思想，盡可能取出與該精準值最接近的一個答案，它即為該問題的最終答案.這種逼近的問題能幫助人們盡可能的解決不可能解決的問題.

三、應用極限思想解決決策的問題

所謂的概述問題是指人們在統計或計算中，需要了解某種數值.這種數值人們如果要精準的計算，常常會得出不必要的循環小數，而在實踐生活中人們不需要特別精準的答案，只需要一個大概的數值幫助自己決策，因此可以用極限的思想把一此過于復雜的計算與統計全部省略，得到人們需要的大概數字.

例如，在講“算法初步”時，教師可以引導學生思考：現在某涼茶公司出售一瓶飲料，它的售價為2元，顧客可以拿五只空瓶換一瓶飲料，如果該飲料成本為1元，使用該種銷售方法，每瓶廠家可得到的毛利為多少？

分析：學生如果能理解極限的思想，就可理解到x空瓶能換x5瓶涼茶，以此類推，它能再次換回x52瓶，如果以極限的思想計算，則可將它的公式列為：x+x5+x52+…=limn→∞x（1-x5n）1-15=5x4，則每瓶涼茶的價格為2x5x4=85=1.6，最終可得利潤為6角錢.極限思想能幫人們化繁為簡，解決實踐生活中的一些問題，實際上那位古老的賣羊故事即利用極限思想完成該類問題.

從以上的極限思想應用中可以看到，實際上極限思想擁有以下幾種思想：無窮大的思想，它是指用一種數學方式描述出一種事物的趨勢，人們可能不了解這件事情的極限，但是人們可以掌握該事物的趨勢，并在該趨勢范圍內選取人們需要的一個范圍，它能避免人們無窮列舉的問題；無窮小的思想，它是指人們需要精準的掌握一件事物，然而這件事物幾乎不可能讓人們精準的了解或描述，因此人們用無限小的思想盡可能地選取最接近于精準答案的那個答案，它能避免人們無法精神描述的問題；輔助決策的思想，這是指人們在決策一件事物時，人們有時無法作準最精密無誤的決策，然而人們卻又必須解決決策的問題，所以人們尋找一個能幫助自己決策的答案，這個答案能接近于人們需要的這個目標.

微積分是目前高中學生需要學習的數學知識，學生在學習微積分時，常常會感覺到微積分知識復雜，他們覺得學習那么復雜的事物不知道能解決什么問題，教師要引導學生理解到無限思想應用的方法，當學生理解到無限思想的巨大用處時，就會對學生微積分知識產生興趣.endprint